高中數(shù)學(xué)：2 .3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

一、直線與平面垂直的判定

i.直線與平面垂直

如果直線1與平面?內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相

定義

看門.

記法l-La

有關(guān)直線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它

概念們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足..

1

圖小上p7

畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

（1）定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義

語.

（2）直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式.

（3）由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)

的任意一條直線.

2.直線與平面垂直的判定定理

文字一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面

語言垂直

圖形

語言

符號(hào)

l-Lbfbua,_a(>\b=P_=>/±a

陪音

作用判斷直線與平面垂直

(1)直線與平面垂直的判定定理告訴我們：可以通過直線間的垂直來證明直線與平面垂直.通

常我們將其記為“線線垂直，則線面垂直”.因此，處理線面垂直轉(zhuǎn)化為處理線線垂直來解決.也

就是說，以后證明一條直線和一個(gè)平面垂直，只要在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線和已知直線垂

直即可.

(2)在應(yīng)用該定理判斷一條直線和一個(gè)平面垂直時(shí)，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相

交直線垂直，而不是任意的兩條直線.

3.直線和平面所成的角

(1)定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,

斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫

做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線

和這個(gè)平面所成的角.

(2)規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于90'—：一條直線和平面平行，或

在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于0,因此，直線與平面所成的角a的范圍是一0。＜a49()

二、平面與平面垂直的判定

1.二面角

平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩

概

個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二

念

面角的面

圖

示

1

在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的

文字

射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角

面

角

的圖示

平

1

面

符號(hào)OAca,OBup,加。=1,0^1,OA±l,08_L/=/AOB是二面角的平面角

角

范圍[0,K]

二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)

規(guī)定

二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角

面

棱為/,面分別為a,夕的二面角記為一一.如圖所示，也可在a,夕內(nèi)

角

的(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P，Q，將這個(gè)二面角記作二面角P-/-。

大

小

記法

及

記

法

1

【溫馨提示】二面角是從空間一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形；平面角可以把角理解為一

個(gè)旋轉(zhuǎn)量，二面角也可以看作是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成，二面角的大小反映了兩個(gè)相交平

面的位置關(guān)系.

知識(shí)剖析

(1)二面角的平面角的大小是由二面角的兩個(gè)面的位置唯一確定的，與選擇棱上的點(diǎn)的位置無關(guān).

(2)平面角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且兩邊都與二面角的棱垂直，這個(gè)角所確定的平面

與棱垂直.

2.平面與平面垂直

(1)定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.平

面a與平面用垂直，記作

(2)畫法：兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖所示.

3.平面與平面垂直的判定定理

文字語言一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直

Bi~~

圖形語言

符號(hào)語言/J_a,—1u/3—=a-L4

作用判斷兩平面垂直一

【溫馨提示】平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直來證明平面與平

面垂直.通常我們將其記為：線面垂直，則面面垂直.因此處理面面垂直問題（即空間問題）

轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題（即平面問題）來解決.

三、直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行_

a-La]一

符號(hào)語言\^a//b

hLa

ab

圖形語言

(1)證明兩直線平行；

作用

(2)構(gòu)造平行線

【溫馨提示】直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判斷兩條直線平行的另一種方法，即“線面垂直,

則線線平行”，它揭示了“平行”與“垂直”的內(nèi)在聯(lián)系.

直線與平面垂直的性質(zhì)

IVaa.La“a//b

(1)>=>I-Lb1；(2)>a//h；(3)

buabVaaA^a

a//(3\10、a.La

(4)>na.L/3；(5)>=>a〃0

aS_aa工B

四、平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線一的直線與另一個(gè)平面垂

語言直

a1/3

符號(hào)aC/3=l

aua,a_L/>=>ci.L/3

語言

a

圖形a

語言LZJ

作用證明直線與平面垂直

【溫馨提示】平面與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判斷直線與平面垂直的另一種方法，即“面面垂直,

則線面垂直”，揭示了線面垂直與面面垂直的內(nèi)在聯(lián)系.

垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化

平面幾何的定理

線線垂宜

面面垂直性質(zhì)定理

線面垂直|面面垂直

面面垂直判定定理

1.線面垂直判定定理的應(yīng)用

證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進(jìn)而證明

線面垂直.三角形全等、等腰三角形底邊的角平分線、中線、高；菱形、正方形的對(duì)角線、三

角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法.

【例1】如圖，在△ABC中，ZABC=W°,。是AC的中點(diǎn)，S是△ABC所在平面外一點(diǎn),

且&4=SB=SC.

(1)求證：SO,平面A8C；(2)若A8=BC,求證：8。，平面S4C.

2.面面垂直判定定理的應(yīng)用

證明平面與平面垂直的方法:

面定區(qū)運(yùn)

面證明平面角為直角

垂

直

在一個(gè)面內(nèi)找另一個(gè)面的垂線

【例2】如圖，四棱錐5—ABC。中，四邊形A8CD為菱形，SD=SB.

s

(1)求證：平面SAUL平面SBQ；(2)求證：平面SAC_L平面4BCZX

3.直線與平面所成的角

求直線與平面所成的角的方法：

(1)求直線和平面所成角的步驟：①尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足

得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某

個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角.

(2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的

關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心

等.

［例3］在三棱錐P-48c中，P4_L平面ABC,PB=PC=2,LAPB=LAPC=30°,BC=&,如

圖所示.

(1)證明：ABLPC,(2)求融與平面PBC所成角的正弦值.

(2)由(1)知A3、AC.AP兩兩垂直，

如圖，取BC的中點(diǎn)E,連接AE、PE,過A作PE的垂線，尸為垂足，

由A3=AC=1得3C_LAE,又由R4,平面ABC,得則8C_L平面Q4E,

于是Af'_L6C,故A/_L平面P8C,則Z4PE就是直線AP與平面P8C所成的角.

在△M；中，AE=-BC=—,PE=^JAP2+AE2=—

222

則sinNAPE=絲=立.即P4與平面PBC所成角的正弦值為立

PE77

4.二面角

求二面角大小的步驟:

簡稱為“一作二證三求”.作平面角時(shí)，一定要注意頂點(diǎn)的選擇.

【例4】已知AB8是正方形，E是48的中點(diǎn)，將AQAE和△C8E分別沿。&CE折起,

使AE與BE重合，A、B兩點(diǎn)重合后記為點(diǎn)P,那么二面角尸一C￡＞一E的大小為30°

5.垂直的綜合應(yīng)用

［例5］如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，

NAOC=45,4。=4。=1,0為4。的中點(diǎn)，平面ABC。，PO=2,M為尸。的中點(diǎn).

A

【例6】如圖，己知三棱錐尸一ABC,ZACB=90°,CB=4,AB=20,。為A8的中點(diǎn)，且△尸。8

是正三角形，PAVPC.

(1)求證：平面B4CJ_平面ABC；

(2)求二面角。一AP—C的正弦值；

(3)若M為PB的中點(diǎn)，求三棱錐M-BC。的體積.

6.直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

線面垂直的性質(zhì)定理、公理4及線面平行的性質(zhì)定理都是證明線線平行的依據(jù)，至于線面平行、

面面平行，歸結(jié)到最后還是要先證明線線平行.

【例7】如圖，正方體4BiCid-A8C￡＞中，EF與異面直線AC,AQ都垂直相交.求證：EF

7.平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過

其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直.

【例8】已知：a±y,aC\/3—l.求證：/±y.

【解析】證法1：在y內(nèi)取一點(diǎn)P,作物垂直a與y的交線于A,作PB垂直￡與y的交線于8,

Va±y,叫,則以_La,PBL}?：l=aC0,：.l±PA,l_LPB,?以與PB相交，又附uy,

PBuy,.'.l±y.

證法2：在a內(nèi)作直線垂直于a與y的交線，在夕內(nèi)作直線〃垂直于夕與》的交線，

夕J_y,C.mVy,〃_Ly,

'.m//n,又〃u"，.'.m//P，又〃?ua,aPl夕=/,.,.m//1,

8.平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

【例9】如圖，a//b,點(diǎn)尸在所確定的平面y外，Q4_La于點(diǎn)A，A3上力于點(diǎn)B.求

證：PBlh.

【錯(cuò)解】因?yàn)镼4_La,a//b,所以所以P4J_y,所以PBLZ?.

【錯(cuò)因分析】本題錯(cuò)解的原因在于沒有正確使用線面垂直的判定定理，由得

PAA-Y，而忽略了“垂直于平面內(nèi)兩條相交直線”這一條件，即

【正解】因?yàn)镻A_La,a〃>,所以PA_LZ?.

又A8_Lb,/>An43=A,所以匕，平面

因?yàn)镻Bu平面P4B,所以P3_L6.

9.不能正確找出二面角的平面角

【例10］如圖，在四棱錐P—ABCO中，底面ABCD為平行四邊形，出，平面ABCD,且PA=6,

AB=1,BC=2,AC=6求二面角「一OB的大小.

【錯(cuò)解】如圖，過A在底面ABC。內(nèi)作AEL8于E,連接尸E.

平面ABC。，C￡>u平面ABC。，：.PA1CD.

又：必DAE=A,，C￡)J?平面以E.

又,.?PEu平面以E,J.CDLPE,

：.APEA為二面角P-CD-B的平面角.

（以下略）

【錯(cuò)因分析】點(diǎn)E的位置應(yīng)首先由已知的數(shù)量關(guān)系確定，而不是盲目地按三垂線法直接作出.在

找二面角的平面角時(shí)，一般按照先找后作的原則，避免盲目地按三垂線法作二面角的平面角.

【正解】AB=1,BC=2,AC=C,...BC2=AB2+AC2,ZBAC=90°,

：.ZACD=90°,即ACJLCD.

又：以_L平面ABC。，CDu平面ABC。，：.PALCD.

又：hDAC=A,；.CO_L平面布C.

又：PCu平面雨C,：.PCVCD,

.?.NPCA是二面角P—CD—2的平面角.

?在RtZ\PAC中，PA±AC,PA=V3,,AZPCA=45°.

故二面角P-CD-B的大小為45°.

10.定理的條件不全導(dǎo)致判斷不準(zhǔn)確

【例11］已知兩個(gè)平面垂直，下列命題：

①一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.

②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線.

③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面.

④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（C）

A.3B.2C.1D.0

【錯(cuò)解】由面面垂直的性質(zhì)可知，②④正確，故選B.

【錯(cuò)因分析】④中過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，并沒有說明這一垂線一定在平面內(nèi).

【正解】如圖，在正方體ABC?！?4GA中，對(duì)于①，△。匚平面明。。，

8￡>u平面ABC。，與3D是異面直線，且夾角為60。，故①錯(cuò)誤：②正確；

對(duì)于③，A^u平面A4QQ,但不垂直于平面ABCD,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，過平面44,9。內(nèi)的點(diǎn)A,作AC，因?yàn)锳￡）,平面OQCG，

9。（=平面2。。q,所以AD，￡>C，但不垂直于平面ABC。，故④錯(cuò)誤.

所以正確命題的個(gè)數(shù)是1.故選C.

0】A

4----------B

基礎(chǔ)測試

1.如圖，已知四棱錐P-48CD中，己知PA_L底面ABC。,且底面ABC。為矩形，則下列結(jié)論中錯(cuò)

誤的是(C)

A.平面PAB_L平面P4Z)B.平面PAB_L平面P3C

C.PBCmPCDD.平面PCD_L平面PAO

2.如圖，平行四邊形A8C￡＞中，AB1BD,沿BO將△ABO折起到480,使面48。_L面BCD,

連接4C,則在四面體ABC。的四個(gè)面中，互相垂直的平面有(C)

①面A3。_L面BCZ)；②面4C￡>_L面A8O；③面4BC_L面3CZ)；④面ACD_L面A8C.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.設(shè)平面aC平面尸=/,點(diǎn)A,BCa,點(diǎn)CC夕，且4,B,C均不在直線/上，給出四個(gè)命題:

ILABIA.ACa"]

①>=?a_L/f；②=a_L平面ABC；③n/_L平面ABC；④AB〃0I

l±ACIA.BCAB1BC]

〃平面ABC.其中正確的命題是(D)

A.①與②B.②與③C.①與③D.②與④

4.設(shè)/，機(jī)是兩條不同的直線，a,“是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(D)

A.若/_!_〃?，〃?=aC夕，則/_LaB.若/〃〃?，m=aC\^,則/〃a

C.若a〃夕，/與a所成的角相等，則/〃加D.若/〃〃?，/±a,a〃夕，則，

5.如圖所示，PO_L平面ABC,BOLAC,在圖中與AC垂直的線段有(D)

6.如圖所示，POJ_平面ABC,BOLAC,在圖中與AC垂直的直線有4條.

7.已知△ABC中/ACB=90°,SA_L面ABC,ADA.SC,

'：ZACB=90°,：.BC±AC,又?.?54_1面ABC,

：.SALBC,ABCl?SAC,：.BC1AD,

又；SCJ_A力，SCCBC=C,.,.AOI.面SBC.

AOu平面AO8,貝ij平面AO81.平面SBC.

8.如圖A8C￡＞是正方形，「。，面人比。，PD=DC,E是尸C的中點(diǎn).求證：

9.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB±￥ffiBCD,CDLBD.求證：CDJ_平面ABD

三棱錐A-BCD中，A8_L平面BCD,且CDu平面BCD,：.AB1.CD；又CD1BD,A8u平面

ABD,8Ou平面AB￡),且A8n8/)=8,COL平面A8/).

能力

10.已知兩條直線a,6與三個(gè)平面a,p,Y，下列條件中能推出a〃尸的是(D)

A.aua,bua,a//p,b//PB.a±y,且夕_Ly

C.“ua,bua,a//bD.a±a,且a_L￡

11.在三棱錐P-ABC中，不能推出平面PAC_L平面P8C的條件是(C)

A.BCA.PA,BC-LPCB.ACLPB,AC.LPC

C.ACLBC,PA1PBD.平面PAC_L平面ABC,BC±AC

12.如圖所示，已知PA垂直于△ABC所在平面，且NACB=90。，連結(jié)PB、PC,則圖形中互相垂

直的平面有(C)

A.一對(duì)B.兩對(duì)D.四對(duì)

13.如圖，四邊形ABCQ是邊長為2的正方形，aABE為等腰三角形，AE=BE,平面ABC。，平面

ABE,點(diǎn)尸在CE上，目.8尸_1_平面ACE.

(1)證明：平面4￡>E_L平面BCE；(2)求點(diǎn)。到平面ACE的距離.

14.如圖，四棱錐P-ABCQ的底面ABC。是平行四邊形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，且PAL

AB,PAA.PC.證明：平面PAO_L平面POC.

15.如圖，空間四邊形P48C中，PB_L底面ABC,NB4C=90。；過點(diǎn)B作BE,8尸分別垂直于AP,

CP于點(diǎn)E,F.(1)求證：AC_L面尸AB；(2)求證：PCVEF.

(1):尸B_L底面ABC,ACu平面ABC,：.PB±AC,

XVZBAC=90°,：.AC±AB,XPBHAB=B,.,.ZlClffiPAB；

(2)由(1)的結(jié)論，由8Eu平面PA8,

J.ACA-BE,又由BE1AP,ACOAP-A,

平面PAC,：.BELPC.

■：BF1.PC,BFCBE=B,；.PC_L平面BEf,：.PCLEF.

16.在正方體ABC。一44CQI中，E為棱CD的中點(diǎn)，則（C）

A.AE_L￡）GB.A}ELBDC.\ELBCyD.AiEl.AC

17.如圖，已知正四面體O-ABC（所有棱長均相等的三棱錐），P,Q,R分別為AB,BC,CA

上的點(diǎn)，AP=PB,黑=詈=2,分別記二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角為a,

B，中則（B）

B

A.y<a</3B.a<y</3C.a<fl<yD./3<y<a

18.在平行六面體ABC￡>-ABC2中，AAt=AB,AB,lBlCl.

求證：平面AB屁A±平面ABC.

在平行六面體A8S-48IG￡>I中，四邊形為平行四邊形.

又因?yàn)锳4i=A8,所以四邊形為菱形，因此48|_L4B.

又因?yàn)锳8|_LBiG，BC//BG，所以ABi_LBC.

又因?yàn)锳iBCBC=8,A山u平面ABC,BCu平面4BC,

所以A8i_L平面48c.

因?yàn)锳8u平面ABBiA\,所以平面A88i4_L平面48c.

19.如圖，在四棱錐/MBC。中，底面A8CO為矩形，平面PA￡）_L平面A8CD,PA1.PD,PA=PD,

E,尸分別為A。，PB的中點(diǎn).

(1)求證：PELBC-,(2)求證：平面平面PC。；(3)求證：EF〃平面PCD.

20.如圖，在平行四邊形ABCW中，AB=AC=3,ZACM=9O°,以AC為折痕將4ACM折起,

使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)。的位置，且

證明：平面ACD，平面ABC；

由己知可得，Za4C=90°,BA±AC.

5LBALAD,所以AB_L平面ACD

又A8u平面ABC,所以平面ACQ_L平面ABC.

21.如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB=BC=2叵,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).證

明：PO_L平面ABC.

22.如圖，在三棱錐A-BC￡>中，ABA.AD,BC_LBD,平面ABO,平面BCD,點(diǎn)、E,F(E

與A,。不重合)分別在棱AO,BD上,且EFJ_A￡>.

求證：(1)EF〃平面ABC；(2)AD1AC.

(1)在平面ABO內(nèi)，因?yàn)镋FA.AD，所以砂〃A5.

又因?yàn)镋FU平面ABC,ABu平面ABC,所以EF〃平面ABC.

(2)因?yàn)槠矫鍭BDL平面BCD,平面ABOD平面BCD=BD,

5Cu平面8CD,BC1BD,所以8C_L平面ABO.

因?yàn)锳Ou平面ABO，所以8C_LAO.

又ABJ_AO,BCC\AB^B,

ABu平面ABC,BCu平面ABC,

所以4O_L平面A8C,

又因?yàn)锳Cu平面A8C,所以ADLAC.

23.如圖，四面體ABC。中，AABC是正三角形，AACD是直角三角形，NABD=NCBD,AB=BD.證

明：平面ACQ_L平面ABC.

24.由四棱柱ABCQ-A山截去三棱錐G-BC2后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCQ為正

方形，。為AC與8。的交點(diǎn)，E為AO的中點(diǎn)，4E_L平