第04講 專題拓展：三角形中的五種常見(jiàn)模型解題技巧-新八年級(jí)《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義（人教版）解析版

第第頁(yè)第04講專題拓展：三角形中的五種常見(jiàn)模型解題技巧題型一、“8”字模型題型二、飛鏢模型題型三、“A”字模型題型四、“老鷹捉小雞”模型題型五、（雙）角平分線模型一、“8”字模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°對(duì)頂角相等二、飛鏢模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等子與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.三、“A”字模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.四、“老鷹捉小雞”模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.五、（雙）角平分線模型1.雙內(nèi)角平分線2.雙外角平分線3.內(nèi)角平分線+外角平分線三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.題型歸納題型一、“8”字模型一．填空題（共5小題）1．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如圖，則的度數(shù)是．【分析】由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得，，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理求解．【解答】解：如圖可知是三角形的外角，，同理也是三角形的外角，，在中，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．2．（2023春?武岡市期末）如圖，的度數(shù)為【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于可得的度數(shù)．【解答】解：如圖，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的內(nèi)角和，角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023秋?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，則．【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：連接，則，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．4．（2023秋?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）如圖，是由線段，，，，組成的平面圖形，，則的度數(shù)為．【分析】首先求出，然后證明出，最后結(jié)合題干求出的度數(shù)．【解答】解：如圖可知，，又，，又，，又，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是求出，此題難度不大．5．（2023春?蓬萊區(qū)期中）如圖，的度數(shù)是．【分析】本題運(yùn)用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，將已知角轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解．【解答】解：如圖，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．二．解答題（共4小題）6．（2023秋?惠州校級(jí)月考）如圖，求的度數(shù)．【分析】由三角形外角性質(zhì)得，，，從而求的度數(shù)和，變?yōu)榈亩葦?shù)和，因，，，是四邊形的四個(gè)內(nèi)角，利用多邊形的內(nèi)角和定理：多邊形的內(nèi)角和即可求出它們的和．【解答】解：由三角形外角性質(zhì)得，，，．故的度數(shù)是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．7．（2023秋?墊江縣校級(jí)月考）如圖所示，求的度數(shù)．【分析】連接，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接，則，．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵的基本思路是把所求的幾個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)多邊形的角的問(wèn)題．8．（2023春?營(yíng)山縣校級(jí)期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖1，若，點(diǎn)在、外部，則有，又因是的外角，故．得．將點(diǎn)移到、內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在如圖2中，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線于點(diǎn)，如圖3，則、、、之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中的度數(shù)．【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)得出，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）連接并延長(zhǎng)，由三角形外角的性質(zhì)得出，，由此可得出結(jié)論；（3）由（2）的結(jié)論得：．．再根據(jù)即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，又，；（2）結(jié)論：．連接并延長(zhǎng)，是的外角，是的外角，，，，即；（3）由（2）的結(jié)論得：．．又．（或由（2）的結(jié)論得：且，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形，利用三角形外角的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．9．（2023秋?同心縣校級(jí)月考）已知：如圖1，線段、相交于點(diǎn)，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問(wèn)題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；（3）在圖2中，若，，和的平分線和相交于點(diǎn)，并且與、分別相交于、．利用（1）的結(jié)論，試求的度數(shù)；（4）如果圖2中和為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論即可）【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理表示出與，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得，然后整理即可得解；（2）根據(jù)“8字形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；（3）根據(jù)（1）的關(guān)系式求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后利用“8字形”的關(guān)系式列式整理即可得解；（4）根據(jù)“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根據(jù)角平分線的定義可得，然后整理即可得證．【解答】解：（1）在中，，在中，，（對(duì)頂角相等），，；（2）交點(diǎn)有點(diǎn)、、，以為交點(diǎn)有1個(gè)，為與，以為交點(diǎn)有4個(gè)，為與，與，與，與，以為交點(diǎn)有1個(gè)，為與，所以，“8字形”圖形共有6個(gè)；（3），，，，、分別是和的角平分線，，，又，；（4）根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，，，所以，，，、分別是和的角平分線，，，，整理得，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．題型二、飛鏢模型一．選擇題（共2小題）1．（2023秋?雙峰縣月考）如圖，，，，的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】作直線，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得：，，從而推出．【解答】解：作直線，（1）（2）由（1）、（2）得：，即，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，應(yīng)用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系解答．2．（2023秋?天長(zhǎng)市期中）如圖，中，，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，，則為A． B． C． D．【分析】由于點(diǎn)，，由三角形內(nèi)角和定理可求出，再由三角形外角定理可得．【解答】解：，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】這道題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角定理，一定要熟記定理．二．填空題（共1小題）3．（2022秋?富陽(yáng)區(qū)期中）如圖，作于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，，則60，．【分析】首先利用垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理可以求出，然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系可以求出．【解答】解：，，，，又，故答案為：60；105．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）4．（2023秋?新建區(qū)期中）一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定應(yīng)等于，、應(yīng)分別是和，現(xiàn)測(cè)量得，你認(rèn)為這個(gè)零件合格嗎？為什么？【分析】直接利用圖形中的外角和等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解．【解答】解：延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)．，又，實(shí)際量得的，，這個(gè)零件不合格．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．5．（2022秋?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，，則50；②如圖3，平分，平分，若，，求的度數(shù)；③如圖4，，的10等分線相交于點(diǎn)、、，若，，求的度數(shù)．【分析】（1）首先連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出．（2）①由（1）可得，然后根據(jù)，，求出的值是多少即可．②由（1）可得，再根據(jù)，，求出的值是多少；然后根據(jù)，求出的度數(shù)是多少即可．③根據(jù)，，設(shè)為，可得，解方程，求出的值，即可判斷出的度數(shù)是多少．【解答】解：（1）如圖（1），連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得，，又，，；（2）①由（1），可得，，，，故答案為：50．②由（1），可得，，，；③，，設(shè)為，，，解得，即的度數(shù)為．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．題型三、“A”字模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?德宏州期末）如圖，將一個(gè)三角形剪去一個(gè)角后，，則等于A． B． C． D．【分析】先根據(jù)平角定理，求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出即可．【解答】解：如圖所示：，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，理解相關(guān)角與角之間的數(shù)量關(guān)系．二．填空題（共1小題）2．（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖，中，，，將沿折疊，點(diǎn)落在形內(nèi)的，則的度數(shù)為．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進(jìn)而可得出的度數(shù)，根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出的度數(shù)，再由四邊形的內(nèi)角和為即可得出結(jié)論．【解答】解：中，，，，，，由△翻折而成，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）3．（2022秋?平橋區(qū)期末）探索歸納：（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，則．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過(guò)程，你歸納猜想與的關(guān)系是．（4）如圖3，若沒(méi)有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等，以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）：四邊形的內(nèi)角和為，直角三角形中兩個(gè)銳角和為．等于．故答案為：；（2），故答案為：；（3）與的關(guān)系是：；故答案為：；（4）是由折疊得到的，，，又，．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是”這一隱含的條件．4．（2022秋?運(yùn)城期末）一個(gè)三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．（點(diǎn)在的內(nèi)部）（1）如圖1，若，則90．（2）利用圖1，探索，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖2，把折疊后，平分，平分，若，利用（2）中得出的結(jié)論求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用、表示出和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用、表示出和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）由、是的兩個(gè)外角知、，據(jù)此得，繼而可得答案；（3）由（1）知，根據(jù)平分，平分知．利用可得答案．【解答】解：（1）點(diǎn)沿折疊落在點(diǎn)的位置，，，，，在中，，，整理得；故答案為：90；（2），理由：、是的兩個(gè)外角，，，，，即；（3）由（1），得，，平分，平分，．，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和等于，綜合題，但難度不大，熟記性質(zhì)準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?章貢區(qū)校級(jí)月考）嘗試探究如圖1，在一張三角形紙片上，剪去，得到四邊形，與分別為的兩個(gè)外角（1）請(qǐng)你試著說(shuō)明：（2）如圖2，如果沿著再剪一刀，與分別為的兩個(gè)外角，那么和的數(shù)量關(guān)系為（3）如圖3，，分別平分外角、，求與的數(shù)量關(guān)系：拓展提升如圖4，在四邊形中，、分別平分外分、，請(qǐng)寫出，、這三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)外角的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）由（1）得，，同理得到，于是得到結(jié)論；（3）由（1）得，，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（4）由（3）得到，由（1）得到，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）與分別為的兩個(gè)外角，，，，三角形的內(nèi)角和為，，；（2）由（1）得，，同理，，，故答案為：；（3）由（1）得，，，分別平分外角、，，，，；（4）解：數(shù)量關(guān)系：，理由：如圖，由（3）可知，，由（1）可知，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．題型四、“老鷹捉小雞”模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?增城區(qū)期末）如圖，把三角形紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部時(shí)，則與、之間的數(shù)量關(guān)系是A． B． C． D．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)平角等于用表示出，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用與表示出，然后利用三角形的內(nèi)角和等于列式整理即可得解．【解答】解：△是沿折疊得到，，又，，，即，整理得，．，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，平角的定義以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，把、、轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共1小題）2．（2023秋?玉林期末）紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)（如圖），若，則的度數(shù)為．【分析】先根據(jù)，，求出的度數(shù)．再由可求出的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：中，，，，，，在中，，，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和是．三．解答題（共3小題）3．（2023秋?莊浪縣期中）問(wèn)題1如圖①，一張三角形紙片，點(diǎn)、分別是邊上兩點(diǎn)．研究（1）：如果沿直線折疊，使點(diǎn)落在上，則與的數(shù)量關(guān)系是研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想、和的數(shù)量關(guān)系是研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想、和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．猜想：理由問(wèn)題2研究（4）：將問(wèn)題1推廣，如圖④，將四邊形紙片沿折疊，使點(diǎn)、落在四邊形的內(nèi)部時(shí)，與、之間的數(shù)量關(guān)系是．【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及折疊的特點(diǎn)即可得到結(jié)論；（2）連接，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）連接構(gòu)造等腰三角形，然后結(jié)合三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行探討證明；（4）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行探討．【解答】解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，故；（2）由圖形折疊的性質(zhì)可知，①，②，①②得，即，故；（3）．證明如下：連接構(gòu)造等腰三角形，，，得，（4）如圖④，由圖形折疊的性質(zhì)可知，，兩式相加得，即，所以，．【點(diǎn)評(píng)】注意此類一題多變的題型，基本思路是相同的，主要運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行證明．4．（2023秋?嘉祥縣期中）（1）如圖①，把紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)的位置時(shí)，、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（2）如圖②，把紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部點(diǎn)的位置時(shí)，、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（3）如圖③，把四邊形沿折疊，當(dāng)點(diǎn)、分別落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)、的位置時(shí)，你能求出、、與之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出、，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出、，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（3）先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出、，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）如圖，根據(jù)翻折的性質(zhì)，，，，，整理得，；（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)，，，，，整理得，；（3）根據(jù)翻折的性質(zhì)，，，，，整理得，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角與外角，翻折的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．5．（2023?鳩江區(qū)校級(jí)開學(xué)）（1）如圖1，設(shè)，則；（2）把三角形紙片頂角沿折疊，點(diǎn)落到點(diǎn)處，記為，為．①如圖2，，與的數(shù)量關(guān)系是；②如圖3，請(qǐng)你寫出，與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖4，把一個(gè)三角形紙片的三個(gè)頂角分別向內(nèi)折疊之后，3個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中．【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）①先根據(jù)折疊得：，，由兩個(gè)平角和得：等于與四個(gè)折疊角的差，化簡(jiǎn)得結(jié)果；②利用兩次外角定理得出結(jié)論；（3）由折疊可知等于六邊形的內(nèi)角和減去以及和，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：（1）；故答案為：；（2）①如圖2，猜想：，理由是：由折疊得：，，，，；故答案為：；②如圖3，，理由是：，，，，，；（3）如圖4，由題意知，又，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．題型五、（雙）角平分線模型一．選擇題（共2小題）1．（2023秋?新市區(qū)校級(jí)期中）如圖，的三邊，，的長(zhǎng)分別為15，20，25，點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)，則等于A． B． C． D．【分析】過(guò)點(diǎn)作于，于，于，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式得到．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于，于，于，如圖，點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形的面積公式．2．（2015?鄭州一模）如圖，中，，分別是，的平分線，，則等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于即可求出的度數(shù)．【解答】解：，，，分別是，的平分線，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義，熟練掌握定理和概念是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）3．（2023秋?東莞市校級(jí)期中）如圖，中，，的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)．則．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理先求出的度數(shù)，再利用角平分線的定義即可求解．【解答】解：，，的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用角平分線的定義求出的度數(shù)．4．（2023秋?南寧月考）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交，于點(diǎn)，．當(dāng)，時(shí)，的長(zhǎng)為2．【分析】利用平行和角平分線得到，，可得出結(jié)論，由此即可求得的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，平分，；，，，；同理可證，，，，，，故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合平行得到，是解題的關(guān)鍵．5．（2023春?天寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，，和的平分線交于點(diǎn)，得，和的平分線交于點(diǎn)，得，，和的平分線交于點(diǎn)，得，和的平分線交于點(diǎn)，得，則度．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得，找出規(guī)律即可求出．【解答】解：平分，平分，，，，同理可得，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)與規(guī)律的綜合，涉及三角形外角性質(zhì)，找出和之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）6．（2023秋?鄭州期末）綜合與實(shí)踐：如圖1，在中，，三個(gè)內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，的外角的角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．【問(wèn)題初探】：（1）的度數(shù)為，的度數(shù)為；【問(wèn)題再探】：（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作．（可直接使用問(wèn)題（1）中的結(jié)論）①求的度數(shù)；②試判斷線段和之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展探究】：（3）若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△，當(dāng)所在直線與平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角度與之間的關(guān)系．【分析】（1）已知與是和的平分線，因此可以推導(dǎo)出，由于，所以可以推導(dǎo)出；（2）①已知，可以推導(dǎo)出，②，利用平行線的性質(zhì)可以證明；（3）當(dāng)所在直線與平行時(shí)，，此時(shí)或者．【解答】解：（1）①，與是和的平分線，，②