高中數(shù)學(xué)課時檢測30蝗制蘇教版必修第一冊

弧度制

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.（2021?常州高一月考）學(xué)校操場上的鉛球投擲落球區(qū)是一個半徑為10米的扇形，并

且沿著扇形的弧是長度為約6米的防護欄，則扇形弧所對的圓心角的大小約為（）

A.0.6

D.600

解析：選A根據(jù)條件得，扇形半徑為10,弧長為6,所以圓心角為卷=0.6rad.

2.（2021?山東煙臺高一月考）已知一個扇形的半徑與弧長相等，且扇形的面積為2cm2,

則該扇形的周長為（）

A.6cm

C.12cm

解析：選A設(shè)扇形的半徑為Rcm,則弧長1=Rcm,又因為扇形的面積為2cm',所

以/#=2,解得R=2cm,

故扇形的周長為6cm.故選A.

3.《九章算術(shù)》成書于公元一世紀(jì)，是中國古代乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專

著.書中記載這樣一個問題“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田兒何？"（一步=

1.5米）意思是現(xiàn)有扇形田，弧長為45米，直徑為24米，那么扇形田的面積為（）

A.135平方米B.270平方米

C.540平方米D.1080平方米

1I24

解析：選B根據(jù)扇形的面積公式，計算扇形田的面積為S=]“=1X45X5=270（平

方米）.

4.已知扇形的周長為12cm,圓心角為4rad,則此扇形的弧長為（）

A.4cmB.6cm

C.8cmD.10cm

解析：選C由題意，設(shè)扇形所在圓的半徑為R,則扇形的弧長為1=4R,所以7+27?

=4斤+246仁12,解得42,所以扇形的弧長為/=4X2=8（cm）.

5.明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩

索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行兩步恰竿c

齊，五尺板高離地……”某教師根據(jù)這首詞設(shè)計一題：如圖，已知48，/,/J

CD1.1,AE=AC,CFLAE,徵=5,BE=2,FC=3小,則弧應(yīng)的長為()

BD

A.nB.45n

A/3

C.2JTD.手“

解析：選C由題意產(chǎn)十(3m)2=力/+(5—2),解得CQ3,

一一.五幾

所以/業(yè)/=7",ZFAC=-

63f

H

所以弧比的長為W"X6=2n.

11JI

6.-105°化為弧度為，一―化為角度為

兀7

解析：-1050=-105X—=-n,

ioU1Z

1111

—n=-JiX°=660°.

Jo

7

答案：一/口660°

7.弧長為3n,圓心角為135°的扇形的半徑為.,面積為

3JIi

解析：因為135°=—d1==，所以扇形的半徑為一7^=4,面積為5義3"><4=6

loU46JiZ

K—K

4

答案：46n

8.若角。的終邊與角方的終邊關(guān)于直線片x對稱，且4")，則。=

解析：如圖所示，設(shè)角《的終邊為的，的關(guān)于直線y=x對稱的射線

O

為10B,則以如為終邊且在。到2人之間的角為?，

故以仍為終邊的角的集合為卜|。=2h+李A(yù)ezk

一/、?兀1311

.??H46-4"⑵"+y<4n一?.一不r代

,:kRZ,:.k=-2,-1,0,1.

11n5nn7n

??t-

33，3'3,

11n5nn7n

答案:

33，3，3

fn冗.Uaf告,ne

9.集合A=r"一2B=

￡尸=|/7ezujp￡=〃n+1~,/?ek求力與8的關(guān)系.

解：法一：集合48中角的終邊，如圖所示.

所以6A.

mi

法二：aa=Fn^L={o\a=kn,AGZ)U5aa=An+—,kG

c2/731,[2兀

￡B=~^~,〃q={￡|￡=24n，4eZ}uj￡￡=24冗±-^-,kQ

比較集合48的元素知,8中的元素都是力中的元素，但力中元素。=(24+1)JT(AeZ)

不是6中的元素，所以6A.

10.一個扇形的面積為1,周長為4,求圓心角的弧度數(shù).

解：設(shè)扇形的半徑為r,弧長為/,

圓心角為。.則2r+/=4.

根據(jù)扇形面積公式s=%,得1=6

/2r+/=4,

r=l,

解得

1=2,

…12

所以°=；=I=2.

故所求圓心角的弧度數(shù)為2.

[B級綜合運用]

11.(多選)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中''方田”章給出計算

弧田面積所用的經(jīng)驗公式為弧田面積弦X矢+矢》，弧田(如圖所示)由圓弧和其所對弦

所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心

角為厚，半徑等于4米的弧田.下列說法正確的是()

A.“弦”/8=4小米，“矢”<7)=2米

B.按照經(jīng)驗公式計算弧田面積為(4/+2)平方米

C.按照弓形的面積計算弧田的實際面積為（等一2鎘）平方米

D.按照經(jīng)驗公式計算所得弧田面積比實際面積少算了大約0.9平方米（參考數(shù)據(jù):小七

1.73,n七3.14）

解析：選ABD由題意可得/力如=與，如=4米，在口△/如中，可得/月浙一■,Z

OO

DAO=-r.如=4力g〈X4=2（米），可得“矢""=4—2=2（米），由力片力加ing=4X坐

Ozz3z

=2鎘（米），可得“弦”46=24?=4/（米），所以弧田面積斗弦X矢+矢2）=*44X

2+冷=4m+2（平方米）.實際面積=上等義42—賢4W><2=等—4業(yè)平方米），等

一六向一44一2七0.9（平方米）.綜上可知A、B、I）正確，C錯誤.

12.已知某機械采用齒輪傳動，由主動輪材帶著從動輪N轉(zhuǎn)動（如圖

所示），設(shè)主動輪"的直徑為150mm,從動輪"的直徑為300mm,若主

動輪M順時針旋轉(zhuǎn)方，則從動輪“逆時針旋轉(zhuǎn)（）

解析：選B設(shè)從動輪"逆時針旋轉(zhuǎn)erad,由題意，知主動輪材與從動輪"轉(zhuǎn)動的弧

長相等，所以等x￡~=^X0,解得。=去故選B.

13.已知圓的一段弧長等于該圓外切正三角形的邊長，則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)的

絕對值為;若圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正方形的周長，那么這段弧所對圓心角的

弧度數(shù)的絕對值為

解析：設(shè)圓半徑為r,這段弧所對圓心角的弧度數(shù)為0,則圓外切正三角形的邊長為

24八|。|=*=2/；又圓內(nèi)接正方形的邊長為圓弧長為4mr,|

=4y[2.

答案：4^2

14.某公司擬設(shè)計一個扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)是由‘、

D*

以點。為圓心的兩個同心圓弧和線段4。，比■圍成的.設(shè)圓弧自而所

在圓的半徑分別為八，△（單位：米），圓心角為，（單位：弧度）.

（1）若9八=3,々=6,求花壇的面積；

（2）設(shè)計時需要考慮花壇邊緣（實線部分）的裝飾問題，已知直線部分的裝飾費用為60

元/米，弧線部分的裝飾費用為90元/米，預(yù)算費用總計1200元，問線段］。的長度為多少

時，花壇的面積最大？

解：（1）花壇的面積S=Jx6°xq"一1X32X-Y=|JI（平方米）.

LiJ乙J乙

（2）弧功的長為，。米，弧近的長為夏。米，線段曲的長為5一n）米.

由題意知60?2（^2—力）+90（ri。+力夕）=1200,

即4（乃一為）+35。+力夕）=40（*）.

則花壇的面積。）（及一打）.

404

由（*）式知，及e+n夕=丁一可（々一，），

oo

記r2-ri=x,則0〈水10,

所以S=I與-方，x=-'（x—5>+芋，xG（0,10）,

當(dāng)x=5時，S取得最大值，即4〃=5米時，花壇的面積最大.

［C級拓展探究］

15.如圖，一長為4dm,寬為1dm的長方形木塊在桌面上作無滑動翻滾，翻滾到第

四次時被一小木塊擋住，使木塊底面與桌面所成角為小，試求點4走過的路程及走過的弧所