高中數(shù)學必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓練 (十一)

必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓練(11)

1.如圖，在四棱臺48(：。一&8心。1中，AAXABCD,H是A3的中點，四邊形ABC”為正

方形，AB—AAX—/liDi.

(1)證明：平面/CH_L平面4DD14；

(2)求平面4CH與平面CDDiG所成銳二面角的余弦值.

2.如圖1,已知菱形AECO的對角線AC,3E交于點F,點E為線段AB的中點,AB=2.ZBAD=60°,

(1)證明：平面PBC平面PCF；

(2)求三棱錐E-PBC的體積.

3.如圖，在四棱錐P-ABC。中,P4_1_平面ABC。,底面ABCD為等腰梯形，且AB〃DC,PA=48=

2,AD=DC=BC=1.

(I)求證：平面R4c1平面尸8C；

(n)求平面PA。與平面P8C所成二面角的余弦值.

4.如圖，圓。的半徑為4,AB,C￡＞是圓。的兩條互相垂直的直徑，P是0A的中點，EF//CD：^

此圖形沿著EF折起，在翻折過程中，點A對應(yīng)的點為

(1)證明：A.B1CD；

(2)當時，求二面角4一BC-P的正弦值.

5.三棱錐P-ABC中，PA=4,AB=2痘,BC=2,P41平面ABC,ABLBC,力為AC中點,

點E在棱PC上(端點除外).過直線。E的平面a與平面PA8垂直，平面a與三棱錐的面相交，交

線圍成一個四邊形.

p

(1)在圖中畫出這個四邊形，并寫出作法(不要求證明);

(2)若DE1PC,求直線PC與平面a所成角的正弦值.

6.如圖，在三棱柱ABC-AiBiG中，四邊形々BCG是菱形，NBiBC=60。，48_LBC,4BJ.B81，

。為棱BC的中點.

(1)求證：平面/BW1平面ABC-,

(2)若4B=BC,求二面角D-ABi-C的正弦值.

7.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是正方形，PD_L平面ABCD.

尸

(1)證明：平面P4B_L平面PAO：

(2)若點E在PC上，月.P4〃平面8OE,求證：￡是尸C的中點.

8.如圖.在Rt△AOB^,AO=0B=2M40C通過△40B以0A為軸順時針旋轉(zhuǎn)120。得到(NBOC=

120。).點。為斜邊AB上一點，點M為線段BC上一點，且CM=0M.

(1)證明：0M1平面A08；

(2)當直線MD與平面AOB所成的角取最大值時，求二面角B-0D-C的正弦值.

9.如圖，四棱錐P-4BCD中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC=1AD,

ZB.4D=Z.4BC=90°?E是尸。的中點.

(1)證明：直線CE〃平面PAB：

(2)點M在棱PC上，且直線3M與底面A8C￡＞所成角為J5，求二面角M-4B-。的余弦值.

10.已知三棱柱48。一公8道1如圖所示，其中平面4BC_L平面4C&,直線441與平面ABC所成角為

30°,NA41c=NACB=90。，AC=2BC,點例在線段公當上.

(1)求證：44141B；

(2)若BC=2g,三棱錐公―8cM的體積為6,求等的值.

11.如圖1所示，在梯形BCDE中，DE//BC,且DE=2BC,zC=90°,分別延長兩腰交于點4,

點尸為線段CO上的一點，將AADE沿OE折起到AAiDE的位置，使&F1CD,如圖2所示.

(1)求證：4F1BE；

(2)若BC=6,AC=8,四棱錐&-BCDE的體積為12行，求四棱錐&一BCDE的表面積.

12.如圖，在等腰直角三角形如。中，乙4=90。，AD=8,AB=3,B,C分別是PA,PO上的點,

S.AD//BC,M,N分別為8P,8的中點，現(xiàn)將ABCP沿8c折起，得到四棱錐P—ABCD,

連結(jié)MN.

D

(1)證明：MN〃平面PAD；

(2)在翻折的過程中，當P4=4時，求二面角B—PC-。的余弦值.

13.如圖，是圓柱的一條母線，AB是圓柱的底面直徑，C在圓柱下底面

圓周上，M是線段41c的中點.已知441=4C=4,BC=3.

(1)求圓柱的側(cè)面積；

(2)求證：BCLAM.

14.在四棱錐P-ABCD^,AB"CD,AD=2,乙DAB=60°,△4PB為等腰直角三角形，PA=PB=

2V2.過C￡＞的平面分別交線段PA,PB于M,N,E在線段OP上(M,ME不同于端點).

(I)求證：CD〃平面MNE；

(11)若￡為。2的中點，且DM1平面APB,求直線PA與平面MNE所成角的正弦值.

15.如圖,四棱錐P-4BCD中,AD//BC,平面PAD1平面PBC.若N8CD=pZ.PBC=^,AD=CD=

2,BC=1.

(1)證明：PBJ.P4

(2)若PA=2PC,求二面角P-BC-A的余弦值.

16.如圖，直角三角形ABC中，，NA=60°,^ABC=90°,AB=2,E為線段8c上一點，且BE=”C,

沿AC邊上的中線8。將44BD折起到△PBD的位置.

(1)求證：PE180；

(2)當三棱錐P-BCD的體積最大時，求二面角C-PE-。的余弦值.

17.已知四棱錐S—48CD如圖所示，其中△SAB,AS8C均為等邊三角形，二面角4-BS—C為直

二面角，點M為線段BC的中點，點N是線段SD上靠近。的三等分點，8c〃平面S4D

(1)求證：AD1SM；

(2)若4。求直線AN與平面BNC所成角的正弦值.

18.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面48co是正方形，PB=PD=3近,PA^AD=3,點E,

F分別為線段P。，BC的中點.

(1)求證：EF〃平面4BP；

(2)求證：平面4EF1平面PC。；

(3)求三棱錐C-4E尸的體積.

19.如圖所示，在四棱錐P-4BCD中，4D〃BC,BC1平面PAB,PA=PB=AB=BC=2AD=2,

點E為線段P8的中點。

(1)求證：平面D4EJ_平面P3C；

(2)求三棱錐D-4CE的體積。

20.如圖，在四邊形A8CD中，AB=2,PD=DC=BC=1,AB//DC,/.BCD=90°,F為AB

1

上的點且AF=3，若PDJ■平面ABC。，E為PC的中點.

(1)求證：EF〃平面PAO：

(2)求四棱錐P-4BCD的側(cè)面積.

【答案與解析】

1.答案：(1)證明：因為48cH為正方形，所以

又因為_L平面ABCD,CHu平面ABCD,所以CH1AAr,

因為=AH,他u平面4。。出，所以CH_L平面4皿4,

因為CHu平面&CH,所以平面BiC/71平面4CD141.

(2)解：由題意，AB,AD,兩兩垂直，

以A為原點，建立空間直角坐標系4一xyz如圖，設(shè)4B=1,

則4(0,0,0),C(l,l,0),"(0,1,0),Bt(p0,1),0(0,2,0),。式0,1,1).HC=(1,0,0)，福=(p-1,1),

可得平面aCH的一個法向量為再=(%j,z),

近.HB；==.-y+z=0,.I

2

可得_k,不妨y=1,則z=l,

-HC=x=0

所以宙=(0,1,1),

同理可得平面CDDiG的一個法向量為底=(x,y,z),

nJ?CD=—x+y=0

可得,取x=l,則y=l,z=1,所以荻=(1,1,1)，

?D]D=y-z=0

設(shè)平面aCH與平面CDDiG所成銳二面角為氏

In^nzl_2_\f6

則cos。=

|nTl|nJ|—>/2XV3-3

所以平面aCH與平面CDDiG所成銳二面角的余弦值為

h

解析：（1）證明CHIAC,CH1AA1,然后證明CH_L平面4。。遇1，推出平面B】CH_L平面4。。送「

（2）AB,AD,44］兩兩垂直，以A為原點，建立空間直角坐標系4一xyz,求出平面當。7的一個法向

量，平面CDDiG的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面/CH與平面CDDiCi所成銳二面角

的余弦值即可.

本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間

想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及邏輯推理能力，是中檔題.

2.答案：證明：（I）折疊前，因為四邊形4EC。為菱形，所以4CJ.DE,

所以折疊后，DE1PF,DE1CF,

又PFCCF=F,PF,CFu平面PCF,

所以DE1平面PCF,

因為四邊形AECZ）為菱形，所以4E〃DC,AE=DC.

又點E為線段A8的中點，所以EB〃DC,EB=DC.

所以四邊形OEBC為平行四邊形.

所以W/DE.

又DE1平面PCF,所以BC，平面PCF.

因為8Cu平面P8C,所以平面PBC_L平面尸CF.

解：（H）圖1中，由己知得4F=CF=f,

BC=BE=1,乙CBE=60°,

所以圖2中，PF=CF=—.

2

又PC=漁,

2

所以0產(chǎn)2+。尸=尸。2,所以

又BC_L平面PCF,PFu平面PCF,

所以8clp凡

又BCCCF=C,BC,CFcYffiBCDE,

所以PF1平面BCDE,

所以=Vp-BCE=5XS^BCEXPF

11I13。、&1

=-x-xlxlxx——=-?

3228

所以三棱錐E-PBC的體積為"

o

解析：本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

(I)折疊后，DELPF,DE1CF,從而DE_L平面PCF,推導出四邊形。E8C為平行四邊形.從而

CB//DE,進而BCL平面PCF,由此能證明平面PBC，平面PCF

(口)推導出PF1CF,BC1PF,從而PFL平面BCDE,進而/=VP-BCE=|XShBCExPF.由此

能求出三棱錐E-PBC的體積.

3.答案：(I)證明：過C作CE1AB,交AB于E點,由題意可知BC=1,EB=\,

:.CE=VBC2-EB2=J1_(丁=導ac=7AE2+EC?=](|1+停j=

22=(V3)2+1,AB2=AC2+BC2,

AC1BC.

???PA1^?ABCD,BCABCD,可知BC1P4

又P4CIAC=A,PA,ACu平面PAC

BCJL平面PAC.

■：BCu平面PBC,

???平面PACJ■平面PBC.

(口)解：過點A在平面ABCO內(nèi)作AB的垂線H4,分別以HA,AB,PA為x,y,z軸，建立空間直

角坐標系4-xyz,則P(0,0,2),4(0,0,0),8(0,2,0),￡)(—耳,泗,C(-y,|,0).

設(shè)平面PAD的法向量為沅=(%i，yi，Zi)>

則血=(-%,。)，"0,2),悻累；

=)2X12%一,可取而=(1,遮,0),

(2zi=0

設(shè)平面尸8c的法向量為五=出外㈤，則喬=(0,—2,2)，BC=

2Z—0

皎1=0=—2y2+2

V31?

l前?元=0-yx2一斗=0A

可取五二(—浮1，1)?

lX(-y)+lxV3+0Xl

mn

所以cos<m,n>=

I沆11宿7.

設(shè)二面角。-4Q-C的平面角為仇由題意得平面PAO與平面P8C所成二面角為銳角,

則cos。=—,

7

解析：本題主要考查空間面面垂直的判定以及空間二面角的求解，可以使用空間向量法進行求解,

屬于中檔題.

(1)先證BC_L平面PAC.根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面PACJ■平面PBC；

(2)使用空間向量法進行求解即可.

4.答案：解：(1)證明：因為SB1CD,CD//EF,

所以PA_LEF,

所以P4_LEF,

因為EF〃CD,

所以PA1CD,

因為PB1C。，PBOPA1=P,PB,P&u平面&PB,所以CD，平面&PB,

因為48u平面&PB,所以&B1CD;

(2)過。作直線/L平面BCD,在/上取點Q(異于點。)，設(shè)二面角4-BC-P為0,

以｛前，而，的｝為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

則8(0,4,0),C(一4,0,0),且當乙41Po時,4式0,-3,遮),

所以前=(一4,-4,0)，BA1=(0,-7,V3).

設(shè)平面4BC的法向量為布=(居必z),則隹上二一八一號。，

令x=K，則y=-B，z=-7,所以記=(遮,_舊,一7),

因為平面BCD的法向量元=(0,0,1),

則…=需7_7^55

V3+3+49—55

所以sin。=Vl—cos20=飛-?

解析：本題考查線線垂直的判定以及利用空間向量求解二面角，屬于中檔題.

(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理證明即可；

(2)建立空間坐標系，利用空間向量夾角公式求出結(jié)果.

5.答案：解：(1)作法：①過。作DF〃BC交48于小

②過E作EG//BC交PB于G；

③連接FG,則四邊形DFGE為所作圖形.

⑵以8為坐標原點，以死的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系8-xyz,則8(0,0,

0),(0,273,0),。(2,0,0),P(0,273,4)

由題知￡>,尸分別為AC與A8的中點，故。(1,g,0),F(0,V3,0)

又由DE1PC得而=3的，設(shè)E(%,?z)

所以(x,y—2V3,z-4)=(6—3x,—3y,-3z)

3

x=6—3x,

曠=今所融(|李1)

y-2A/3=-3y,,解得

z-4=-3zt

{Z=1,

故屁=(|,今1)一(1，百,0)=&-今1)，DF=(0,V3,0)-(l,V3,0)=(-1,0,0)

設(shè)平面a的法向量元=(/,%,zi),由1E,絲=°，得'呆1_9〃+4=0,

In-DF=O,(-X1=0,

取元=(0,2,V3),又定=(2,-2V3,-4)

所以PC與平面a所成角。的正弦值為sin。=點需=等.

解析：此題考查線面垂直的判定，利用空間向量求線面角，屬于中檔題.

(1)分三步作圖①過。作DF〃BC交AB于尸；②過E作EG〃BC交P8于G；③連接尸G,則四邊

形。FGE為所作圖形.

(2)以B為坐標原點，以耐的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz,分別

求出直線PC的方向向量和平面a的法向量，進而求解即可.

6.答案：(1)證明：設(shè)BBi=2a」?四邊形/BCG是菱形，。為棱BC的中點，

:.BC—BB1—2a,BD==a.

在ABBi。中，NBiBD=NB】BC=60。，

由=BD2+BB2_2BD-BB^os^ByBD,解得當。=百a.

BD2+BQ=BBl，：.4BDBi=90°,即當。1BC.

AB_LBC,AB_LBB】,BCu平面BOB［，BB】u平面BOB1，

且BCriBBi=B,

???ABJ_平面B[Du平面BOB〉:.AB1BQ

?：AB1BrD,BiDJ.BC,ABu平面ABC,BCu平面ABC,

且ABnBC=B,

B]DJL平面ABC.

■■Bi。u平面AB]。，.?.平面4BI。_L平面ABC.

(2)解：過點。作直線BA的平行線交直線CA于點E,則由已知和⑴可知，DBX1DE,DBr1DC,

DE].DC,分別以射線OC,DE,OB1為x軸，y軸，z軸的非負半軸，建立如圖所示的空間直角坐

標系D—xyz,設(shè)BBi=2a,根據(jù)已知得。(0,0,0),C(a,0,0),4(一a,2a,0),a(0,0,百a),

AC=(2a,—2a,0)>ABX=(a,-2a,V3a)>AD=(a,—2a,0).

設(shè)平面ABiC的一個法向量為記=(x,y,z),則]n-AC=2ax-2ay=0

In-ABr—ax-2ay+V3az=0.

取z=V3,得％=y=3.n=(3,3,V5)是平面//C的一■個法向量.

同理可得平面的一個法向量沆=(2,1,0).

設(shè)二面角。一4當一。的平面角大小為仇則0V。＜兀，且

,八[\mn\93V105

18soi=而而=砥忑=

...sm"甯???二面角。fBLC的正弦值為嚼

J?

解析：本題考查面面垂直的證明，考查利用空間向量求二面角的平面角，考查了空間向量的坐標運

算，考查運算求解能力及方程思想，屬于中檔題.

(1)可以設(shè)SB】=2a,利用四邊形&BCG是菱形和余弦定理可得aD=aa，由勾股定理得當D1BC,

可證4B1平面BOB］，可得ZBJ.B1D,從而可證位￡>1平面48C,即可證明平面4當。1?平面ABC.

(2)以射線QC,DE,OBI為x軸，)，軸，z軸的非負半軸，建立空間直角坐標系，求出二面角的兩個

半平面所在平面的法向量，利用法向量所成角的余弦值求二面角的余弦值，即可求解.

7.答案：證明：(1)???四棱錐P-4BCC的底面是正方形，

.-.AB1AD,"PDL^ABCD,4Bu底面ABC。，

???AB1PD,

又4DCiPD=D,ADu平面PAD,PDu平面PAD,

ABL平面PAD,

,:ABu平面PAB,

平面P4B1平面PAD.

(2)連接AC交8。于點。，連接OE,

?底面四邊形ABC。是正方形，

???。為4c中點，

???AO=0C,

-：P力〃平面BDE,PAu平面PAC,平面PACn平面80E=0E,

:.PA//OE,?；0為AC中點,

:.PE=EC,IE為PC中點.

解析：本題考查面面垂直的證明，考查線段中點的證明，屬中檔題，

(1)推導出ABLAD,AB1PD,從而AB1平面PAD,由此能證明平面P4B1平面P4D;

(2)連接AC交8。于點。，連接0E,推導出20=0C,PA//OE,由此能證明E是PC的中點.

8.答案：(1)證明：AOBM中，由余弦定理可得：OM2=22+(￥)2—2X2XWXCOS3(T=￡解

得0M="

3

0M2+OB2=MB2..-.0M1OB.

由題意可知：04_L0B,0A1OC,OBnOC=。，。4J_平面OBC,二0A10M.

又OBn。4=0,二OM_L平面AOB.

(2)由(1)OMJ■平面AOB,所以0。為MO在平面。48內(nèi)的射影，4MD。為直線M￡＞與平面408所

成的角，

當且僅當。。_LAB時，NM。。最大，此時3為43的中點，

以0為坐標原點，OM,0B,04分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

z

y

得0(0,0,0),B(0,2,0),C(6,-1,0),4(0,0,2),0(0,1,1),

oc=(V3,-I,o).9i=(0,l，1),設(shè)平面oc。的法向量為記=(久1，乃,Z1),由色,2￡=d

{m-OD=0,

得。'取"1=1，得到沆=(1?V3,-V3)

易知平面ODB的一個法向量記=(1,0,0)

所以COS<記，云>=券^=-^：=￥，

|m|n|V7xl7

得sin<沅，元>=匡，即二面角B—0D—C的正弦值為足，

77

解析：本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、法向量的性質(zhì)、方程的解法，考查了推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

中，由余弦定理可得：0M.再利用勾股定理對逆定理可得：0M10B.由題意可知：。4，平

面08C,進而得出結(jié)論；

(2)由(1)OM1平面AOB,NMD0為直線MQ與平面AOB所成的角，當且僅當。D14B時，AMD0最

大，此時。為AB的中點，于是以O(shè)為坐標原點，OM,OB,OA分別為x,y,z軸的正方向建立如

圖所示的空間直角坐標系,分別求出平面08和平面ODB的法向量，得到cos(記，元〉=離=?,

\m\n\7

即可得到sinV記，n>,

9.答案：解：(1)證明：取PA的中點F,連接EF,BF,

因為E是P。的中點，

所以EF：AD,AB=BC=1AD,ZBAD=zABC=90°,

，BC:AD,...BC?EF,

BCEF是平行四邊形，可得CE〃BF,BFu平面PA8,CE0平面PAB,

二直線CE〃平面PAB.

(2)如圖所示，

取AD中點。，連接尸O,CO,由于△PAD為正三角形，則P0_LAD,

因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,

所以P01?平面ABCD,COu平面ABCD,

所以P01CO.

因為AO=AB=BC=|AD,且/BAD=zABC=90°,

所以四邊形ABC。是矩形，所以CO_LAD.

作以。為原點，以。C為x軸，以。。為y軸，以O(shè)P為z軸的空間直角坐標系.

不妨設(shè)AB=BC=|AD-1,則OA=0D=AB=CO=1.

又因為△POC為直角三角形，|0C|=ylOPl，所以NPCO=60。.

作MNJ.CO,垂足為N,連接BN,

因為POJ.CO,所以MN〃PO,且PO_L平面ABCQ,

所以MNJ_平面ABCD,所以NMBN即為直線5M與平面A8C。所成的角.

設(shè)CN=t,因為NPCO=60°,所以MN=bt,BN=y/BC2+CN2=Vt2+1.

因為4MBN=45。，所以MN=BN,即=解得t=當，

所以O(shè)N=1-3，MN=—，

22

所以4(0,TO),B(l,-l,0),M(l-y,0,y),￡>(0,1,0),

則崩=(1,0,0)，AD=(0,2,0),N=(1一號.I,，).

設(shè)平面MAB和平面DAB的法向量分別為方=(x“i，Zi),nJ=(%2>72.22)>

MJAB-7H=0//=0

\All-TH=0'卜1_曰)與+乃+/zi=O'

可取Z]=—2,則汨=(0，倔-2),

同理可得苗=(0,0,1),

r匚I”,->--1,”i?〃2-2V^()

所以COSI〃1.fl>/=h=-=--=一——,

|ni||7i2|vlOx15

因為二面角M—AB-D是銳角，所以其余弦值為唱.

解析：本題考查直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的性質(zhì)，考查用空間向量求解直線與平面

所成的角，二面角的求法，屬于較難題.

(1)首先取PA的中點F,再證明CE〃BF,,進而由線面平行的判定得出；

(2)由平面與平面垂直的性質(zhì)，得出PO_L平面ABC。，再做出Z_MBN即為直線8W與平面ABC。所成

的角，建立以O(shè)C為x軸，以。。為y軸，以O(shè)P為z軸的空間直角坐標系，從而求得二面角M-AB-。

的余弦值.

10.答案：(1)證明：?.?平面ABC1平面4CA1，平面力BCn平面4czi=AC,

BC1AC,8。<2平面480；.8。1平面。41，

而&Cu平面AAiGC,：.BC1&C,得乙41cB=90°,》

設(shè)BC=x,則4C=2x,又/A4iC=90。，N&AC=30。，

.--A1C=x,AAr=V3x.ArB=V2x.AB=V5x.------------

22222

而44：+ArB=3x+2x=5x=AB,

?.AAX1AXB-,

(2)解：過M作MNIAiB交于N,

若8c=26，由(1)得，ArC=2V3，AA1=BBr=6,

???VA1-BCM=[MN?SAACB=6,即:MNXgx2Hx2百=6,

解得MN=3,又N4&B=N&BBi=90°,二黑=翳=：=；，

oDiOL

：.A^M=則4]M=MBi，得=L

解析：(1)由已知可得BC_L平面4c4],則乙41cB=90。，設(shè)BC=x,求解三角形可得4411&B；

(2)過M作MNJ.交于N,若BC=2相,由(1)得，41c=2遮，=6,由三棱錐

4-BCM的體積為6求得MN,再由平行線截線段成比例可得為M=MBi，得黑=L

本題考查空間中兩直線的位置關(guān)系，考查多面體體積的應(yīng)用，考查空間想象能力與運算求解能力，

是中檔題.

11.答案：(1)證明：在圖1中，rNC=90。，即力CLBC,且DE〃BC,

???DE1AD,DE1DC,

則在圖2中,DEJ.DC,DE1DA1,

XvDCnDAj,=D,

：.DE1平面&OC.

vAXFu平面&DC,

???DE1ArF.

圖2

又???W。，CDCDE=D,

.?.&F_L平面3CDE,

又???BEu平面BCDE,

???AtF1BE；

(2)解：由已知DE〃8C,且￡)E=TBC,得D,E分別為AC,AB的中點，

22

在Rt△48c1中，AB=V64-8=10?貝|4速=E8=5,A1D=DC=4,

則梯形BCDE的面積S[=1x(64-3)x4=18,

四棱錐&一BCDE的體積為V=[x18x&F=12遮，即4/=2遮,

在RtAAiDF中，。尸=j42-(2①=2,即尸是CO的中點，

:.ArC—AXD=4,

vDE//BC,。后_1平面4.，

???BCJ?平面41DC,則BC141C,得4/=抬+42=2底,

在等腰AAiBE中，底邊上的高為卜一(g)2=2相,

???四棱錐公-BCDE的表面積為：

S=S]+SAA1DE+SXA\DC+SA^BC+^^AXBE

=184-ix3x4+ix4x2V3+[x6x4+[x2mx273=36+4>/3+2屬.

解析：(1)由已知可得DE1DC,DE1DA1，得到DE平面&DC,則DE1&F.結(jié)合已知4/1CD,

可得4/_L平面BCDE,則4/1BE；

(2)由已知結(jié)合四棱錐&-8CDE的體積為12K，求得4/=2百，然后求解三角形可得四棱錐&-

BCDE的表面積.

本題考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系及其判定，考查空間想象能力與思維能力，訓

練了多面體表面積的求法，是中檔題.

12.答案：(1)證明：在四棱錐P-ABCD中，取AB的中點E,連接EM,EN,

因為M,N分別為BP,C。的中點，且AD〃BC,

所以AD〃EN,PA//ME,

因為24u平面PA。，MEC平面PA。，

所以ME〃平面PAD,

同理，EN〃平面PAO,

又因為NEnME=E,EN,MEu平面MNE,

所以平面MNE〃平面PAD,

因為MNu平面MNE,

所以MN〃平面PAD

(2)在等腰直角三角形PAD中，44=90。，AD//BC,

所以24IBC,即在四棱錐P-ABC。中，BCLAB,BC1PB,

因為4D〃BC,所以AD_LAB,AD1PB

因為48np8=B,AB,PBu平面尸AB,

所以4D1平面PAB,

因為P4u平面PAB,

所以2414。，

又因為4。=8,AB=3,PA=4,

所以PB=5,

所以P爐+業(yè)=PB2,

所以PA1AB,

以點A為坐標原點，AB，AD,9方向為x軸，了軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,

則8(3,0,0),P(0,0,4),C(3,5,0),0(0,8,0),

所以而=(3,0,-4),PC=(3,5,-4),而=(0,8,-4),

設(shè)五=(%i，yi，Zi)為平面PC。的一個法向量，

而區(qū)?而=0即”1-4zi=0

身.同=0,+5%-4z】=0，

令%=1，得4=(11，2),

設(shè)底=。2，%*2)為平面PBC的一個法向量，

唯品二小艮噴；/二工=0.

令#2=4,得近=(4,0,3),

所以郎＜心底＞=簫=冬

由圖象可知，二面角PC-D的平面角是鈍角，

所以二面角B-PC-。的余弦值為—漁.

3

解析：本題重點考查面面平行的性質(zhì)和二面角，屬于一般題.

(1)取AB的中點E,通過求證平面MNE〃平面PAD,即可求證MN〃平面PAD；

(2)先求證P414。，PALAB,再建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解.

13.答案：解：(1)由題意可得AC=4,BC=3,L=AAt=4,

所以在Rt△4BC中,AB=yjAC2+BC2=V42+32=5＞

所以底面半徑r=q4B=|,

所以圓柱的側(cè)面積S=2nrL=2TTx|x4=207r.

（2）證明：由題意可得BCJ.AC,

又因為圖為圓柱，可得1底面ABC,

因為BCu底面A8C,

所以8cl441，

因為BC14C,S.ACQAA1=A,

所以BC1A4C4,

又AMat^ACAx,

所以BCJL4M.

解析：（1）由題意在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB,求得底面半徑即可得解圓柱的側(cè)面積S.

（2）由題意利用線面垂直的性質(zhì)可知BC1A4],利用線面垂直的判定可證BC1A4C&,進而根據(jù)線

面垂直的性質(zhì)即可證明BC1AM.

本題主要考查了圓柱的側(cè)面積公式以及線面垂直的判定和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和推理論證能

力，屬于中檔題.

14.答案：（1）證明：：/8〃。。，ABu平面4BP,C'。笈平面力BP二CD〃平面A8P,

又???CDu平面C0MN,平面CDMNn平面4BP=MN,CD〃MN,

又”MNu平面MNE,CD〃平面MNE：.CD〃平面MNE；

（口）解：建立如圖空間直角坐標系，連接。B.

P(0,0,0),4(0,2加,0),8(2夜,0,0).

因為48=4,AD=2,/.DAB=60°,

由余弦定理可得DB=2V3，

設(shè)點。的坐標為(0,?z)(y,z>0),

(DB2=8+y24-z2=12(y=y/2

{AD2=(2A/2—y)24-z2=4(z=V2>

所以，點。的坐標為(0,壺,企)，點M的坐標為(0,企,0),點N的坐標為(四,0,0).

點E的坐標為(0,1,[).麗=(-V2.V2,0),ME=(0,-4號，

(n?NM=—y/2a+y/2b=0

設(shè)平面MVE的法向量五=(a"c),則V2,>[2八，

n-ME=---bH——c=0

22

取Q=1,得b=c=l,則五=(1/，1),刀=(0,2M0),設(shè)直線必與平面"NE所成角為仇

sine=|cos<n,可>|=需矗=可

故直線PA與平面MNE所成角的正弦值為更.

3

解析：本題考查線面平行的判定與性質(zhì)定理應(yīng)用，考查線面角的求法，屬中檔題.

(I)由線面平行的判定與性質(zhì)定理得CD〃MN,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明C?！ㄆ矫鍹NE；

(口)建立如圖空間直角坐標系，連接DB,求得平面MNE的法向量及可坐標，設(shè)直線PA與平面MNE

所成角為。，根據(jù)sin。=|cos<元，對>|求解即可.

15.答案：解：(1)證明：設(shè)平面P4DC平面PBC=1,

vAD]IBC,DC〃平面PAD,ADu平面PAD,1-.BC〃平面PAD,

又：BCu平面PBC,BC//1,

???乙PBC=pPBLBC,???PB1I,

又因為平面PAD1平面P8C,PB1平面PAD,可得PBJ.P4得證.

(2)解：連結(jié)在△BCD中，易得BD=6，：?BD上BC,

又：PB1BC,4P8D為二面角P-BC-4的平面角，

以。為原點，分別以而，曲的方向為x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標系，

.??4(2,0,0),B(0,V3,0).C(-l,V3,0),

???BC1BD,BC1PD,BDCPD=D,:.BCJ"平面PBD,

所以平面PBC1平面ABCD,

可設(shè)P(0j,z).由24=2PC可得：

(0—2)2+y2+z2=4(0+l)2+4(y-V3)2+4z2,

化簡可得：3y2-8V5y+3z2+12=0,

由(1)知PB1P4,二(—2,y,z)?(0,y—V3>z)=0,化簡得y2—by+z2=o.

解方程①②可得y=g回z=|百，

sin乙PBD,貝IJCOSNPBD=—?

PB55

解析：本題考查線線垂直證明、面面垂直性質(zhì)、

(1)設(shè)平面PADC平面PBC=/,易得8c〃平面PAO,由面面垂直的性質(zhì)可得PB_L24；

(2)連結(jié)80,根據(jù)題中條件可知"BD為二面角P-BC-4的平面角，建立合適空間直角坐標系，然

后再求二面角P-BC-2的正弦值，從而求出余弦值.

16.答案：(1)證明：取8。中點。，連接OE,PO,

??,由已知得DC=PD=PB=BD=2,

BC=2V3,OB=1,BE=這且/OBE=30°,

3

??0E=—,

3

???0E2+OB2=BE2

：.0E1BD,

又?：PB=PD,。為的中點，所以POJ.BD,

又POCOE=。，OE,P0c?POE,

所以BD1平面POE,又PEu面POE,

所以8D1PE-

(2)因為三棱錐P-BC。的體積最大，即P到平面BCD的距離最大，

二平面PBO_L平面BCD,

POiTffiBCD,所以O(shè)E,OB,OP兩兩垂直.

以O(shè)為坐標原點，以O(shè)E、OB、OP所在直線

分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

p

J一

則8(0,1,0),P(0,0,V3).C(V3,-2,0),D(0,-l,0),E爭,0)

：.BP=(0,-1,V3);BC=(V3,-3,0)，

屁=(爭，0),PE=(^,0,-V3)

設(shè)平面PBC的法向量為五=(x,y,z),

則仁處蔗不妨令"倔得記=(3,VU).

(n-BC=V3x-3y=0

設(shè)平面PQE的法向量為萬=Qi，yi，Zi),

fm-DE=—xx+yj=0

則｛_/，則記=(3,-遮,1)

(m-PE=^-x1-V3z1=0

所以cos(沆，元＞二舒幕

即二面角C-PE-。的余弦值為白

解析：本題考查線線垂直的證明以及利用空間向量求解二面角，屬于中檔題.

(1)利用線面垂直的判定定理證明BD，平面POE,然后根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理得證；

(2)因為當三棱錐P-BCD的體積最大時，則平面PBD1平面88,進而建立空間坐標系，分別求出

兩個平面的法向量，然后利用空間向量夾角公式求出結(jié)果.

17.答案：(1)證明：因為BC〃平面SA。，BCu平面ABCZ),平面4BCDn平面SW=2D,

所以8C〃A0；

因為△SBC為等邊三角形，且8M=CM,

故SM1BC,則SM1/W；

(2)解：取SB的中點0,連接AO,CO,因為△SAB,△SBC均為等邊三角形,

故AO_LSB,COJLSB,

因為二面角a-BS-c為直二面角，

故平面48s1平面CBS,

因為4。<=平面"5,n￥ffiCB5=BS,

故AO1平面SBC；

故以。為坐標原點，OB,OC,04所在直線分別為x,>■,z軸建立如圖所示空間直角坐標系;

不妨設(shè)4B=2,則S(-1,0,0),B(l,0,0),C(0,V3,0).4(0,0,b)，

所以前=(-1,封0)，而=，阮=(一,，,0)，

所以0(4今⑹，歷=&今百)，

所以加澗=(評豹,

所以N(一瀉嗡，

所以近=(一1,我,0)，而=(—|，—手，豹，前=(一1，*一3

設(shè)平面BNC的法向量記=(x,y,z),

n-BC=0,,.+V3y=0,

則ri-CN=0：］—|x-竽y+苧z=0,

則｛:=令'=1'則元=（8，L2）為平面BNC的一個法向量;

則直線4V與平面BNC所成角正弦值sin9=|cos<AN-n>\=鬻器=誓.

解析：本題考查空間線面平行得性質(zhì)、面面垂直得性質(zhì)、向量法求線面角，考查考生直觀想象、邏

輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

⑴利用線面平行得性質(zhì)得BC〃AQ；再由△SBC為等邊三角形，得SMJ.BC,可SM14D；

（2）取S3的中點。，連接A。，CO,利用面面垂直性質(zhì)得力。1平面SBC；以。為坐標原點，OB,

OC,所在直線分別為x,y,Z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可得直線AN與平面8NC

所成角的正弦值.

18.答案：證明：（1）如圖，取P4的中點G,連接BG,EG,

???點E，G分別為尸￡>,PA的中點，EG//AD.EG=^AD,

又是8c的中點，四邊形A8CO是正方形，二8尸〃56且8尸=

EG,

故四邊形EFBG為平