頻率的穩(wěn)定性課件-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第十章

概

率10.3頻率與概率

10.3.1頻率的穩(wěn)定性一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)理解頻率穩(wěn)定性的意義掌握頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系了解隨機數(shù)的定義，與產(chǎn)生隨機數(shù)的方法以及它的讀數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)

對于樣本點等可能的實驗，我們可以用古典概型公式計算有關(guān)事件的概率.但在現(xiàn)實中，很多試驗的樣本點往往是等可能的或者是否等可能不容易判斷.例如，拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，或者投擲一枚圖釘，此時無法通過古典概型公式計算有關(guān)事件的概率，我們需要尋求新的求概率的方法.

我們知道，事件的概率越大，意味著事件發(fā)生的可能性越大，在重復(fù)試驗中，相應(yīng)的頻率一般也越大；事件的概率越小，則事件發(fā)生的可能性越小，在重復(fù)試驗中，相應(yīng)的頻率一般也越小.在初中，我們利用頻率與概率的這種關(guān)系，通過大量重復(fù)試驗，用頻率去估計概率.

那么，在重復(fù)試驗中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關(guān)系呢？復(fù)習(xí)引入探究

重復(fù)做同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗，設(shè)事件A=“一個正面朝上，一個反面朝上”，你能計算事件A發(fā)生的概率嗎？

新知探究動手

下面我們分步實施試驗，考察隨著試驗次數(shù)的增加，事件A的頻率的變化情況，以及頻率與概率的關(guān)系.第一步：每人重復(fù)做25次試驗，記錄事件A發(fā)生的次數(shù)，計算頻率；第二步：每4名同學(xué)為一組，相互比較試驗結(jié)果；第三步：各組統(tǒng)計事件A發(fā)生的次數(shù)，計算事件A發(fā)生的頻率，并利用右表進行統(tǒng)計。小組序號試驗總次數(shù)事件A發(fā)生的次數(shù)事件A發(fā)生的頻率1100210031004567合計新知探究問題1

比較在自己試驗25次、小組試驗100次和全班試驗總次數(shù)的情況下，事件A發(fā)生的頻率。（1）各小組的試驗結(jié)果一樣嗎？為什么會出現(xiàn)這樣的情況？（2）隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率有什么變化規(guī)律？利用計算機模擬拋擲兩枚硬幣的試驗，在重復(fù)試驗次數(shù)為20，100，500時各做5組試驗，得到事件A發(fā)生的頻數(shù)nA和頻率fn(A)如右表所示：序號n=20n=100n=500頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506新知探究用折線圖表示頻率的波動情況序號n=20n=100n=500頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506我們發(fā)現(xiàn)：

(1)試驗次數(shù)n相同，但頻率fn(A)可能不同，這說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性。

(2)從整體來看，頻率在概率0.5附近波動。

當(dāng)試驗次數(shù)較少時，波動幅度較大；當(dāng)試驗次數(shù)較大時，波動幅度較小。

但試驗次數(shù)多的波動幅度并不全部比次數(shù)少的小，只是波動幅度小的可能性大。新知探究大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性。一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)。我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性。因此，我們可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)。

雅各布第一?伯努利(1654-1705)瑞士數(shù)學(xué)家，被公認為概率理論的先驅(qū)，他給出了著名的大數(shù)定律.大數(shù)定律闡述了隨著試驗次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定在概率附近.新知講解拋擲次數(shù)（n)20484040120002400030000正面朝上次數(shù)(m)1061204860191201214984頻率(m/n)0.5180.5060.5010.50050.4996歷史上曾有人作過拋擲硬幣的大量重復(fù)實驗，結(jié)果如下表所示拋擲次數(shù)n頻率m/n0.512048404012000240003000072088德

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摩根蒲

豐皮爾遜皮爾遜維

尼知識鏈接

事件的概率概念生成問題2事件A發(fā)生的頻率fn(A)是不是不變的？事件A發(fā)生的概率P(A)是不是不變的？它們之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？(1)頻率是一個變量，隨著試驗次數(shù)的變化而變化；(2)概率是一個確定的數(shù)，客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān).頻率是概率的近似值（實驗值），會隨試驗次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定；聯(lián)系:區(qū)別：概率是頻率理論上的穩(wěn)定值，在實際中可用頻率估計概率.新知探究對概率的正確理解：(1)概率是事件的本質(zhì)屬性，不隨試驗次數(shù)的變化而變化，概率反映了事件發(fā)生的可能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗總次數(shù)中某一事件一定發(fā)生的比例．(2)任何事件的概率都是區(qū)間[0,1]上的一個確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性，概率越接近于1，表明事件發(fā)生的可能性就越大；反過來，概率越接近于0，表明事件發(fā)生的可能性就越?。?3)小概率(概率接近于0)事件很少發(fā)生，但不代表一定不發(fā)生；大概率(概率接近于1)事件經(jīng)常發(fā)生，但不代表一定發(fā)生．(4)必然事件Ω的概率為1,即P(Ω)＝1；不可能事件

的概率為0,即P(

)＝0.新知講解例1

新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應(yīng)的男嬰數(shù).

通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年、2015年新出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51．(1)分別估計我國2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率,精確到0.001);(2)根據(jù)估計結(jié)果，你認為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？(2)由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度．因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論．

要得到生男孩和生女孩是否等可能的科學(xué)判斷，還需要用統(tǒng)計學(xué)中假設(shè)檢驗的方法進行檢驗．由此估計，2014年男嬰出生率約為0.537，2015年男嬰出生率約為0.532.解：(1)2014年男嬰出生頻率為0.5372015年男嬰出生頻率為0.532典例解析

歸納小結(jié)典例解析例2

一個游戲包含兩個隨機事件A和B，規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝.判斷游戲是否公平的標(biāo)準(zhǔn)是事件A和B發(fā)生的概率是否相等.

在游戲過程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次.

據(jù)此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的.你更支持誰的結(jié)論?為什么?解：當(dāng)游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；

當(dāng)游戲玩了1000次時，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7.根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗次數(shù)的增加,頻率偏離概率很大的可能性會越來越小.

相對10次游戲,1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時的頻率離概率更近.

而游戲玩到1000次時，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距,所以有理由認為游戲是不公平的.因此，應(yīng)該支持甲對游戲公平性的判斷.

游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法

(1)標(biāo)準(zhǔn)：游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同.若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平.(2)判斷方法：具體判斷時，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進行比較.歸納小結(jié)

降水的概率是氣象專家根據(jù)氣象條件和經(jīng)驗，經(jīng)分析推斷得到的．對“降水的概率為90%”比較合理的解釋是：大量觀察發(fā)現(xiàn)，在類似的氣象條件下，大約有90%的天數(shù)要下雨．

只有根據(jù)氣象預(yù)報的長期記錄，才能評價預(yù)報的準(zhǔn)確性．如果在類似氣象條件下預(yù)報要下雨的那些天(天數(shù)較多)里，大約有90%確實下雨了，那么應(yīng)該認為預(yù)報是準(zhǔn)確的；如果真實下雨的天數(shù)所占的比例與90%差別較大，那么就可以認為預(yù)報不太準(zhǔn)確．問題3

氣象工作者有時用概率預(yù)報天氣，如某氣象臺預(yù)報“明天的降水概率是90%，如果您明天要出門，最好攜帶雨具”，如果第二天沒有下雨，我們或許會抱怨氣象臺預(yù)報得不準(zhǔn)確．那么如何理解“降水率是90%”？又該如何評價預(yù)報得結(jié)果是否準(zhǔn)確呢？新知探究鞏固練習(xí)課本P2571.判斷下列說法是否正確，并說明理由:

(1)拋擲一枚硬幣正面朝上的概率為0.5，則拋擲兩枚硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上;

(2)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，結(jié)果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率為0.4;

(3)當(dāng)試驗次數(shù)很大時，隨機事件發(fā)生的頻率接近其概率;

(4)在一次試驗中，隨機事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，所以事件發(fā)生和不發(fā)生的概率各是0.5.解:(1)不正確.拋擲兩枚硬幣,樣本空間Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},所以拋擲兩枚硬幣,不一定是一次正面朝上,一次反面朝上.(2)不正確.不能說概率為0.4,只能說正面朝上的頻率為0.4.(3)正確.(4)不正確.一次試驗,只能說事件發(fā)生和不發(fā)生的頻率各是0.5.鞏固練習(xí)課本P2572.用擲兩枚硬幣做勝負游戲,規(guī)定:兩枚硬幣同時出現(xiàn)正面或同時出現(xiàn)反面算甲勝,一個正面、一個反面算乙勝.這個游戲公平嗎?解：這個游戲是公平的.理由如下:

擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的樣本空間Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},則兩枚硬幣同時出現(xiàn)正面或同時出現(xiàn)反面的概率為2/4=0.5，即甲勝的概率為0.5，一個正面、一個反面的概率也為0.5，即乙勝的概率為0.5，所以這個游戲是公平的.鞏固練習(xí)課本P2573.據(jù)統(tǒng)計ABO血型具有民族和地區(qū)差異.在我國H省調(diào)查了30488人，四種血型的人數(shù)如下:(1)計算H省各種血型的頻率并填表(精確到0.001);

(2)如果從H省任意調(diào)查一個人的血型，那么他是O型血的概率大約是多少?血型ABOAB人數(shù)/人77041076589703049頻率0.2530.3530.2940.