小學幾何問題

幾何問題

蝴蝶模型

請看這個GD邊形

①削r*SiXS3=S2XS4

04CUJ3

②Si+S2_SdBDA_AOSI+S4_S&ACD_

S^S,=S^BDC='CO

S2+S3S^ACBBO

再看一個?邊形:

②Si：Si=a2:b2

③S:S2：S3：S4=好：abh2ab

④梯形面積S的對應份數(shù)是（。+力）2

如果在題中沒有蝴蝶一加輔助線構造

例1、如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形

的面積已知，求：⑴三角形aK的面積；：GC=?

B

例2、如圖，長方形ABCD中,BE：EC=2：3,DF\FC=\：2,三角

形〃%的面積為2平方厘米，求長方形4?切的面積。

例3、如圖，W=2,￡=4,求梯形的面積

例4、在下圖的正方形/版中，月是a1邊的中點，4月與劭相交于尸

點，三角形應F的面積為1平方厘米，那么正方形/四面積是多少

平方厘米。

例5、如下圖，梯形力灰力的"平行于切，對角線力C〃。交于。，

已知△/%與的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么

梯形力凡力的面積是多少平方厘米。

例6、已知45徵是平行四邊形，BC\CE=3：2,三角形〃〃夕的面積

為6平方厘米。則陰影部分的面積是多少平方厘米？

例7、如圖，在長方形中，AB=6,AD=2,AE=EF=FB,求陰

一半模型：

①等底等高的兩個三角形面積相等；

②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比;

兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；

如左圖￡:5?=a:。

③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖以皿=工板；

反之，如果=，則可知直線A8平行于CD.

④等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特

殊的平行四邊形）；

⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；

⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊

形底相等，面積比等于它們的高之比.

1.四邊形ABCD的對角線BD被E、F兩點三等分，且四邊形AECF的面

積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖所示）。

試一試:

1、四邊形ABCD的對角線BD被E、F、G三點四等分，且四邊形

AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的

面積（如圖）。

BC

2、已知四邊形ABCD的對角線被E、F、G三點四等分，且陰影部

分面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖所示）。

3.如右圖，ABCD是長方形，圖中的數(shù)字是各部分的面積數(shù)，則圖中

陰影部分的面積為

三角形：燕尾模型

在三角形ABC中，AD,BE,b相交于同一點。，那么$?:氏e=8。:短C.

【例1】2009年第七屆希望杯五年級一試試題）如圖，三角形A8C的

面積是1,E是4c的中點，點。在BC上，且8D:￡>C=1:2,4）與

BE交于點F.則四邊形DFEC的面積等于.

A

E

B

【鞏固】如圖，已知8Q=OCEC=2AE,三角形ABC的面積是30,求

陰影部分面積.

【鞏固】如圖，三角形A8C的面積是200cmhE在AC上,

點。在8c上，且AE:EC=3:5,8O:OC=2:3,AD與BE交于點F.則

四邊形DFEC的面積等于.

【鞏固】如圖，已知BQ=3DC,EC=2AE,BE與C￡＞相交于點。，則△ABC

被分成的4部分面積各占△MC面積的幾分之幾？

A

【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是1,BD=2DC,CE=2AE,AD與BE

相交于點F,請寫出這4部分的面積各是多少？

【鞏固】如圖，E在4C上，。在8C上，且

AE-.EC=2:3,BD-.DC=\,2,AD與BE交于息F.四邊形￡>"C的面積等于

22cm一則三角形ABC的面積.

三角形48c中，C是直角，已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,那

么三角形AMN（陰影部分）的面積為多少？

CDB

【鞏固】如圖，長方形A8CD的面積是2平方厘米，EC=2DE,尸是OG

的中點.陰影部分的面積是多少平方厘米？

如圖所示，在四邊形A8c。中，AB=3BE,AD=3AF,四邊形AEOF的面

積是12,那么平行四邊形/3ODC的面積為.

ABC。是邊長為12厘米的正方形，E、F分別是AB、BC邊的中點，AF

與CE交于G,則四邊形AGCD的面積是平方厘米.

如圖所示，在△A8C中，BE-.EC=3A,。是AE的中點，那么

AF.FC=.

A

【鞏固】在MBC中，BD:DC=3:2,AE:EC=3:\,求OB:OE=?

【鞏固】在AABC中，BD:DC=2AE:EC=\:3,

如右圖，三角形ABC中,BD:DC=4.9,

如右圖，△48C中，G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四等分點,

AD與8G交于M,A尸與8G交于N,已知△4BM的面積比四邊形/CGN的

面積大7.2平方厘米，則△ABC的面積是多少平方厘米？

【鞏固】（2007年四中分班考試題）如圖，AA8C中，點Q是邊AC的中

點，點E、尸是邊8c的三等分點，若AA8C的面積為1,那么

四邊形CDMF的面積是.

練習

1.已知圖18T中，三角形ABC的面積為8平方

厘米，AE=ED,BD=|BC,求陰影部分的面積。

AE=ED,BC=3BD,S.c=30平方厘米。求陰影部分

的面積。

2.如圖所示,DE4AE,BD=2DC,S△廿5平方厘米。求三角形ABC的

面積。

A

3、如圖所示，如三角形ABC中，三角形BDE、DCE、ACD的面積分別

是90,30,28平方厘米。那么三角形ADE的面積是多少？

4.如圖所示，在三角形ABC中，三角形ADE、DEF、EFG、FGH、CGH、

BCH的面積分別是5,7,11,15,20,12平方厘米。求三角形BGH

的面積。

鳥頭定理

兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之

比.

如圖在△48C中，分別是上的點如圖⑴(或。在BA的延長線

上，E在AC上)，

則5AABC:4八0￡=(ABxAC):(ADxAE)

1、已知AB=3AE,AC=2AD,

△ABC=36,求S4AED。

2,已知AB=2AD,AC=2AE,SAABC=24,求SAAEDO

圓

（一）、圖形變換

1、平移

（1）、點的移動（等積變形）

【例1】計算（圖1）中的陰影部分面積。（單位：厘米）

1圖1][圖2]

【例2】如（圖3）所示，已知大正方形的邊長為10厘米，小正方形

的邊長為7厘米,

（圖3]（圖4]

（2）、面的移動（平移法）

【例3】求（圖5）中陰影部分的面積（單位：厘米）

4

[圖

[圖5]6]

【例4】求（圖7）陰影部分的面積（單位：厘米）

3、旋轉

【例5】求（圖9）陰影部分的面積（單位：厘米）

[圖9][圖10]

【例6】如圖（11）,三角形ABC為等腰直角三角形，D為AB的中點,

AB=20厘米,

1圖11]（圖12]

試一試

1、如圖所示，求陰影部分的面積（單位：;

厘米）。

2、如圖所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）。

【例7】求（圖13）陰影部分的面積（單位：厘米）

【例8】求（圖15）陰影部分的面積（單位：厘米）

（圖15][圖16]

3、對稱

【例9】（圖17）中扇形的半徑6厘米，圓心角為45°,AC垂直于0B,

垂足為C,求陰影部分的面積是多少平方厘米?

（2）、等分（縮小法）[§]17]

【例10】求（圖19）陰影部分的面積（單位：厘米）

——4A

[圖19][圖20]

試一試

1.在圖中，正方形的面積是10厘米，求圖中陰影部分的面積。

例11、在正方形ABCD中，AC=6厘米。求陰影部C

分的面積。

（二）、等量替換

1、條件替換

【例11】如（圖21）所示，兩個半徑為2厘米的等圓，已知陰影的

BA

[圖22]

2、問題替換

【例12】如（圖22）所示，一個直徑為4厘米的半圓，以A點為圓

心，把整個半圓按順時針方向旋轉45°,此時點B移到Bl求陰影部

分的面積。

（三）、從整體看問題

【例13】如（圖23）所示，直角三角形ABC的三條邊長分別為6厘

米、8厘米、10厘米，三個頂點A、B、C分別是三個等圓圓心，求陰

影部分的面積和是多少平方厘米?

【例14］如（圖24）所示,一個長方形長40厘米，寬30厘米，A

為長方形內(nèi)的任意一點，求陰影部分的面積。

（四）、靈活運用公式

【例15】在（圖28）中，BC=20厘米，求直角梯形ABCD的面積

【例16】如（圖29）,正方形的面積是30平方厘米，求圓的面積。

[圖29][圖30]

【例17】如（圖30）陰影部分的面積是25平方厘米，求圓環(huán)的面積。

[圖29]

練習

1.?求陰影部分的面積。（單位:厘米）

2.、求陰影部分的面積。（單位:厘米）

例18：如圖所示，半圓的面積是62.8平方厘米，求陰影部分的面積。

練習：

1、如圖五個相同的圓的圓心連線構成一個邊

長為10厘米的正五邊形。求五邊形內(nèi)陰影部分的面積。（門=3.14）

2.如圖，四個扇形的半徑相等，求陰影部分的面積。(單位:厘米)

(25)

3o在圖的扇形中，正方形的面積是30平方厘米。求陰影部

分的面積。

4.已知直角三角形面積是12平方厘米，求陰影部分的面積。

(15)

3.如圖所示，0是小圓的圓心，C0垂直于AB,三角形

ABC的面積是45平方厘米，求陰影部分的面積。

與圓周角有關的圖形問題

如圖所示，圖中圓的直徑AB是4厘米，平行四邊形ABCD的面積

是7平方厘米，ZABC=30°,求陰影部分的面積（得數(shù)保留兩位

小數(shù)）。

試一試:

1、如圖所示，三角形ABC的面積是31.2平

方厘米，圓的直徑AC=6厘米，BD：DC=3：lo

求陰影部分的面積。

2、圖所示如，求陰影部分的面積（單位：厘米。得數(shù)保留兩位小

數(shù)）。

雜題：；20、如圖，三角形ABC是直角三角形，陰影部分甲比陰影

部分乙面積大28平方厘

21、如圖，大正方形的邊長為6厘米，小正方形的邊長為4厘米。求

陰影部分的面積。

(32)

22、求陰影部分的面積。（單位:厘米）

(33)

23、求陰影部分的面積。（單位:厘米）

(34)

正方形和長方形

1、如圖所示，在一個大正方形中，有兩個帶陰影的小正方形。較小

的一個帶陰影的小正方形的面積與較大的一個帶陰影的小正方形的

面積的比是。

五、周長的變化

1、將一個平行四邊形拉成一個長方形，它的周長和面積發(fā)生了什么

變化？

2、把兩個完全相同的長方形拼在一起，原來長方形的長是8厘米,

寬是4厘米。想一想有幾種拼法，

(1)如果把它們拼成一個長方形，拼成的長方形周長是多少?

(2)如果把它們拼成一個正方形，周長是多少？

3、下圖的周長是()厘米.

4、右圖“凸”字的周長是()厘米.

5P

5、下圖是一座樓房的平面圖，圖中用不同字母表示長度不同的各條邊.

已知b=50米,c=30米,g=10米，這座樓房平面的周長是()米.

6、下圖是由16個同樣大小的正方形組成的，如果這個圖形的面積是

400平方厘米，那么它的周長是（）厘米.

7、下圖“E”字周長是（）厘米.

六、體積與表面積的問題

1把兩個相同的正方體拼在一起成一個長方體,這個長方體的表面積

是兩個正方體表面積之和的分之.

2一個長6分米、寬4分米、高2分米的木箱.用三根鐵絲捆起來（如

右圖），打結處要用1分米鐵絲.這根鐵絲總長至少為分米.

4

3、一個長方體的底面、側面和前面的面積分別是12平方厘米、8平

方厘米和6平方厘米.那么它的體積是.

4、將高都是1米,底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個圓柱

組成一個物體.這個物體的表面積是.（萬=3.14）

5、把一個長、寬、高分別是7厘米、6厘米、5厘米的長方體，截成

兩個長方體，使這兩個長方體的表面積之和最大.這時表面積之和是

平方厘米.

6、一個圓柱形玻璃杯中盛有水,水面高2.5厘米,玻璃內(nèi)側的底面積

是72平方厘米,在這個杯中放進棱長6厘米的正方體的鐵塊后，水面

沒有淹沒鐵塊,這時水面高厘米.

7、一個正方體的表面積是384平方分米，體積是512立方分米，這

個正方體棱長的總和是.

9、一個邊長為4分米的正方形，以它的一條邊為軸，把正方形旋轉一

周后，得到一個，這個形體的體積是

10、把19個邊長為2厘米的正方體重疊起來堆成如右圖所示的立方

體,這個立方體的表面積是______平方厘米.

11、一個棱長為10cm的正方體，如果在它的各面的中間的正

中位置打一個深4cm,長、寬均為2cm的長方華W

則打孔以后的正方體的表面積=cm2,□

12、將一個長8厘米寬6厘米長方形4個角各剪去一個邊長1厘米的

正方形，然后折成一個無蓋長方體。求長方體表面積和體積？

13、在一個棱長8厘米的正方體玻璃缸中，盛有一定深度的水。將棱

長4厘米正方體鐵塊放入缸中

(1)若缸中水深6厘米，則水面上升多少厘米？

(2)若缸中水深2厘米，則水面上升多少厘米？

(3)