新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

［數(shù)學(xué)文化］—了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用

康托爾與集合論

翻開(kāi)高中數(shù)學(xué)課本，首先映入眼簾的數(shù)學(xué)概念是集合.研究集合的數(shù)學(xué)理論

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中稱(chēng)為集合論.它不僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個(gè)

極其獨(dú)特的地位，而且其基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域.如果把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比

作一座無(wú)比輝煌的大廈，那么集合論正是構(gòu)成這座大廈的基石.其創(chuàng)始人康托爾

也以其集合論的成就被譽(yù)為對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一.

康托爾(GeorgCantor,1845?1918),德國(guó)數(shù)學(xué)家，生于俄羅斯圣彼得堡，自幼

對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣.1867年，22歲的康托爾獲得博士學(xué)位，以后一直在哈雷大學(xué)

任教，從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.

［讀圖探新］——發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識(shí)

一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義.于是，他請(qǐng)教數(shù)

學(xué)家：“尊敬的先生，請(qǐng)你告訴我，集合是什么？”而集合是不加定義的概念，

數(shù)學(xué)家很難回答那位漁民.

有一天，他來(lái)到漁民的船上，看到漁民撒下漁網(wǎng)，輕輕一拉，許多魚(yú)在網(wǎng)中

跳動(dòng).數(shù)學(xué)家激動(dòng)的喊：“找到了，找到了，這就是一個(gè)集合”.

問(wèn)題1：數(shù)學(xué)家說(shuō)的集合是指什么？集合中的對(duì)象是什么？這些對(duì)象有完全

一樣的嗎？網(wǎng)中的“大魚(yú)”能構(gòu)成集合嗎？

問(wèn)題2：漁民網(wǎng)中的魚(yú)組成的集合和湖中的魚(yú)組成的集合有怎樣的關(guān)系？

問(wèn)題3：如果有兩個(gè)漁民都在打漁，他們各自漁網(wǎng)中的魚(yú)的種類(lèi)組成兩個(gè)集

合，那么求這兩個(gè)集合中的相同魚(yú)的種類(lèi)組成的新集合是集合的什么運(yùn)算？將兩

個(gè)漁網(wǎng)中的魚(yú)組成的集合中的魚(yú)的種類(lèi)合在一起的過(guò)程又是集合的哪種運(yùn)算？

鏈接:數(shù)學(xué)家所說(shuō)的集合是指漁網(wǎng)中的魚(yú),很顯然漁網(wǎng)中的對(duì)象都是確定的、

無(wú)序的和互異的；漁網(wǎng)中的魚(yú)組成的集合是湖中的魚(yú)組成集合的一部分，是湖中

魚(yú)構(gòu)成集合的一個(gè)子集；兩個(gè)漁網(wǎng)中相同魚(yú)的種類(lèi)組成的集合是兩個(gè)集合的交

集，兩個(gè)漁網(wǎng)中的魚(yú)的種類(lèi)合在一起就構(gòu)成了兩個(gè)集合的并集.

1.1集合的概念

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，理解元在集合概念的形成中，經(jīng)歷由具體到抽

素與集合的屬于關(guān)系.象、由自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言

2.針對(duì)具體問(wèn)題，能在自然語(yǔ)言和圖形的表達(dá)過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合.和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究

教材知識(shí)探究

A情境引入

中國(guó)共產(chǎn)黨第十九次全國(guó)代表大會(huì)(簡(jiǎn)稱(chēng)黨的十九大)于2017年10月18日至10

月24日在北京召開(kāi).

問(wèn)題黨的十九大會(huì)議的代表能否構(gòu)成一個(gè)集合？

提示黨的十九大會(huì)議的代表能構(gòu)成一個(gè)集合.

A新知梳理

1.元素與集合的概念集合中元素的三個(gè)特性是解決集合問(wèn)題的關(guān)鍵

(1)一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素,把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱(chēng)

為集).

⑵集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性.

(3)只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱(chēng)這兩個(gè)集合是相笠的.

2.元素與集合的關(guān)系在與aA這兩種情況中有且只有一種成立

知識(shí)點(diǎn)關(guān)系概念記法讀法

元素與集合如果a是集合A中的元素,

屬于a。屬于A(yíng)”

的關(guān)系就說(shuō)a屬于A(yíng)

如果a不是集合A中的元

不屬于aA“a不屬于A(yíng)”

素，就說(shuō)a不屬于A(yíng)

3.常用數(shù)集及表示符號(hào)

名稱(chēng)自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

記法NN*或N+Z2R

4.集合的表示方法

(1)列舉法

列舉法對(duì)有限集情有獨(dú)鐘，但自然數(shù)集、整數(shù)集也可用列舉法來(lái)表示，但不能用

來(lái)表示實(shí)數(shù)集

把集合的所有元素一一列舉出來(lái),并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫

做列舉法，一般可將集合表示為{a,b,c,…}.

(2)描述法

一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所

組成的集合表示為5CA|P(x)},這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法，有時(shí)也用冒號(hào)

或分號(hào)代替豎線(xiàn)，寫(xiě)成{x?A：尸(x)}或{x?A；P(x)}.

教材拓展補(bǔ)遺

［微判斷］

1.漂亮的花可以組成集合.(X)

提示“漂亮的花”具有不確定性，故不能組成集合.

2.由方程4=0和x—2=0的根組成的集合中有3個(gè)元素.(X)

提示由于集合中的元素具有互異性，故由兩方程的根組成的集合中有2個(gè)元素.

3.元素1,2,3和元素3,2,1組成的集合是不相等的.(X)

提示集合中的元素具有無(wú)序性，所以元素1,2,3和元素3,2,1組成的集合

是同一集合.

［微訓(xùn)練］

1.用符號(hào)或“”填空.

(1)若人二口后二%},則一1A；

⑵若C={xGN|lWxW10},則8C,9.1C.

解析(l)：A={x*=x}={0,1},

11A.

(2)：C={xGN|lW尤W1O}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),

.*.8eC,9.1C.

答案(1)(2)e

2.試分別用描述法和列舉法表示下列集合：

(1)由方程3)=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

(2)大于2且小于7的整數(shù).

解(1)用描述法表不為{xCRM%2—2x—3)=0},用列舉法表不為{0,—1,3).

(2)用描述法表示為{x?Z［2<x<7},用列舉法表示為{3,4,5,6).

［微思考］

1.設(shè)集合A表示“1?10以?xún)?nèi)的所有素?cái)?shù)”，3,4這兩個(gè)元素與集合A有什么關(guān)

系？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示？

提示3是集合A中的元素，即3屬于集合A,記作3?A；4不是集合A中的元

素，即4不屬于集合A,記作4A.

2.某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個(gè)集合？某班身高高于175厘米的男生能否構(gòu)

成一個(gè)集合？集合元素確定性的含義是什么？

提示某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成集合，因“帥哥”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn).高于175

厘米的男生能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)確定.元素確定性的含義：集合中的元素

必須是確定的，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中

就確定了.

■■■課堂互動(dòng)；題型剖析■■■■■■■II

題型一集合概念的理解

【例1】考察下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：集合中的元素具有確定性

(1)不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)；

(2)方程——9=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；

⑶某校2019年在校的所有矮個(gè)子同學(xué)；

(4)小的近似值的全體.

解(1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集

合；

(2)能構(gòu)成集合；

(3)“矮個(gè)子”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)人算不算矮個(gè)子無(wú)法客觀(guān)地判斷，因此

不能構(gòu)成一個(gè)集合；

(4)“小的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不是它

的近似值，所以不能構(gòu)成集合.

規(guī)律方法判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，使

給定的對(duì)象是“確定無(wú)疑”的還是“模棱兩可”的.如果是“確定無(wú)疑”的，就

可以構(gòu)成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構(gòu)成集合.

【訓(xùn)練1】⑴下列給出的對(duì)象中能構(gòu)成集合的是()

A.著名物理家B.很大的數(shù)

C.聰明的人D.小于3的實(shí)數(shù)

(2)下列各組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是()

A.數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本中所有的難題

B.小于8的所有素?cái)?shù)

C.直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)

D.所有小的正數(shù)

解析(1)只有選項(xiàng)D有明確的標(biāo)準(zhǔn)，能構(gòu)成一個(gè)集合.

(2)A中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，不能構(gòu)成集合；B能構(gòu)成集合；C中“一些點(diǎn)”

無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)點(diǎn)是否在“一些點(diǎn)”中無(wú)法確定，因此“直角坐標(biāo)平面

內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)”不能構(gòu)成集合；D中沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能構(gòu)成集合.

答案(1)D(2)B

題型二集合中元素的性質(zhì)及應(yīng)用元素與集合的關(guān)系用“G”或“”表示

【例2】⑴給出下列關(guān)系：①1eR；②|-3|N；③S|GQ；④0N淇

中正確的個(gè)數(shù)為()

A.lB.2

C.3D.4

解析①正確；②③④不正確.

答案A

(2)已知集合A是由a—2,24+5〃，12三個(gè)元素組成的，且一3$A,求實(shí)數(shù)a

解由一3￡A,可得一3=(7—2或一3=2〃2+5〃，

*、3

<2=-1或a=—2"

當(dāng)a=—1時(shí)，a—2=—3,2tz2+5a=—3,不符合集合中兀素的互異性，故。=

-1應(yīng)舍去.

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當(dāng)。=一］時(shí)，a—2=—2>2/+54=-3,符合集合中元素的互異性，.?.a=—

規(guī)律方法利用集合中元素的互異性求參數(shù)的策略及注意點(diǎn)

⑴策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值，再根據(jù)集合

中的元素的互異性對(duì)求得參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).

⑵注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.

【訓(xùn)練2】(1)設(shè)集合〃是由不小于2小的數(shù)組成的集合，a=VTl,則下列關(guān)

系中正確的是()

A.a^MB.aM

C.a=MD.a^M

解析判斷一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合，關(guān)鍵是看這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合中

元素的特征，若具有就是，否則不是??.?觀(guān)1<2小，：.aM.

答案B

(2)已知集合A含有兩個(gè)元素a—3和2a—1,若一3是集合A中的元素，試求實(shí)

數(shù)a的值.

解因?yàn)橐?是集合A中的元素，

所以-3=a—3或一3=2a—1.

若一3=。-3,則。=0,

此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素一3,-1,符合要求；

若一3=2a—1,則a=-1,

此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素一4,-3,符合要求.

綜上所述，滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或一L

題型三集合的表示方法

【例3]用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)方程x。2+2x+l)=0的解集；

(2)在自然數(shù)集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合；

⑶不等式x—2>6的解的集合；

(4)大于0.5且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合；

x+y=3,

⑸方程組'的解集.

lx—y=5

解(1){0,-1}；

(2){x|x=2n+l,且x<1000,n^N}；

(3){x|x>8};(4){1,2,3,4,5,6)；

"\x+y=3,

⑸解集用描述法表示為(x,y)|',

I1尤一y=5J

解集用列舉法表示為{(4,-1)}.

規(guī)律方法(1)一個(gè)集合可以用不同的方法表示，需根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

同時(shí)注意列舉法和描述法的適用范圍.

⑵方程(或方程組)的解的個(gè)數(shù)較少，因此方程(或方程組)的解集一般用列舉法表

示；不等式(或不等式組)的解集一般用描述法表示.注意，當(dāng)題目中要求求出“…

的解集”或?qū)懗觥啊募稀睍r(shí)，一定票將最終結(jié)果寫(xiě)成集合的形式.

【訓(xùn)練3】(1)下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是()

A.{木=1}B.{<V-1)2=0}

C.{x=l}D.{1}

(2)有下面六種表示方法

x=-1,

①{x=-1,y=2}；②(x,y)|。；③{—1,2}；④(一1,2)；⑤{(—1,

1尸2J

2)}；⑥{x,y|x=—1或y=2}.

2x+y=0,

其中，能正確表示方程組「C的解集的是(填序號(hào)).

解析(1)由集合的含義知{x|x=l}={y|(y—1)2=0}={1},而集合{x=l}表示由

方程x=l組成的集合，故選C.

(2)

序號(hào)判斷原因分析

①中含兩個(gè)元素，且都是方程，而方程組的解集中只有一個(gè)元素，

①否

是一個(gè)點(diǎn)

臺(tái)匕

②目匕②代表元素是點(diǎn)的形式，且對(duì)應(yīng)值與方程組解相同

③中含兩個(gè)元素，是數(shù)集，而方程組的解集是點(diǎn)集，且只有一個(gè)

③否

元素

④不④沒(méi)有用花括號(hào)“{}”括起來(lái)，不表示集合

臺(tái)匕

⑤目匕⑤中只含有一個(gè)元素，是點(diǎn)集且與方程組的解對(duì)應(yīng)相等

⑥中代表元素與方程組解的一般形式不符，須加小括號(hào)（），條

⑥不

件中“或”也要改為“且”

答案(1)C(2)②⑤

核心素養(yǎng)”全面提升M

一、素養(yǎng)落地

1.通過(guò)集合概念及元素與集合關(guān)系的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及提升數(shù)學(xué)運(yùn)

算素養(yǎng).

2.研究對(duì)象能否構(gòu)成集合，就是要看是否有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，能確定一個(gè)個(gè)體是

否屬于這個(gè)總體，如果有，能構(gòu)成集合，如果沒(méi)有，就不能構(gòu)成集合.這是判斷

能否構(gòu)成集合的依據(jù).

3.表示集合的要求：

（1）根據(jù)要表示的集合元素的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)方法表示集合，一般要符合最簡(jiǎn)原

則.

⑵一般情況下，元素個(gè)數(shù)無(wú)限的集合不宜用列舉法表示，描述法既可以表示元

素個(gè)數(shù)無(wú)限的集合，也可以表示元素個(gè)數(shù)有限的集合.

二'素養(yǎng)訓(xùn)練

1.現(xiàn)有下列各組對(duì)象：

①著名的數(shù)學(xué)家；②某校2019年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；③不超過(guò)30的所有非

負(fù)整數(shù)；④方程％2—4=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；⑤平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)

的點(diǎn).

其中能構(gòu)成集合的是（）

A.①③B.②③

C.③④D.③④⑤

解析①著名的數(shù)學(xué)家無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)家是否著名無(wú)法客觀(guān)地判斷，

因此①不能構(gòu)成一個(gè)集合；類(lèi)似地，②也不能構(gòu)成集合；③任給一個(gè)整數(shù)，可以

明確地判斷它是不是“不超過(guò)30的非負(fù)整數(shù)”，因此③能構(gòu)成一個(gè)集合；類(lèi)似

地，④也能構(gòu)成一個(gè)集合；對(duì)于⑤，“在第一象限內(nèi)”不僅可以用坐標(biāo)系進(jìn)行圖

示，也可以通過(guò)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)是否都大于0來(lái)判斷，標(biāo)準(zhǔn)是明確的，因此能構(gòu)成

一個(gè)集合.

答案D

2.已知1,X,d三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合，X滿(mǎn)足的條件是（）

A.xWOB.x#l

C.xW±lD.xWO且xW±l

解析根據(jù)集合中元素的互異性，

fIWx,

得《xWR,解得xwo且xw土i.

答案D

3.下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是（）

Q；②|-1|GN；（3）7：ER；④一35

A.lB.2

C.3D.4

解析???爽是無(wú)理數(shù)，，陋Q,因此①正確.又|—1|=1?N,7i是實(shí)數(shù)，一3

是整數(shù)，故②③④也正確.

答案D

4.已知集合A中的元素x滿(mǎn)足》三2,若a4則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析由題意a不滿(mǎn)足不等式x>2,即a<2.

答案a<2

5.若集合A是由所有形如3a+陋伙a?Z,6?Z）的數(shù)組成，判斷一6+26是不是

集合A中的元素？

解因?yàn)橐?￡Z且2￡Z,所以一6+2\12=3X(—2)+^/2X2是形如3a-\-y[2

b(〃￡Z,Z?￡Z)的數(shù)，即一6+2也是集合A中的元素.

課后作業(yè)鞏固提高

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.以下各組對(duì)象不能組成集合的是()

A.中國(guó)古代四大發(fā)明

B.地球上的小河流

C.方程/一1=0的實(shí)數(shù)解

D.周長(zhǎng)為10cm的三角形

解析選項(xiàng)B中的對(duì)象沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不具備確定性，故不能組成集合.

答案B

x-y=3,

2.方程組°',的解集是()

[2x+y=6

A.{x=3,y=0}B.{3}

C.{(3,0)}D.{(x,y)|(3,0)}

解析方程組解的形式是有序?qū)崝?shù)對(duì)，故可排除A,B,而D不是集合表示的描

述法的正確形式，排除D.

答案C

3.下列集合中恰有2個(gè)元素的集合是()

A.1%2—x=0}B.{y|y2—y—0}

C.{x|y=x2_x}D.{y|y=x2—x}

解析選項(xiàng)A中的集合只有一個(gè)元素為：―一》=0；

集合{y|y2—y=0}的代表元素是y,

則集合{M——y=0}是方程y2~y=0根的集合，

即也1廿一y=0}={0，1}；

選項(xiàng)C,D中的集合中都有無(wú)數(shù)多個(gè)元素，故選B.

答案B

4.若a,b,c,d為集合A的四個(gè)元素，則以a,b,c,d為邊長(zhǎng)構(gòu)成的四邊形可

能是()

A.矩形B.平行四邊形

C.菱形D.梯形

解析由集合中的元素具有互異性可知a,b,c,d互不相等，而梯形的四條邊

可以互不相等，故選D.

答案D

5.用描述法表示圖中所示陰影部分的點(diǎn)(包括邊界上的點(diǎn))的坐標(biāo)的集合是()

A.{—24W0且一2WyW0}

B.{Q,y)|—2WxW0且一2WyW0}

C.{(x,y)|—2WxW0且一2Wy<0}

D.{(x,y)|—2Wx<0或一2WyW0}

解析由陰影知，-2WxW0且一2WyW0,

集合{(x,y)|—2WxW0且一2WyW0}表示陰影部分點(diǎn)的集合.

答案B

二'填空題

6.已知①②1eQ；③0N*；④兀Q；⑤一4Z.正確的個(gè)數(shù)為..

解析①②③④是正確的；⑤是錯(cuò)誤的.

答案4

7.若集合P含有兩個(gè)元素1,2,集合Q含有兩個(gè)元素1,a2,且P和Q相等，

則a的值為.

解析由于P和Q相等，故02=2,=

答案±^2

8.若一5￡{xl%2—ax—5=0},則集合{Rx2—4x-a=0}中所有元素之和為

解析由題意可知(一5)2—〃X(—5)—5=0,得〃=—4,故方程元2—4冗+4=0的

解為％=2,即{Mx2-4%一。}={2},則其所有元素之和為2.

答案2

三'解答題

9.判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

(1)2,|,1,g這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素;

(2)方程(x—3)(X+1)2=0的解組成的集合有3個(gè)元素.

解(1)不正確1=|,

這個(gè)集合有3個(gè)元素.

(2)不正確.方程(X—3)(X+1)2=0的解是X1=3,X2=X3=—1,因此這個(gè)集合只有3,

—1兩個(gè)元素.

10.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)由1,2,3三個(gè)數(shù)字中的兩個(gè)數(shù)字(沒(méi)有重復(fù)數(shù)字)所組成的自然數(shù)的集合；

(2)方程、2x+l+|y—2|=0的解集.

解(1)由1,2,3三個(gè)數(shù)字中的兩個(gè)數(shù)字(沒(méi)有重復(fù)數(shù)字)組成的自然數(shù)有：12,

21,13,31,23,32,用列舉法可表示為｛12,21,13,31,23,32).

(2)由、2x+l+|y—2|=0,

f1

'2x+l