備考2024高考一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)人教a版第十章§10.1　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

§10.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理考試要求1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)梳理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．常用結(jié)論兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，缺一不可思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(√)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．(×)(4)從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問(wèn)題．(√)教材改編題1．某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中的一本，則購(gòu)買方案有()A．3種 B．6種C．7種 D．9種答案C解析買一本，有3種方案；買兩本，有3種方案；買三本，有1種方案，因此共有方案3＋3＋1＝7(種)．2．被譽(yù)為“大飛魚”的深圳寶安機(jī)場(chǎng)T3航站樓，充分結(jié)合了建筑設(shè)計(jì)理念和深圳本地環(huán)境氣候等重要因素，融合了建筑美學(xué)、綠色節(jié)能和功能實(shí)用等多方面元素.2021年9月25日晚21時(shí)50分，被加拿大非法扣留的孟晚舟乘坐的CA552航班平安抵達(dá)深圳寶安國(guó)際機(jī)場(chǎng)．某志愿者前去接機(jī)，機(jī)場(chǎng)T3航站樓有7個(gè)入口，2個(gè)接機(jī)口(出口)，則該志愿者進(jìn)出機(jī)場(chǎng)的方案數(shù)為()A．4B．9C．14D．49答案C解析方案種數(shù)為7×2＝14.3．3個(gè)班分別從5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的選法有種．答案125解析因?yàn)榈?個(gè)班有5種選法，第2個(gè)班有5種選法，第3個(gè)班有5種選法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法有5×5×5＝125(種).題型一分類加法計(jì)數(shù)原理例1(1)若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種答案D解析要想同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)使其和為偶數(shù)，則取法有三類：①4個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，有1種取法；②2個(gè)數(shù)是偶數(shù)，2個(gè)數(shù)是奇數(shù)，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,5)＝60(種)取法；③4個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，有5種取法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有1＋60＋5＝66(種)．(2)如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為．答案240解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個(gè)．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個(gè))．若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個(gè))，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個(gè))．所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè))．教師備選1．某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種答案B解析依題意得，可能剩余一本畫冊(cè)或一本集郵冊(cè)兩種情況．第一類，剩余的是一本畫冊(cè)，此時(shí)滿足題意的贈(zèng)送方法共有4種；第二類，剩余的是一本集郵冊(cè)，此時(shí)滿足題意的贈(zèng)送方法共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)．因此，滿足題意的贈(zèng)送方法共有4＋6＝10(種)．2．如圖所示，某景觀湖內(nèi)有四個(gè)人工小島，為方便游客登島觀賞美景，現(xiàn)計(jì)劃設(shè)計(jì)三座景觀橋連通四個(gè)小島，每座橋只能連通兩個(gè)小島，且每個(gè)小島最多有兩座橋連接，則設(shè)計(jì)方案的種數(shù)最多是()A．8B．12C．16D．24答案B解析四個(gè)人工小島分別記為A，B，C，D，對(duì)A分有一座橋相連和兩座橋相連兩種情況，用“－”表示橋．①當(dāng)A只有一座橋相連時(shí)，有A－B－C－D，A－B－D－C，A－C－B－D，A－C－D－B，A－D－B－C，A－D－C－B，共6種方法；②當(dāng)A有兩座橋相連時(shí)，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B－A－C－D，B－A－D－C，C－A－D－B，共6種方法．故設(shè)計(jì)方案最多有6＋6＝12(種)．思維升華分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇(1)應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏．跟蹤訓(xùn)練1(1)在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有()A．50個(gè) B．45個(gè)C．36個(gè) D．35個(gè)答案C解析由題意，知十位上的數(shù)字可以是1,2,3,4,5,6,7,8，共8類，在每一類中滿足題目要求的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理，知符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．(2)已知集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．9B．14C．15D．21答案B解析因?yàn)镻＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P?Q，所以x∈{y,2}．所以當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7種情況；當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7種情況．故共有7＋7＝14(種)情況，即這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為14.題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理例2(1)某學(xué)校的3個(gè)班級(jí)將要去甲、乙、丙、丁4個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí)，要求每個(gè)班只能去1個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí)，且甲工廠必須有班級(jí)參觀學(xué)習(xí)，則不同的參觀方案有()A．16種 B．25種C．37種 D．48種答案C解析每個(gè)班級(jí)都可以從這4個(gè)工廠中選1個(gè)參觀學(xué)習(xí)，各有4種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有43＝64(種)參觀方案，若甲工廠沒(méi)有班級(jí)參觀學(xué)習(xí)，此時(shí)每個(gè)班級(jí)都可以從其余3個(gè)工廠中選1個(gè)參觀學(xué)習(xí)，各有3種選擇，共有33＝27(種)參觀方案，所以甲工廠必須有班級(jí)參觀學(xué)習(xí)，不同的參觀方案有64－27＝37(種)．(2)(多選)有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說(shuō)法正確的是()A．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34種B．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43種C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有33種答案AC解析對(duì)于A，第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個(gè)同學(xué)也有3種報(bào)法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有34種結(jié)果，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×3×2＝24(種)結(jié)果，C正確，D錯(cuò)誤．教師備選1．甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是(用數(shù)字作答)．答案336解析甲有7種站法，乙有7種站法，丙有7種站法，故不考慮限制共有7×7×7＝343(種)站法，其中三個(gè)人站在同一級(jí)臺(tái)階上有7種站法，故符合本題要求的不同站法有343－7＝336(種)．2．某次活動(dòng)中，有30個(gè)人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為．(用數(shù)字作答)答案7200解析最先選出的1個(gè)人有30種方法，則這個(gè)人所在的行和列不能再選人，還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形，可知選第2個(gè)人有20種方法，則該人所在的行和列也不能再選人，還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形，可知選第3個(gè)人有12種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30×20×12＝7200.思維升華利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．(2)將這件事劃分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成．跟蹤訓(xùn)練2(1)某人要給廚房中裝有不同調(diào)料的5個(gè)瓶子貼上對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽，若恰好貼錯(cuò)了3個(gè)，則貼錯(cuò)的可能情況種數(shù)為()A．9B．12C．18D．20答案D解析由題意，可分為兩步：第一步，從5個(gè)瓶子中選出3個(gè)瓶子，有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)情況，第二步，對(duì)選出的3個(gè)瓶子進(jìn)行錯(cuò)位重排，有2種情況，所以貼錯(cuò)的可能情況種數(shù)為10×2＝20.(2)人們習(xí)慣把最后一位是6的多位數(shù)叫作“吉祥數(shù)”，則無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位吉祥數(shù)(首位不能是零)共有個(gè)．答案448解析第一步，確定千位，除去0和6，有8種不同的選法；第二步，確定百位，除去6和千位數(shù)字外，有8種不同的選法；第三步，確定十位，除去6和千位、百位上的數(shù)字外，有7種不同的選法．故共有8×8×7＝448(個(gè))不同的“吉祥數(shù)”．題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3(1)如圖所示，積木拼盤由A，B，C，D，E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色(如：A與B為相鄰區(qū)域，A與D為不相鄰區(qū)域)，現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是()A．780B．840C．900D．960答案D解析先涂A，則A有Ceq\o\al(1,5)＝5(種)涂法，再涂B，因?yàn)锽與A相鄰，所以B的顏色只要與A不同即可，有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)涂法，同理C有Ceq\o\al(1,3)＝3(種)涂法，D有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)涂法，E有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知不同的涂色方法種數(shù)為5×4×3×4×4＝960.(2)甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是0,0,2,1,5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為()A．5B．24C．32D．64答案D解析5日至9日，即5,6,7,8,9，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)；第二步安排偶數(shù)日出行分兩類：第一類，先選1天安排甲的車，另外一天安排其他車，有2×2＝4(種)；第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有22＝4(種)，共計(jì)4＋4＝8(種)．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)為8×8＝64.延伸探究若甲的車牌尾數(shù)為9，他的四位同事的車牌尾數(shù)分別為0,2,1,5，其他條件不變，則不同的用車方案有多少種？解由題意，從5日至9日，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4(種)不同的選擇；第二步，安排奇數(shù)日出行，可分為兩類：(1)選1天安排甲的車，共有3×2×2＝12(種)不同的選擇；(2)不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有2×2×2＝8(種)不同的選擇，綜上可得，不同的用車方案種數(shù)為4×(12＋8)＝80.教師備選1．現(xiàn)有5種不同顏色要對(duì)如圖所示的五個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A．420種B．780種C．540種D．480種答案B解析依題意可知，完成涂色任務(wù)可以使用5種，4種，或3種顏色，將區(qū)域標(biāo)號(hào)如圖．①若用5種顏色完成涂色，則有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)方法；②若用4種顏色完成涂色，顏色有Ceq\o\al(4,5)種選法，需要2,4同色，或者3,5同色，或者1,3同色，或者1,4同色，故有Ceq\o\al(4,5)×4×Aeq\o\al(4,4)＝480(種)；③若用3種顏色完成涂色，顏色有Ceq\o\al(3,5)種選法，需要2,4同色且3,5同色，或者1,4同色且3,5同色，或者1,3同色且2,4同色，故有Ceq\o\al(3,5)×3×Aeq\o\al(3,3)＝180(種)．所以不同的著色方法共有120＋480＋180＝780(種)．2．通常我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成：第一部分為漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字與英文字母組成的序號(hào)．其中序號(hào)的編碼規(guī)則為：①由0,1,2，…，9這10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字與除I，O之外的24個(gè)英文字母組成；②最多只能有2個(gè)位置是英文字母，如：粵A326S0，則采用5位序號(hào)編碼的粵A牌照最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌數(shù)為()A．586萬(wàn)張 B．682萬(wàn)張C．696萬(wàn)張 D．706萬(wàn)張答案D解析討論后五位的不同情況：(1)后5位全部為數(shù)字，共有105張牌．(2)后5位有一個(gè)字母，共有104Ceq\o\al(1,24)Ceq\o\al(1,5)＝1.2×106張牌．(3)后5位有兩個(gè)字母，當(dāng)兩個(gè)字母相同，有103Ceq\o\al(1,24)Ceq\o\al(2,5)＝2.4×105張牌；當(dāng)兩個(gè)字母不同，有103Ceq\o\al(2,24)Aeq\o\al(2,5)＝5.52×106張牌，綜上，共有105＋1.2×106＋2.4×105＋5.52×106＝7.06×106張牌．思維升華利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無(wú)從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．(2)分類時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖．(3)對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，一般是先分類再分步．跟蹤訓(xùn)練3(1)從6人中選出4人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物比賽，每人只能參加其中一項(xiàng)，且每項(xiàng)比賽都有人參加，其中甲、乙兩人都不能參加化學(xué)比賽，則不同的參賽方案的種數(shù)為()A．94B．180C．240D．286答案C解析第一步，因?yàn)榧?、乙兩人都不能參加化學(xué)比賽，所以從剩下的4人中選1人參加化學(xué)比賽，共有4種選法；第二步，在剩下的5人中任選3人參加數(shù)學(xué)、物理、生物比賽，共有5×4×3＝60(種)選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的參賽方案的種數(shù)為4×60＝240.(2)甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué)．若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4名同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有()A．150種 B．180種C．300種 D．345種答案D解析這名女同學(xué)可以在甲組選出也可以在乙組選出，故分兩類計(jì)算．甲組中選出1名女同學(xué)有Ceq\o\al(1,5)×Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,6)＝225(種)選法；乙組中選出一名女同學(xué)有Ceq\o\al(2,5)×Ceq\o\al(1,6)×Ceq\o\al(1,2)＝120(種)選法．故共有345種選法．課時(shí)精練1．已知5名同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每名同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有()A．10種 B．20種C．25種 D．32種答案D解析5名同學(xué)依次報(bào)名，每人均有2種不同的選擇，所以共有2×2×2×2×2＝32(種)不同的報(bào)名方法．2．用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是()A．12B．24C．30D．36答案C解析按順序涂色，第一個(gè)圓有3種選擇，第二個(gè)圓有2種選擇，若前三個(gè)圓用了三種顏色，則第三個(gè)圓有1種選擇，后三個(gè)圓也用了三種顏色，共有3×2×1×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝24(種)，若前三個(gè)圓用了兩種顏色，則后三個(gè)圓也用了兩種顏色，所以共有3×2＝6(種)．綜上可得不同的涂色方案的種數(shù)是24＋6＝30.3．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形共有()A．10種 B．15種C．20種 D．30種答案C解析3局定勝負(fù)，有2種情形；4局定勝負(fù)，有2Ceq\o\al(2,3)＝6(種)情形；5局定勝負(fù)，有2Ceq\o\al(2,4)＝12(種)情形．共有2＋6＋12＝20(種)情形．4．已知從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2,3,3,4條，若要從其中一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則不同的走法最多時(shí)應(yīng)()A．從東面上山 B．從西面上山C．從南面上山 D．從北面上山答案D解析從東面上山，不同的走法共有2×(3＋3＋4)＝20(種)；從西面上山，不同的走法共有3×(2＋3＋4)＝27(種)；從南面上山，不同的走法共有3×(2＋3＋4)＝27(種)；從北面上山，不同的走法共有4×(2＋3＋3)＝32(種)．所以應(yīng)從北面上山．5．用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰，這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．12 B．18C．24 D．30答案B解析分三步完成，第1步，確定被使用了2次的數(shù)字，有3種方法；第2步，把這2個(gè)相同的數(shù)字排在四位數(shù)不相鄰的兩個(gè)數(shù)位上，有3種方法；第3步，將余下的2個(gè)數(shù)字排在四位數(shù)余下的兩個(gè)數(shù)位上，有2種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的四位數(shù)有3×3×2＝18(個(gè))．6．算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤(如圖1)，共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1(如圖2中算盤表示整數(shù)51)．如果撥動(dòng)圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為()圖1圖2A．16B．15C．12D．10答案C解析由題意，撥動(dòng)三枚算珠，有4種撥法：①個(gè)位撥動(dòng)三枚，有2種結(jié)果：3,7；②十位撥動(dòng)一枚，個(gè)位撥動(dòng)兩枚，有4種結(jié)果：12,16,52,56；③十位撥動(dòng)兩枚，個(gè)位撥動(dòng)一枚，有4種結(jié)果：21,25,61,65；④十位撥動(dòng)三枚，有2種結(jié)果：30,70.綜上，撥動(dòng)題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為2＋4＋4＋2＝12.7．某校高一年級(jí)有四個(gè)班，四位老師各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)．在該年級(jí)某次數(shù)學(xué)考試中，要求每位數(shù)學(xué)老師均不在本班監(jiān)考，則不同的安排監(jiān)考的方法種數(shù)為()A．8B．9C．12D．24答案B解析設(shè)四個(gè)班分別是A，B，C，D，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)老師分別是a，b，c，d.讓a老師先選，可從B，C，D班中選一個(gè)，有3種選法，不妨假設(shè)a老師選的是B，則b老師從剩下的三個(gè)班級(jí)中任選一個(gè)，有3種選法，剩下的兩位老師都只有1種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有3×3×1×1＝9(種)不同的安排方法．8．(多選)現(xiàn)有4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說(shuō)法正確的是()A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為34B．每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為5400C．若推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為420D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有37種答案AD解析對(duì)于A,4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故選1人為負(fù)責(zé)人的選法共有34種，A對(duì)；對(duì)于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名組長(zhǎng)，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040(種)，B錯(cuò)；對(duì)于C，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法；從第一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法；從第一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法；從第二、三組中各選1人，有8×9種不同的選法；從第二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法；從第三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法．所以不同的選法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)，C錯(cuò)；對(duì)于D，若不考慮限制條件，每個(gè)人都有4種選法，共有43＝64(種)選法，其中第一組沒(méi)有人選，每個(gè)人都有3種選法，共有33＝27(種)選法，所以不同的選法有64－27＝37(種)，D對(duì)．9．3個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至多放1個(gè)小球，共有種放法．答案24解析分三步來(lái)完成：第一步，放第一個(gè)小球，有4種放法，第二步，放第二個(gè)小球，有3種放法，第三步，放第三個(gè)小球，有2種放法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)放法．10．4張卡片的正、反面分別寫有0與1,2與3,4與5,6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成個(gè)不同的三位數(shù)．答案168解析要組成三位數(shù)，根據(jù)百位、十位、個(gè)位應(yīng)分三步：第一步：百位可放8－1＝7(個(gè))數(shù)；第二步：十位可放6個(gè)數(shù)；第三步：個(gè)位可放4個(gè)數(shù)．故由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共可組成7×6×4＝168(個(gè))不同的三位數(shù)．11．從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有種(用數(shù)字作答)．答案36解析第一步，先選出文娛委員，因?yàn)榧?、乙不能?dān)任，所以從剩下的3人中選1人當(dāng)文娛委員，有3種選法．第二步，從剩下的4人中選學(xué)習(xí)委員，有4種選法．第三步，從剩下的3人中選體育委員，有3種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法共有3×4×3＝36(種)．12．現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個(gè)人值班，共有5個(gè)人，每個(gè)人都可以值多天或不值班，但相鄰兩天不能同一個(gè)人值班，則此值班表共有種不同的排法．答案1280解析完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法計(jì)數(shù)原理，分步進(jìn)行：第一天有5種不同排法，第二天不能與第一天已排的人相同，所以有4種不同排法，依次類推，第三、四、五天都有4種不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280(種)不同的排法．13．如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24答案B解析長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”個(gè)數(shù)為6×6＝36，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”個(gè)數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48.14．某旅行社共有5名專業(yè)導(dǎo)游，其中3人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，若在同一天要接待3個(gè)不同的外國(guó)旅游團(tuán)，其中有2個(gè)旅游團(tuán)要安排會(huì)英語(yǔ)的導(dǎo)游，1個(gè)旅游團(tuán)要安排會(huì)日語(yǔ)的導(dǎo)游，則不同的安排方法種數(shù)有()A．12 B．13C．14 D．15答案C解析由題意知有1名導(dǎo)游既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，記甲為既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的導(dǎo)游，按照甲是否被安排到需要會(huì)英語(yǔ)的旅游團(tuán)可分為兩類：第一類，甲被安排到需要會(huì)英語(yǔ)的旅游團(tuán)，則可分兩步進(jìn)行：第一步，從會(huì)