高中數(shù)學(xué) 數(shù)列經(jīng)典例題集錦

高中數(shù)學(xué)必修5數(shù)列經(jīng)典例題集錦

華師大教育祈福分校電話老師

高中數(shù)學(xué)必修5數(shù)列題目精選精編

【典型例題】

(-)研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)

1.研究通項(xiàng)的性質(zhì)

例題1.已知數(shù)列滿足

(1)求a2,a3；

(2)證明：

2解：⑴

(2)證明：由已知，故

,所以證得2.

例題2.數(shù)列的前n項(xiàng)和記為

(I)求的通項(xiàng)公式；

(II)等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為

Tn,且，又

成等比數(shù)列，求Tn.

解：(I)由可得，

兩式相減得:

又故是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)

(II)設(shè)的公比為d,由得，可得，可

得故可設(shè)，又

2由題意可得，解得

???等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，

2例題3.已知數(shù)列的前三項(xiàng)與數(shù)列的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，

且

對(duì)任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；

是否存在，使得，請(qǐng)說明理由.

占桃(1)］左邊相當(dāng)

于是數(shù)列前n項(xiàng)和的形式，

可以聯(lián)想到已知Sn求an的方法，當(dāng)時(shí)，

1

華師大教育祈福分校電話老師

(2)把看作一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來(lái)研究的

取值情況.

解：(1)已知)①

時(shí)，一②

一②得，，求得,

在①中令可得得

，所以).

由題意，，，所以

...數(shù)列｝的公差為

(2),

).

單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí),

所以時(shí)，

又，，

所以，不存在，使得

例題4.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝和｛bn｝滿足：an、bn、an+1成等差

數(shù)列，bn>an+l>bn+1成等比數(shù)列，且al=1,bl=2,a2=3,求

通項(xiàng)an,bn解：依題意得：

2bn+l=an+1+an+2①

a2n+l=bnbn+1②

?/an、bn為正數(shù)，由②得，

9

2,代入①并同除以倚：a2=

3,則

當(dāng)n三2時(shí)，，

又al=1,當(dāng)n=1時(shí)成立，

2.研究前n項(xiàng)和的性質(zhì)

例題5.

已知｛an｝的前n項(xiàng)和為，且

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(1)求a、b的值及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.(2)設(shè)

解：(1)時(shí)，

而｛an｝為等比數(shù)列，得，又，得

,從而又

(2),

),得232222,

2.

1

例題6.數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1000,公比為10的等比數(shù)列，數(shù)列｛bn｝滿

足

k

（1）求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和的最大值；（2）求數(shù)列｛|bn|｝的前n項(xiàng)和

Sn.

的等差數(shù)列，

解：（1）由題意：n,，，數(shù)列｛Igan｝是首

項(xiàng)為3,公差為

2,

.\n22

由，得，工數(shù)列｛bn｝的前

n項(xiàng)和的最大值為（2）由（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

例題7.已知遞增的等比數(shù)列｛an｝滿足，且是

a2,a4的等差中項(xiàng).（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式an；（2）若

,求使nl2n23

華師大教育祈福分校電話老師

成立的n的最小值.

解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q>l）,由

1

alq+alq2+alq3=28,alq+alq3=2（alq2+2）,得：al=2,q=2或

al=32,q=2，an=2?2（n-l）（舍）=2n

2(2)V,ASn=-(1?2+2?22+3?23+…+n?2n)

2Sn=—(1,22+2?23+…+n,2n+l),Sn=2+22+23+…+2n—

n?2n+l=—(n—1),2n+l—2,若Sn+n?2n+l>30成立，則2n+l>

32,故n>4,，n的最小值為

*例題8.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且成等差數(shù)

列，函數(shù)

(I)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足

，記數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為T,試比較n

與的大小.

解：(I)成等差數(shù)列，當(dāng)

時(shí)，

①—②得：，，an

當(dāng)n=l時(shí)，由①得，又

是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，

(II),

與的大小，只需比較與

312的大小即可.比較

又

即且

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

即當(dāng)且時(shí)，

3.研究生成數(shù)列的性質(zhì)

4

華師大教育祈福分校電話老師

nn例題9.(I)已知數(shù)列，其中，且數(shù)列

為等比數(shù)列，求常數(shù)

P;

(H)設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，

,證明數(shù)列不是等比數(shù)列.

解：(I)因?yàn)椋鹀n+1—pen｝是等比數(shù)列，故有

(cn+1—pen)2=(cn+2—pcn+1)(cn-pen—1),

將cn=2n+3n代入上式，得

++[2nl+3nl—p(2n+3n)]2

+H----=[2n2+3n2—p(2n+l+3n+l)],[2n+3n—p(2nl+3nl)],

即[(2—p)2n+(3—p)3n]2

---=[(2—p)2n+l+(3—p)3n+l][(2—p)2nl+(3—p)3nl].1

整理得6(2—p)(3-p)?2n?3n=0,

解得p=2或p=3.

(II)設(shè)｛an｝、｛bn｝的公比分別為p、q,p#q,cn=an+bn.

為證｛cn｝不是等比數(shù)列只需證c2Wcl-c3.

事實(shí)上，c2=(alp+blq)2=alp2+blq2+2alblpq,

cl?c3=(al+bl)(alp2+blq2)=alp2+blq2+albl(p2+q2).

由于pNq,p2+q2>2pq,又al、bl不為零，

2c因此，故｛cn｝不是等比數(shù)列.222222

例題10.n2(nN4)個(gè)正數(shù)排成n行n歹U：其中每一行的數(shù)成等差數(shù)

列，每一列的數(shù)成，

求5=211+a22+a33+”+arm解：設(shè)數(shù)列｛alk｝的公差為d,數(shù)

列｛aik｝(i=l,2,3,n)的公比為q

則alk=all+(k—1)d,akk=[al1+(k—1)d]qkl—

,解得：all=d=q=±2依題意得：

又n2個(gè)數(shù)都是正數(shù)，

lkk/.al1=d=q=2,.*.akk=

5

華師大教育祈福分校電話老師兩式相減得：

例題11.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過

點(diǎn)A(2,1)和B(5,2),記

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，若，求m的最小值；

(3)求使不等式對(duì)一切

均成立的最大

實(shí)數(shù)

解：(1)由題意得，

解得，

,22222①

(2)由(1)得

一②

得

,22.

設(shè)，則由

n2得隨n的增大而減小

當(dāng)時(shí)，又恒成立,

對(duì)

(3)由題意得恒成立

記1111(1,則

6

華師大教育祈福分校電話老師

即F(n)是隨n的增大而增大

F(n)的最小值為,,即.

(二)證明等差與等比數(shù)列

1.轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列.

*例題12.數(shù)列｛an｝中,且滿足

⑴求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，求Sn；

1

**⑶設(shè)是否存在最

大的整數(shù)m,使得

m

*對(duì)任意，均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，

請(qǐng)說明理由.解：(1)由題意，an,為等差

數(shù)列，設(shè)公差為d,由題意得，

（2）若則時(shí)

對(duì)任意成立，即對(duì)任意

成立，若

的最小值是2,的最大整數(shù)值是7.

即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有

a例題13.已知等比數(shù)列｛bn｝與數(shù)列｛an｝滿足

華師大教育祈福分校電話老師（1）判斷｛an｝是何

種數(shù)列，并給出證明；

（2）若

解：⑴設(shè)｛bn｝的公比為q,

o所以｛an｝是以log3q為公

差的等差數(shù)列.a

所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得

2.由簡(jiǎn)單遞推關(guān)系證明等差等比數(shù)列

例題14.已知數(shù)列｛an｝和｛bn｝滿足:

0,),且｛bn｝是以q為公比的等比數(shù)列.

(I)證明：；

(II)若，證明：數(shù)列｛cn｝是等比數(shù)列;

(III)求和：ala2a3a4

q2解法1：(I)證：由bn,

2(II)證：Van,

是首項(xiàng)為5,公比為q2的等比數(shù)列.

1

(III)解：由(II)得,a,于是

1111111

當(dāng)時(shí),

ala2

當(dāng)時(shí)，ala2

8

華師大教育祈福分校電話老師

故

解法2：(I)同解法1(1).

(H)證：cn,又

是首項(xiàng)為5,公比為q2的等比數(shù)列.

(III)由解法1中(II)的類似方法得

.X

n.

例題15.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且其中

(1)證明：數(shù)列

(2)設(shè)數(shù)列

求數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列；n｛an｝的公比，數(shù)列｛bn｝滿足

,b=f(b(n6N*,n22),n-1)｛bn｝的通項(xiàng)公式；

,求數(shù)歹lJ｛Cn｝的前n項(xiàng)和Tn.bn

(1)證明：由

數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列相減得：

(3)設(shè)，

(2)解：

是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，

n(3)解：時(shí)nnn2bn2

9

華師大教育祈福分校電話老師

①一②得:

②所以:

例題的各個(gè)頂點(diǎn)分別為(0,0),(1,0),(0,2),設(shè)P1為線段

BC的中點(diǎn)，P2為線段OC的中點(diǎn)，P3為線段OP1的中點(diǎn).對(duì)每一個(gè)正整數(shù)

3為線段的中點(diǎn).令Pn的坐標(biāo)為(xn,yn),

(1)求al,a2,a3及

(3)記，證明：｛bn｝是等比數(shù)列.

13(1)解：因?yàn)閥l=y2=y4=l,y3=,y5=,所以得al=a2=a3=2.24

又由，對(duì)任意的正整數(shù)n有2

(2)證明:

恒成立，且al=2,所以｛an｝為常數(shù)數(shù)列，an=2,(n為正整數(shù))

(2)證明：根據(jù)，及

,易證得yn+4=l—n224

(3)證明：因?yàn)?1-

又由一)一(1—4n),,

44

所以｛bn｝是首項(xiàng)為4,公比為4的等比數(shù)列.

10

【模擬試題】

一、填空題

1.在等差數(shù)列｛an｝中，已知al=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于=.

2.已知數(shù)列的通項(xiàng)，則其前n項(xiàng)和

3.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開始為正，則公差d的取值范

圍是

2

4.在等比數(shù)列｛an｝中，a3和a5是二次方程的兩個(gè)

根，則a2a4a6的值為.

5.等差數(shù)列｛an｝中,al=La3+a5=14,其前n項(xiàng)和Sn=100,則.6.

等差數(shù)列｛an｝的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)的和為100,求它的前3m項(xiàng)的和為

,b77.已知兩個(gè)等差數(shù)列n和n的前n項(xiàng)和分別為An

和n,且n

an

bn為正整數(shù)，n的取值個(gè)數(shù)為o

8.已知數(shù)列對(duì)于任意p,，有，若

*

1

9,則

9.記數(shù)列｛an｝所有項(xiàng)的和為S(l),第二項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為S(2),第

三項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為，第n項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為S(n),若

,S⑵

，則an等于.

10.等差數(shù)列｛an｝共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319,偶數(shù)項(xiàng)之和

為290,則其中間項(xiàng)

為.

2

11.等差數(shù)列｛an｝中，，若且，

,則m的值為.

12.設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.已知

,則n等于

13.已知函數(shù)f(x)定義在正整數(shù)集上，且對(duì)于任意的正整數(shù)x,都有

，且，貝

14.三個(gè)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，且，則b的取值范

圍是.15.等差數(shù)列｛an｝中，前n項(xiàng)和為Sn,首項(xiàng)(1)若

,求n(2)設(shè)

an

，求使不等式的最小正整數(shù)n的值.

點(diǎn)撥：在等差數(shù)列中an,Sn,n,d知道其中三個(gè)就可以求出另外一個(gè)，由

已知可以求出首項(xiàng)al與公差d,把a(bǔ)n,Sn分別用首項(xiàng)al與公差d,表示即

可.對(duì)于求和公式

,2

d采用哪一個(gè)都可以，但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個(gè)可能

更2

簡(jiǎn)單一些.例如：已知判斷S17,S18,S20

的正負(fù).問題2在思考時(shí)要注

意加了絕對(duì)值時(shí)負(fù)項(xiàng)變正時(shí)，新的數(shù)列首項(xiàng)是多少，一共有多少項(xiàng).16.

等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S

V2

n,

0

(I)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和為Sn；(H)設(shè)

Sn

*

n(),求證：數(shù)列｛bn｝中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.

，對(duì)一切正整數(shù)n,點(diǎn)Pn位17.

在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列P

于函數(shù)

513

4的圖象上，且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列

{xn}.

⑴求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；

⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于x軸，

第n條拋物線cn的

2

頂點(diǎn)為Pn,且過點(diǎn)，設(shè)與拋物線cn相切于Dn的直線的斜

率為kn,求：

設(shè)

,1等差數(shù)列{an}的任一項(xiàng)

,其中al是中的最大數(shù)，，求{an}

的通項(xiàng)公式.

*

已知數(shù)列滿足

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列滿足(n6N*),證明:

是等差

1

2

n

n

數(shù)列.

【試題答案】

1.42

小

;5個(gè)

解法一：點(diǎn)撥利用等差數(shù)列的求和公式

“若，則

2及等差數(shù)列的性質(zhì)

，，

2

11313

b2解析:7=

2

這個(gè)結(jié)論，根據(jù)條件nn解法2：點(diǎn)撥利用“若｛｝為等

差數(shù)列，那么

找出an和bn的通項(xiàng).

解析：可設(shè)，，則

,則

,顯然只需使為正整數(shù)即可，由上面的解法2可知

故，共5個(gè).

點(diǎn)評(píng)：對(duì)等差數(shù)列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據(jù)具體的情況

能夠靈活應(yīng)用.反思：解法2中，若是填空題，比例常數(shù)k可以直接設(shè)為1.

8.4

解: