二面角(1) 高二上學期數(shù)學人教B版（2019）選擇性必修第一冊

二面角(1)

高二年級數(shù)學知識概要一、二面角的相關概念二

、二面角的度量三、例題分析與講解四

、課堂小結(jié)情境與問題日常生活中，很多場景都有平面與平面所成一定角度的形象.情境與問題如何刻畫這樣的角的大小呢?二面角的相關概念平面內(nèi)的一條直線把一個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為一個半平面.二面角的表示從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面.二面角α-l-β二面角A-CD-B二面角的平面角類比二面角和平面角，如何計算二面角的大小?二面角的平面角類比二面角和平面角，如何計算二面角的大小?二面角的平面角在二面角a-l-β的棱上任取一點O,以

O為垂足，分別在半平面α和p

內(nèi)作垂直于棱的射線OA

和OB,則射線OA

和OB所成的角稱為二面角的平面角.作二面角的平面角已知平面α內(nèi)一點A,(1)過A作AB⊥β

于B,(2)在平面α內(nèi)，過A作AC⊥1與C,(3)連接BC.∠ACB即為所求作二面角α-l-β

的平面角.二面角的大小我們約定，二面角及其平面角的大小為[0,π].直二面角平面角是直角的二面角是直二面角.證明a⊥

例題分析與講解例1.如圖三棱錐S-ABC中，面SAC⊥面ABC,

SA=SC=√3,AB=BC=2且AB⊥BC.求(1)二面角S-AB-C的大?。?2)二面角B-SA-C的大小.解：取AC,AB的中點D,E.連接SD,DE,SE.因為SA=SC,

所以SD⊥AC.又因為面SAC⊥

面ABC,所以SD⊥

面ABC.例題分析與講解(1)求二面角S-AB-C

的大小.所以SE在平面ABC內(nèi)的射影為DE.因為DE為△ABC的中位線，AB⊥BC,所以AB⊥DE.從而由三垂線定理可知AB⊥SE.所以∠SED為二面角S-AB-C的平面角例題分析與講解(1)求二面角S-AB-C的大小.由AB=BC=2且AB⊥BC

可知AC=2

√2,所

又DE=_BC=1又因為SD=√

SA2-AD2=√3-2=1,9例題分析與講解(1)求二面角S-AB-C的大小.∠SED=45°,即二面角S-AB-C

的大小為45°.在△SDE中，例題分析與講解(2)求二面角B-SA-C的大小.解：連接BD.因為BA=BC,所以BD⊥AC.又因為面SAC⊥

面ABC,所以BD⊥

面SAC.過D作DF⊥SA于F,連接BF.所以BF在平面SAC的射影為DF.因為DF⊥SA,由三垂線定理可知BF⊥SA,所以∠BFD為二面角B-SA-C的平面角.例題分析與講解(2)求二面角B-SA-C的大小.例題分析與講解(2)求二面角B-SA-C的大小.因為SD=1,AD=√2,SA=√3,由AAD的面積的求法可知or-而BD=Ac=√2所以tan

∠BFD=BP-√3,所以∠BFD=60°,

即二面角B-SA-C為60°.例題分析與講解例2.已知正方體ABCD-A,BC?D,

棱長為1.(1)求二面角D?-AC?-B的余弦值；(2)求二面角D-A,B-C?的余弦值.例題分析與講解(1)求二面角D?-AC?-B的余弦值.觀察發(fā)現(xiàn)二面角D?-AC?-B是鈍角，與二面角B-AC?-B互補.解：連接BD

交AC?于0,連接BO.因為BB?

⊥

面A,BC?D,

而BD?

⊥AC,

所以BO1

AC,∠BOB是二面角B?-AC?-B的平面角.例題分析與講解(1)求二面角D?-AC?-B的余弦值.例題分析與講解(1)求二面角D?-AC?-B的余弦值設二面角D?-AC?-B的平面角為θ,θ=π-

∠BOB,tanθ=-tan

∠BOB?=-√2.由同角關系得即=面角DAG,蹦余磁信為觀察圖形，正方體截面A,BC和截面DAB均是正三角形.例題分析與講解(2)求二面角D-A,B-C的余弦值.解：取A,B的中點E,

連接DE,C?E,C?D.所以C?E⊥A?B,DEIAB,所以∠DEC?

是二面角D-A,B-C的平面角.例題分析與講解(2)求二面角D-AB-C的余弦值.

D=√2.在△EDC中，由余弦定理得cos

∠DE即二面角D-A,B-C?的余弦值為一

3,C?為又高62CE長為所以DE正三角形例題分析與講解(2)求二面角D-A,B-C的余弦值課堂小結(jié)1.二面角的表示：面-棱-面2.二面角的度量：求二面角的平面角.關注作二面角的平面角的方法、三垂線定理及其逆定理的使用.3.靈活運用空間幾何平面化的思想，把二面角的平面角放到三角形里求解.課后練習1.通讀課本；2.完成課本習題：第52頁練習A1;練習B2,3.0已知二面角P-AB-P

'的大小為

垂

且PP'⊥面ABP',△ABP

的面積為3,求△ABP'的面積.②

已知正三棱錐S-ABC

的所有棱長都為1,求其側(cè)面與底面所