預(yù)備知識(shí)02 集合間的基本關(guān)系（原卷版）-2024-2025初升高銜接資料（新高一暑假學(xué)習(xí)提升）

專(zhuān)題02預(yù)備知識(shí)二：集合間的基本關(guān)系1、理解集合之間的包含與相等的含義；2、能識(shí)別給定集合的子集，了解空集含義3、能進(jìn)行自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言(Venn圖)、符號(hào)語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換1、子集、空集與Venn圖1.1子集的定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）。1.2Venn圖：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。則上述集合和集合的包含關(guān)系，可以用如下圖表示：要點(diǎn)說(shuō)明：①子集的定義可以理解為：若任意的，都有，則.這可以作為證明的方法；②規(guī)定：空集是任何集合的子集；③任何一個(gè)集合是它本身的子集，記作AA；④包含關(guān)系具有傳遞性，即若AB，且BC，則AC；⑤集合是集合的子集不能理解為集合是由集合中的“部分元素”組成的，因?yàn)榧峡赡苁强占部赡苁羌希拮⒁夥?hào)“”與“”的區(qū)別：“”只用于集合與集合之間，如{0}N，而不能寫(xiě)成{0}N；“”只能用于元素與集合之間，如0N，而不能寫(xiě)成0N．2、集合的相等如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作。要點(diǎn)說(shuō)明：①若且，則；反之，如果，則且。這就給出了我們證明兩個(gè)集合全等的方法，即預(yù)證，只需證且都成立即可；②兩集合相等，則所含元素完全相同，與元素順序無(wú)關(guān)；③要判斷兩個(gè)集合是否相等，對(duì)于元素比較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來(lái)，看兩個(gè)集合的元素是否完全相同；若是無(wú)限集，應(yīng)依據(jù)“互為子集”從兩個(gè)方向入手進(jìn)行判斷。④同一個(gè)集合，可以有不同的表示方法，這也是定義兩個(gè)集合相等的意義所在；⑤集合中的關(guān)系與實(shí)數(shù)中的結(jié)論類(lèi)比實(shí)數(shù)集合包含兩層含義：，或AB包含兩層含義：，或若，且，則若AB，且AB，則A＝B若，，則若AB，BC，則AC3、真子集真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.要點(diǎn)說(shuō)明：理解真子集的定義要注意一下幾點(diǎn)：①空集是任何非空集合的真子集；②對(duì)于集合A，B，C，如果，，那么；③若，則與有兩種可能的關(guān)系：即或；4、空集我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；要點(diǎn)說(shuō)明：空集的性質(zhì)：①空集只有一個(gè)子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；③空集是任何非空集合的真子集，即若，則，反之也成立。④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是無(wú)限集；對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)一：判斷集合子集（真子集）個(gè)數(shù)典型例題例題1．（23-24高一下·廣東梅州·階段練習(xí)）集合的子集的個(gè)數(shù)是（

）A．16 B．8 C．7 D．4例題2．（23-24高一上·山東·階段練習(xí)）滿足的集合M的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6精練1．（2020·廣東梅州·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．6 C．4 D．22．（23-24高一上·廣東中山·階段練習(xí)）集合的子集個(gè)數(shù)為．對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)二：求集合子集（真子集） 典型例題例題1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一個(gè)子集是（

）A． B． C． D．例題2．（多選）（23-24高一上·江蘇南京·期中）下列各個(gè)選項(xiàng)中，滿足的集合有（

）A． B． C． D．精練1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一個(gè)真子集可以為（

）A． B． C． D．2．（多選）（23-24高一上·山西太原·階段練習(xí)）已知集合M滿足?，則這樣的集合M可能為（

）A． B． C． D． 對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)三：判斷集合的包含關(guān)系典型例題例題1．（23-24高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．?C．? D．例題2．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合，，則正確表示與的關(guān)系的示意圖是（

）A． B．C． D．精練1．（2024·廣東·一模）已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）已知集合，則有（

）A． B． C． D．對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)四：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)典型例題例題1．（2024·青海西寧·二模）設(shè)集合,若,則（

）A． B． C．1 D．3例題2．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．精練1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）集合，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B．0 C． D．12．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值集合為．對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)五：判斷兩個(gè)集合是否相等典型例題例題1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，例題2．（23-24高一上·上海·期中）是有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．與集合相等的集合序號(hào)是.精練1．（23-24高一上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．整數(shù)，整數(shù)集B．，C．，D．，2．（多選）（23-24高一上·新疆伊犁·階段練習(xí)）給出以下幾組集合，其中相等的集合有（

）A．B．C．D．對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)六：根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)典型例題例題1．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知，其中，則（

）A．0 B．或 C． D．例題2．（23-24高一上·山東臨沂·期末）集合，，且，則實(shí)數(shù)．精練1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2【答案】C2．（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，若，則c的值為.對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)七：空集典型例題例題1．（23-24高一上·廣東汕頭·階段練習(xí)）有下列關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正確的是（

）A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④例題2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是實(shí)數(shù)，若集合是任何集合的子集，則a的取值范圍值是.精練1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四個(gè)關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24高一上·四川廣安·期中）若集合，則實(shí)數(shù)a的值的集合為．一、單選題1．（23-24高一下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)集合，則下列表述正確的是（）A． B．C． D．2．（2024·云南貴州·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東廣州·一模）設(shè)集合，，若，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）下列能正確表示集合和關(guān)系的是（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）設(shè)集合，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．? B．? C． D．6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．88．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）若集合有15個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高一上·重慶云陽(yáng)·階段練習(xí)）下列集合中，與集合相等的是（

）A． B． C． D．10．（23-24高一上·河北保定·階段練習(xí)）若集合恰有兩個(gè)子集，則的值可能是（

）A．0 B． C．1 D．0或1三、填空題11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．12．（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，