高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧總結(jié)

解圓錐曲線問題的常用方法大全

1、定義法

(I)橢圓有兩種定義。第一定義中，ri+r2=2ao第二定義中，ri=edir2=ed2?

⑵雙曲線有兩種定義。第一定義中，|八=2a,當(dāng)ri>n時(shí)，注意f2的最小值為c-a：第二定義中，n=edi，

r2=ed2,尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。

(3)拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡(jiǎn)明。

2、韋達(dá)定理法

因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最

終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，

弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。

3、解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為

“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對(duì)于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)

A(Xi,y)B(X2,y2),弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo),將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)

系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有：

22

(1)5+5=1(。>〃>0)與直線相交于人、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo),則有烏+與A=0。

a-ba1b

22

(2)與一2r=1(。>0口〉0)與直線1相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo)則有烏—2人=0

bab~

(3)y2=2px(p>0)與直線1相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x(),yo)廁有2y°k=2p,即y()k=p.

【典型例題】

例1、⑴拋物線C:y2Hx上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4J5)與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(2)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,l)與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_____________。

分析：⑴A在拋物線外，如圖，連PF,貝同=歸4，因而易發(fā)現(xiàn)，{A6當(dāng)A、

P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。H—書

(2)B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRJJ交于R,則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，J距離和

最小。

解：⑴(2,V2)

4A/7-0

連PF,當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，|4目+|尸可=同勺+|0月最小，此時(shí)AF的方程為y-----(x-1)即

3—1

y=2正(x-1),代入y2=4x得P(2,2后)，(注：另一交點(diǎn)為五)，它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去)

⑵(-,1)

4

過Q作QRL交于R,當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，忸Q+Q月=忸。+舊/最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,代

入y2=4x得X=L.\Q(1,1)

44

點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。

x2y2

例2、F是橢圓一+匚=1的右焦點(diǎn)，A(l,l)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。

43

(1)|P4+|P目的最小值為

(2)歸4+斗0月的最小值為.

分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑尸尸或準(zhǔn)線作出來考問

題。

解：(1)4-A/5

設(shè)另一焦點(diǎn)為尸'，則尸(-1,0)連AR',Pb'

|曰+|P月:|曰+la-\PF'\=2a-(\PF'\-\P^>2a—|=4—石

當(dāng)P是尸A的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，|酬+|PF|取得最小值為4-V5。

(2)3

作出右準(zhǔn)線1,作PHJ_1交于H,因a?=4,b2=3,c2=l,a=2,c=l,e=—,

2

\PF\=即2|尸耳=\PH\

：.\P/\+Q\PF\=\P^+\PH\

2

當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為^-—=4-1=3

C

2222

例3、動(dòng)圓M與圓Ci：(x+l)+y=36內(nèi)切，與圓C2：(x-l)+y=4外切,求圓心M的軌跡方程。

分析：作圖時(shí)，要注意相切時(shí)的“圖形特征”：兩個(gè)圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線

(如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線)。列式的主要途徑是動(dòng)圓的“半徑

等于半徑”(如圖中的pwc|=Mq)。

解:如圖，Mq=Mq,

.?.眼4+眼闿=8(*)

.?.點(diǎn)M的軌跡為橢圓，2a=8,a=4,c=l,b?=15軌跡方程為一+匚=1

1615

點(diǎn)評(píng)：得到方程(*)后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出

J(x+l)2+y2+J(l)2+y2=4,再移項(xiàng)，平方，…相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！

3

例4、AABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=gsinA,求點(diǎn)A的軌跡方程。

分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R(R為外接圓半徑)，可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的關(guān)系。

33

解：sinC-sinB=—sinA2RsinC-2RsinB=—,2RsinA

55

3

即4一|4-=6(*)

.?.點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點(diǎn))

V2a=6,2c=10

/.a=3，c=5,b=4

22

所求軌跡方程為^--匕=1(x>3)

916

點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解題，這里由(*)式直接用定義說明了軌跡(雙曲線右支)

例5、定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M到x軸的最短距離。

2

分析：(1)可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(xi,xi，B(X2,X2),又設(shè)AB中點(diǎn)為M(xoyo)用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)

公式得出yo關(guān)于xo的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。

(2)M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。

解法一：設(shè)A(X1，X|2),B(X2，X22),AB中點(diǎn)M(XO，yo)

①

②

③

由①得(x1-X2)2[1+(X1+X2)2]=9

22

B|J[(XI+X2)-4XIX2],[l+(Xj+X2)]=9④

由②、③得2xiX2=(2xo)2-2yo=4x()2-2yo

222

代入④得[(2x0)-(8x0-4yo)]?[l+(2x0)]=9

?*-4y0-4x；9

l+4x；

QQ

4>1o=4^+—=(4^+l)+——-1

4x；4%;+1

22百-1=5,y0>|

B5Fy5

當(dāng)4X()2+1=3即/=士時(shí)，(y())min=W此時(shí)”(士可，/

法二：如圖，?\MM2\=\AA2\+\BB2\=\AF\+\BF\>\A^=3

313

A\MMt\當(dāng)AB經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。

.??M到x軸的最短距離為之

4

點(diǎn)評(píng)：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消xi，X2,從而形成yo關(guān)于xo的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不

求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利

用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當(dāng)三角形“壓扁”

時(shí)，兩邊之和等于第三邊)的屬性，簡(jiǎn)捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過焦點(diǎn)

F,而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。

例6、已知橢圓—+上一=l(2<m<5)過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A、

mm-\

B、C、D、設(shè)f(m)=MW-|CD||,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。

分析：此題初看很復(fù)雜，對(duì)f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因A、B來源于“不同系統(tǒng)”，A在準(zhǔn)線上，B在橢

圓上，同樣C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防

f(m)=卜4-%)0~(XD-％)后卜行|(4-4)-(%D*)|

=V2|(xg+xc)-(xA+xD)|

=V2|(XB+XC)|

此時(shí)問題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。

XV

解：(1)橢圓---1------=1中，a2=m,b2=m-l,c2=l,左焦點(diǎn)Fi(-l,O)

mm一1

則BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0

得(m-1)x?+m(x+l)2-m2+m=0

(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

2nt

設(shè)B(xi,y1),C(X2,y2),則Xj+X2=-------(2<m<5)

2m-1

==y/2\(xB-xA)-(xD-xc)|

2m

=V2|(Xj+x)-(x+x)|=V2|x,+x|=V2.

2Ac22m-1

、”、rr2,171-1+1rr..1

(z2)/(m)=J2-----------=v2(lH----------)

2m-l2m-1

...當(dāng)m=5時(shí)，/(m)min=

當(dāng)m=2時(shí)，/(加)max=Y4V-2

點(diǎn)評(píng)：此題因最終需求人+%，而BC斜率已知為1,故可也用“點(diǎn)差法”設(shè)BC中點(diǎn)為M(xo,yo),通過將B、

C坐標(biāo)代入作差，得包+上匚山=0,將yo=xo+l,k=l代入得配+也把=0,；.Xo=-一嘰，可見

mm-\mm-\27n-l

2m

XB+XC

2m-1

當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對(duì)/(〃z)=||Aq-|CD||的認(rèn)識(shí)，通過線段在X軸的“投影”發(fā)現(xiàn)/(加)=|4+XC|

是解此題的要點(diǎn)。

【同步練習(xí)】

22

1、己知：F”F2是雙曲線二y—%=1的左、右焦點(diǎn)，過Fl作直線交雙曲線左支于點(diǎn)A、B,若［4耳=〃2,

△ABF2的周長(zhǎng)為()

A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m

2、若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則P點(diǎn)的軌跡方程是

()

A、y2=-16xB、y2=-32xC、y*2=16xD、y2=32x

3、已知4ABC的三邊AB、BC、AC的長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，且|Aq>|AC|,點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(-1,0),

(1，0),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()

2222

"-1

A、------1-------1B、?+—>。)

43

2222

C、?+q=l(x<0)D、亍+(=l(x>0且y*0)

4、過原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(l,0),其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,則橢圓中心的軌跡方程是

()

(x_g)2+y2

A、B、++y2

*2+(y_；)2D、*2+(y+g)2=箝聲_1)

C、=$~1)

x2

5、已知雙曲線——1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4,則點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離是,

916

6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是

7、已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點(diǎn)p(-2,0),則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是

8、過雙曲線x2-y2=4的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長(zhǎng)為

9^直線y=kx+1與雙曲線x2?y2=l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則k=.

22

10、設(shè)點(diǎn)P是橢圓L+)二=1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)l,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求Sin/F|PF2的最大值。

259

11、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列,

若直線1與此橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M為(-2,1),b耳=46，求直線1的方程和橢圓方程。

12、己知直線1和雙曲線==1(。＞00＞0)及其漸近線的交點(diǎn)從左到右依次為A、B、C、D。求證:

ah~

|蝴=陋。

【參考答案】

1、C

|4|-3周=2a,\BF^\-\BF^=2a,

.,.|4周+忸閭一|4q=4",|4用+忸用+|4q=44+26,選?

2、C

點(diǎn)P至UF與至iJx+4=0等距離，P點(diǎn)軌跡為拋物線p=8開口向右，則方程為y2=16x,選C

3、D

?.[M+M=2X2,且目＞M

?.?點(diǎn)A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又A、B、C三點(diǎn)不共線，即yWO,故選D。

4、A

設(shè)中心為(x,y),則另一焦點(diǎn)為(2x-l,2y),則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4得1+J(2X-1)2+(2y)?=4,

①又c<a,.\J(x-1)2+/<2

.,.(x-l)2+y2<4(2),由①，②得x#-l,選A

29

5、—

3

左準(zhǔn)線為x=，Q,M到左準(zhǔn)線距離為d=4-(-30)=2二9則M到左焦點(diǎn)的距離為4=二5?29二=2二9

555353

11、

6、\(yz>5)

222

設(shè)弦為AB,A(xi,yi),B(X2，y?)AB中點(diǎn)為(X,y),則yi=2x/，y2=2x2,yi-y2=2(xi-X2)

0—丫2=2(%+/)，2=2?2x,x=-

x}-x22

將x=；代入y=2x2得y=；,軌跡方程是x=；(y>；)

7、y2=x+2(x>2)

設(shè)A(xi,yi),B(X2，yz),AB中點(diǎn)M(x,y),則

y；=2*,￡=2尤2，犬一父=2(玉-x2),^~--(y,+必)=2

王一修

y-0

?2y=2,即y2=x+2

x+2x+2

又弦中點(diǎn)在已知拋物線內(nèi)P,即y2<2x,即x+2<2x,，x>2

8、4

“2=〃=4,。2=&c=2后，令x=2jl代入方程得8-y2=4

：.y2=4,y=±2,弦長(zhǎng)為4

9、±衣或±1

y=kx+l代入x2-y2=l得x2-(kx+l)2-l=0

.,.(l-k2)x2-2kx-2=0

①Jl—"得4k2+8(1一k2)=0,k=±V2

A=0

②1*2=0得k=±1

10、解：a2=25,b2=9,c2=16

設(shè)Fi、F2為左、右焦點(diǎn)，則F(4,0)F2(4,0)

設(shè)忸制=ri,\PF2\=公3軌=e(/

則卜+々=小

22

[rj+^-2rtr2cos。=(2c)

2

①2-②得2nr2(l+cos6)=4b

/.1+cos0=4"=笠-Vri+r2>,.'mn的最大值為a2

2和八2

1+cos。的最小值為——,即1+cos。2—

777i

cos0>----，O<0<^-arccos—?jiǎng)t當(dāng)6=—時(shí)，sine取值得最大值1,

25252

即sinNFFFz的最大值為lo

11、設(shè)橢圓方程為三+3=l(a>8>0)

ab"

由題意：C、2C、幺+c成等差數(shù)歹|J,

C

4c=C+—+C即=2c2,

c

a2=2(a2-b2),a2=2b2

X1y2、

橢圓方程為—^+—7=1,設(shè)A(X],yD，B(X2,y2)

2bb-

2222

貝IJ3+4=1①與=1②

2b2b12b2b2

①-②得、—產(chǎn)+;二K=o

2b2b2

；.2+烏?％=()

2b"b2

-2,

即----FZ=O/.k=l

2

直線AB方程為y-l=x+2即y=x+3,代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0

.,.3x2+12x+18-2b2=0,|A.=|X|_/|"71=9122—12(18—2小)行=4g

22

解得b2=12,橢圓方程為琶+會(huì)=1,直線1方程為x-y+3=0

12、證明：設(shè)A(xi，yi),D(X2,y2),AD中點(diǎn)為M(x。，yo)直線1的斜率為k,則

會(huì)-條①①①-②得爭(zhēng)—駕M=0③

'^_4=1②"人

a2b2

設(shè)B(x[,*),C(芯,工),BC中點(diǎn)為M'(芯,%),

則務(wù)母二°④

12.2-

生一江=0⑤

匠b2~

④-⑤得當(dāng)-郃?/=()⑥

ab~

由③、⑥知M、M'均在直線/'：二一一上，而M、又在直線1上，

ab~

若1過原點(diǎn)，則B、C重合于原點(diǎn)，命題成立

若1與x軸垂直，則由對(duì)稱性知命題成立

若1不過原點(diǎn)且與X軸不垂直，則M與AT重合

；.|例=卬

橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)總結(jié)

橢圓

1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PFE在點(diǎn)P處的外角.

2.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的

兩個(gè)端點(diǎn).

3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.

4.以焦點(diǎn)半徑PF.為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.

22

5.若兄(%,為)在橢圓=+與=1上，則過外的橢圓的切線方程是"+岑=L

crbab"

22

6.若玲(毛,為)在橢圓1+2=1外，則過P。作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為Pi、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程

ah

7.橢圓=+==1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)/々PE,=/,則橢圓的焦點(diǎn)

ab~

角形的面積為S”戶「=b2tan—.

22

橢圓(a>b>0)的焦半徑公式:

\MFl\=a+ex0,\MF2\=a-ex0(Fl(-c,Q),F2(c,0)M(x0,y0)).

9.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦

點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFJ_NF.

10.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,Ai、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，AiP和A?Q交于點(diǎn)M,A2P

和AiQ交于點(diǎn)N,則MFJ_NF.

XV""

11-AB是橢圓—r+二丁=1的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(4，yo)為AB的中點(diǎn)，則左。時(shí)?第8=一-7-

alrCI

pm"_bx。

即KAB~2°

ay0

12.若《（小,%）在橢圓1內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是綽+岑=與+4.

ab-a~b-

22

13.若在橢圓1內(nèi)，則過p。的弦中點(diǎn)的軌跡方程是2=號(hào)+曄.

a-b-ab-

雙曲線

1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.

2.PT平分△PRF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)

軸的兩個(gè)端點(diǎn).

3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.

4.以焦點(diǎn)半徑PFi為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)

22

5.若兄(%,%)在雙曲線三一與=16>0內(nèi)>0)上，則過兄的雙曲線的切線方程是警—岑=1.

aab

X2y2

6.若〃(/,%)在雙曲線二一二=1(a>0,b>0)外，則過P。作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為Pi、P2，則

ab~

切點(diǎn)弦PF2的直線方程是學(xué)-渾=1.

a~b-

7.雙曲線二一谷=1(a>0,b>o)的左右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)NKPK=7,

a"b~

則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為&=b%ot乙.

斗/「22

22

8.雙曲線\一==1(a>0,b>o)的焦半徑公式：(6(—c,0),8(c,0)

ab~

當(dāng)M(%,%)在右支上時(shí)，|M￡|=eXo+a,|M巴

當(dāng)M(x0,%)在左支上時(shí),|MF{|=-ex0+a,\MF2\=-ex0-a

9.設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別

交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF_LNF.

10.過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,AkA2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AF和A?Q交于

點(diǎn)M,A2P和AiQ交于點(diǎn)N,則MFJ_NF.

x2y2

2AB

11.AB是雙曲線=一r=1(a>0,b>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(%,yo)為的中點(diǎn)，則

a-y0ay0

r2y2

12.若兄(%,%)在雙曲線r—二=1(a>0,b>0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是

ab

22

xoxyoyx0__純

/b2~a2b1,

22

13.若用(%,%)在雙曲線=1(a>0,b>0)內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是

ab“

22

__3r二與x

/一記一k丁

橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論

橢圓

(a>b>o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(—a，0),A2(a,0),與y軸平行的直線交橢圓于PLP2時(shí)

AR與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是0-七=1.

2.過橢圓力+方=1(a>0,b>0)上任一點(diǎn)4不,為)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B.C兩點(diǎn),

則直線BC有定向且左跋=￡盧(常數(shù)).

22

3.若P為橢圓「+3=1(a>b>0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),R,F2是焦點(diǎn)，NPF；K=a,

ab

aB

NPFE=/3,則"工tan——

a+c22

22

4.設(shè)橢圓二+與=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為R、F"P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PBF2

ab

sinc

中，記/耳?乙=。，4PFE=B/F\F‘P=y,則有----------=—=e

sinp+sin/a

X22

5.若橢圓r+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)0<?五行一1時(shí),可

a

在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PF,是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF?的比例中項(xiàng).

22

6.P為橢圓二+[=1(a>b>0)上任一點(diǎn),FI,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則

ab~

2a-1AF21<|PA\+\PF,\<2a+\4用,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.

7.橢圓包—，廣+。一；。)2=1與直線Ax+By+C^Q)有公共點(diǎn)的充要條件是

礦b

A2a2+B~b2>(A/+By。+C)2.

22

Xy

8.己知橢圓r+=1(a>b>0),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OPLOQ.(1)

a~

11*+2⑵]。叫做產(chǎn)的最大值為黑；⑶的最小值是黑.

-\--O--P---\-72---1-0----2---1T2

22

9.過橢圓，+春'=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交

IPF\

x軸于P,則士」=￡e.

\MN\2

22

10.已知橢圓，+方=1(a>b>0),A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)

222

n/nla-ha-b-

P(x(),0),則--------</<-------.

aa

22

11.設(shè)P點(diǎn)是橢圓=+二=1(a>b>0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),B、F2為其焦點(diǎn)記/"PE=6,則

礦b

2b2

(l)l^\\PF[------------.(2)SAP/F2=btan—.

21+cos0

22

12.設(shè)A、B是橢圓「+與=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，APAB=a,

a-b~

2ah2|cosa|

NPBA=/3,NBPA=y,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)|尸川=?⑵

a2-c2cos2y

tanatan夕=1-e?.(3)SAPAB=---7cot/.

h~_ci~

x2y2

13.已知橢圓=+==1(a>b>0)的右準(zhǔn)線/與x軸相交于點(diǎn)E,過橢圓右焦點(diǎn)R的直線與橢圓相交

ab~

于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線/上，且BCLx軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).

14.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線

垂直.

15.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.

16.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).

(注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).)

17.橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.

18.橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).

雙曲線

1.雙曲線與=1(a>0,b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為4(-。,0),43,0)，與y軸平行的直線交雙曲線

a

22

于Pi.P2時(shí)AiP,與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是=1.

ab

22

2.過雙曲線=1(a>0,b>o)上任一點(diǎn)4(%,%)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于

a"b"

b2

B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且彳x也(常數(shù)).

?%

22

3.若P為雙曲線二-二=1(a>0,b>0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),Fi,F2是焦點(diǎn),

礦片

ZPF}F2-a.ZPF2Fi-/3,則^―-=tan—(或^―-=tan—cot—).

c+a22c+a22

22

4.設(shè)雙曲線4=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為B、F2,P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，

a~tr

cin/y「

在△PF1F2中，記NPF\F2=B，/F\RP=y，則有一----------=—=e.

±(sin/-sin/?)a

22

5.若雙曲線與一與=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為