安徽省合肥市普通高中六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

合肥市普通高中六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）命題學(xué)校：合肥五中命題教師：錢勇審題教師：費(fèi)薇薇一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)把正確答案涂在答題卡上）1．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設(shè)函數(shù)則（）A． B．3 C． D．3．我國(guó)北宋時(shí)期科技史上的杰作《夢(mèng)溪筆淡》收錄了計(jì)算扇形弧長(zhǎng)的近似計(jì)算公式：，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對(duì)弦的長(zhǎng)，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑．如圖，已知扇形的面積為，扇形所在圓的半徑為2，利用上述公式，計(jì)算該扇形弧長(zhǎng)的近似值為（）A． B． C． D．4．已知，若，則（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．6．若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且最小值為5，則它在區(qū)間上是（）A．增函數(shù)且有最大值 B．增函數(shù)且有最小值C．減函數(shù)且有最大值 D．減函數(shù)且有最小值7．如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．2 C． D．8．在中，分別根據(jù)甲、乙、丙、丁四個(gè)條件判斷三角形的形狀，甲：；乙：；丙：；?。海袛嘟Y(jié)果與其它三個(gè)不一樣的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9．不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有（）A．2張卡片不全為紅色 B．2張卡片恰有一張紅色C．2張卡片至少有一張紅色 D．2張卡片都為綠色10．已知甲組數(shù)據(jù)為：1，1，3，3，5，7，9，乙組數(shù)據(jù)為：1，3，5，7，9，則下列說(shuō)法正確的是（）A．這兩組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)相等B．這兩組數(shù)據(jù)的極差相等C．這兩組數(shù)據(jù)分別去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后，僅僅乙組數(shù)據(jù)的均值不變D．甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)分散11．在中，點(diǎn)，，，分別是上的等分點(diǎn)，其中，，則（）A． B．C． D．三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有居民20000戶，從中隨機(jī)抽取200戶調(diào)查是否安裝寬帶網(wǎng)線，調(diào)查結(jié)果如表所示，則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)已安裝寬帶網(wǎng)線的居民大約有________戶．網(wǎng)線動(dòng)遷戶原住戶已安裝6530未安裝406513．若，，且，則的最小值為_(kāi)_______．14．如圖，在矩形中，已知，是的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，連接．若當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，三棱錐外接球的體積為，則________．四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15．（15分）已知，，，求：（1）的值；（2）與的夾角．16．（15分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全下面的問(wèn)題并求解，其中①有解；②恒成立．問(wèn)題：若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式________，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．（15分）已知是一個(gè)三位正整數(shù)，若的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）現(xiàn)要從甲乙兩名同學(xué)中，選出一個(gè)參加某市組織的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只抽取1次，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽．（1）由1，2，3，4，5，6可組成多少“三位遞增數(shù)”？并一一列舉出來(lái)．（2）這種選取規(guī)則對(duì)甲乙兩名學(xué)生公平嗎？并說(shuō)明理由．18．（15分）如圖所示，在四棱錐中，四邊形為梯形，，，，，，平面平面．（1）若的中點(diǎn)為，求證：平面；（2）求二面角的正弦值．19．（17分）個(gè)有次序的實(shí)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)維向量，其中稱為該向量的第個(gè)分量．特別地，對(duì)一個(gè)維向量，若，稱為維信號(hào)向量．設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且．（1）直接寫(xiě)出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量；（2）證明：不存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量；（3）已知個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都是相同的，求證：．合肥市普通高中六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（參考答案）（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）命題學(xué)校：合肥五中命題教師：錢勇審題教師：費(fèi)薇薇一、二選擇題：題號(hào)：1234567891011答案：BDCACADCBDBCBD三、填空題：12．950013．614．四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15．（15分）【詳解】由，得，則，而，，于是，所以顯然，則，而，于是．所以與的夾角為16．（15分）【詳解】（1）解：因?yàn)樗院瘮?shù)的最小正周期；因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，所以，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）解：若選擇①由題意可知，不等式有解，即；因?yàn)椋?，故?dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為，所以；若選擇②由題意可知，不等式恒成立，即．因?yàn)?，所以．故?dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．所以．17．（15分）【詳解】（1）由題意知，所有由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”共有20個(gè)．分別是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456．（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”有20個(gè)，記“甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”為事件，記“乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”為事件．則事件含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13個(gè)．由古典概型計(jì)算公式，得，又與對(duì)立，所以，所以．故選取規(guī)則對(duì)甲、乙兩名學(xué)生不公平．18．（15分）【詳解】（1）設(shè)是中點(diǎn)，連接，，如下圖所示：在中，為為中位線，所以：，，又因?yàn)椋?，，所以：，，所以：四邊形為平行四邊形，得：，，又因?yàn)椋浩矫?，平面，所以：平面．?）如上右圖，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接．因?yàn)椋浩矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以：平面，因?yàn)椋?，，，且，平面，所以：平面，所以：為所求二面角的平面角，在中，，得：，所以：，，所以：?9．（17分）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合維向量的定義，則兩兩垂直的4維信號(hào)向量可以為：，，，（2）假設(shè)存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量，因?yàn)閷⑦@14個(gè)向量的某個(gè)分量同時(shí)變號(hào)或?qū)⒛硟蓚€(gè)位置的分量同時(shí)互換位