高中數(shù)學(xué)：專題10數(shù)學(xué)思想方法第44練函數(shù)與方程思想

知識(shí)?考點(diǎn)?題型篇——練透高考必會(huì)題型

專題10

數(shù)學(xué)思想方法

第44練函數(shù)與方程思想

［思想方法解讀］1.函數(shù)與方程思想的含義

(1)函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的本

質(zhì)認(rèn)識(shí)，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使

問題獲得解決的思想方法.

(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程,

通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決的思想方法.

2.函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用

(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)y=Ax),當(dāng))>0時(shí)，就化為不等式火x)>0,借助于函數(shù)

的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式.

(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要.

(3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程與二次函數(shù)的

有關(guān)理論.

(4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的

方法加以解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切.

?？碱}型精析

題型一利用函數(shù)與方程思想解決圖象交點(diǎn)或方程根等問題

例1已知函數(shù)y(x)=—W+2ex+f—1,g(x)=x+"(x>0),其中e表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若g(x)=〃?有實(shí)根，求加的取值范圍;

(2)確定t的取值范圍，使得g(x)—應(yīng)0=0有兩個(gè)相異實(shí)根.

點(diǎn)評(píng)函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)、方程的根三者之間可互相轉(zhuǎn)化，解題的宗旨就是函數(shù)與

方程的思想.方程的根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn),反之函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)

數(shù)問題也可轉(zhuǎn)化為方程根的問題.

f+2,%e[0,1),

變式訓(xùn)練1已知定義在R上的函數(shù),?x)滿足:火幻=且於+2)=/),

2—f,xe[-],0),

2x+5

g(x)=《不了，則方程/U)=g(x)在區(qū)間L5,1]上的所有實(shí)根之和為()

A.—5B.-6

C.-7D.-8

題型二函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用

13

例2已知函數(shù)於)=lnx一甲+東—Lg(x)=-x1+2bx—4,若對(duì)任意乃￡(0,2),%2e[l,2],

不等式7UDeg(X2)恒成立，則實(shí)數(shù)h的取值范圍為.

點(diǎn)評(píng)不等式恒成立問題的處理方法

在解決不等式恒成立問題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象

和性質(zhì)解決問題.同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的教學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，

從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化.一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為

參數(shù).

變式訓(xùn)練2設(shè)/(x)=lnx+5—1.

3

證明：⑴當(dāng)%>1時(shí)，Xx)<2(x-1);

9(x—1)

⑵當(dāng)1*3時(shí)，段)〈1.

題型三函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

例3已知數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為2,各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，。2,。3,加+1成等比數(shù)列，設(shè)

"尸土+在+…+熱其中5〃是數(shù)列｛端的前〃項(xiàng)和），若對(duì)任意〃CN*,不等式歷,4恒

成立，求實(shí)數(shù)上的最小值.

點(diǎn)評(píng)數(shù)列問題函數(shù)（方程）化法

數(shù)列問題函數(shù)（方程）化法與形式結(jié)構(gòu)函數(shù)（方程）化法類似，但要注意數(shù)列問題中n的取值范圍

為正整數(shù)，涉及的函數(shù)具有離散性特點(diǎn)，其一般解題步驟：

第一步：分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征.

第二步：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造“特征”函數(shù)（方程），轉(zhuǎn)化問題形式.

第三步：研究函數(shù)性質(zhì).結(jié)合解決問題的需要研究函數(shù)（方程）的相關(guān)性質(zhì)，主要涉及函數(shù)單調(diào)

性與最值、值域問題的研究.

第四步：回歸問題.結(jié)合對(duì)函數(shù)（方程）相關(guān)性質(zhì)的研究，回歸問題.

變式訓(xùn)練3己知大x)=f—4x+4,力(x)=y(x),及(x)=K/i(x)),…，/4)=火/11(幻)，函數(shù)y=

力(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)記為斯，則知等于()

A.2"B.2"-1

C.2n+1D.2"或2'LI

題型四函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用

例4橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在y軸上，短軸長(zhǎng)為小，離心率為孚，直線/與y

軸交于點(diǎn)P(0,團(tuán))，與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A,B,且淳=3兩.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求，〃的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)利用判別式法研究圓錐曲線中的范圍問題的步驟

第一步：聯(lián)立方程.

第二步：求解判別式

第三步：代換.利用題設(shè)條件和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，得到所求目標(biāo)參數(shù)和判別式不等式中的

參數(shù)的一個(gè)等量關(guān)系，將其代換.

第四步：下結(jié)論.將上述等量代換式代入/>0或中，即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍.

第五步：回顧反思.在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，無論題目中有沒有涉及求參數(shù)

的取值范圍，都不能忽視了判別式對(duì)某些量的制約，這是求解這類問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

變式訓(xùn)練4如圖所示，設(shè)橢圓G：會(huì)+9=1的左，右焦點(diǎn)分別是尸2,下頂點(diǎn)為A,線

段0A的中點(diǎn)為8（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），若拋物線C2：y=〃a2—〃（機(jī)>0,〃>0）與y軸的交點(diǎn)為8,

且經(jīng)過Q,巳兩點(diǎn).

（1）求拋物線C2的方程；

⑵設(shè)M（0,一號(hào)，N為拋物線C2上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交橢圓Ci于P,Q

兩點(diǎn)，求△MPQ的面積的最大值.

高考題型精練

1.若2'+5vW2>+5*,則有（）

A.x+y2OB.x+yWO

C.x-yWOD.x-y20

2.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分）,

則其邊長(zhǎng)x（單位：m）的取值范圍是（）

A.[15,20]B.[12,25]

C.[10,30]D.[20,30]

3.滿足條件AB=2,AC=y[2BC的三角形ABC的面積的最大值是.

4.已知./U）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，./U）=f—4x,那么，不等式應(yīng)r+2）<5的解

集是.

5.當(dāng)xG[-2,1]時(shí)，不等式or3—記+4犬+320恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

6.(2015?南京模擬)已知函數(shù)_/(x)=77』；+aln(x-l),其中xGN*,。為常數(shù).

⑴當(dāng)”=2時(shí)，求函數(shù)兀I)的極值;

⑵當(dāng)。=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)〃，當(dāng)x22時(shí)，有

答案精析

專題10數(shù)學(xué)思想方法

第44練函數(shù)與方程思想

常考題型精析

2

例1解(1)方法一因?yàn)閤>0,所以ga)=x+^N2、/￡=2e,等號(hào)成立的條件是x=e.

故g(x)的值域是［2e,+°°),

因而只需加22e,g(x)=m就有實(shí)根.

方法二作出g(x)=x+，x>0)的圖象，如圖所示，觀察圖象可知g(x)

的最小值為2e,因此要使8(元)=加有實(shí)根，則只需m22e.

方法三由g(x)=w,

22

得x—/?vc+e=0t

m八

y>0,m>0,

故等價(jià)于

加22e或帆W—2e,

/=加2—4e220,

故加22e.

(2)若g(x)—<x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根，則函數(shù)g(x)與/(%)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

因?yàn)閄x)=—A?+Zex+r—1=—(%—e)2+r—1+e2,所以函數(shù)危)圖象的對(duì)稱軸為直線x=e,

開口向下，最大值為7—1+e?.

2

由題意，作出ga)=%+?(x>0)及y(x)=—/+2ex+f—l的大致圖象，

如圖所示.

故當(dāng)Ll+e2>2e,即e?+2e+l時(shí),g(x)與於)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

即g(x)—%)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.

所以1的取值范圍是(一e?+2e+l,+°°).

變式訓(xùn)練1C［g(x)="h=絲苦產(chǎn)=2+士，由題意知函數(shù)式x)的周期為2,則函數(shù)

?,g(x)在區(qū)間［-5,1］上的圖象如圖所示:

由圖象知人￥)、g(x)有三個(gè)交點(diǎn)，故方程yu)=g(x),在5,1］上有三個(gè)根用、XB、Xc，XB

^A±XC

：==-

°,22,用+應(yīng)=-4,/?XJA+X/?+XC7.]

例2(_8,月可

解析問題等價(jià)于_/Wmineg(X)max.

段)=lnx-%+

所以/'(箱=:一(3__41—一一3

-4?=~4?~

令/'(x)>0得;^-4x+ScO,解得l《c<3,

故函數(shù)大x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3),單調(diào)遞減區(qū)間是(0』)和(3,+8),故在區(qū)間(0,2)上，x=\

是函數(shù)的極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值點(diǎn)是唯一的，故也是最小值點(diǎn)，所以yU)min=/(l)=一)

由于函數(shù)g(x)=-f+26x—4,ATS[1,2].

當(dāng)b<\時(shí)，g(X)max=g(l)=2b—5；

當(dāng)1W6W2時(shí);g(X)max=gS)=從一4；

當(dāng)h>2時(shí),g(x)max=g(2)=4b—8.

故問題等價(jià)于

b<\,僅>2,

~^2b~5或卜拉序—4或一94?8.

解第一個(gè)不等式組得6<1,解第二個(gè)不等式組得1W6〈手，第三個(gè)不等式組無解.

綜上所述，匕的取值范圍是(-8,乎］.

3

變式訓(xùn)練2證明(1)記g(x)=lnx+G—1—］(x—1),

i13

則當(dāng)心>1時(shí),gfW=X+2^-2<0,

3

又g(l)=0,所以有g(shù)(x)<0,即4)6刀-1).

(2)記力(幻=(戈+5次犬)-9(x—1),

則當(dāng)14<3時(shí)，

由(1),得/(x)=Ax)+(x+5?'。)一9<1(犬-1)+(》+5)停+用-9==[3真》-1)+。+5)(2

+#)—18幻弓[3Mx—l)+(x+5)(2+^+1)-18x]

=^(7X2-32X+25)<0.

因此人(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減.

9(x—1)

又近1)=0,所以〃(x)<o,即yu)<；+5.

例3解因?yàn)?=2,屑=砂(44+1),

又因?yàn)樗保钦?xiàng)等差數(shù)列，故心0,

所以(2+24=(2+4(3+30,

得d=2或d=-1(舍去)，

所以數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式斯=2〃.

因?yàn)镾"=〃(〃+1),

氏=?一+甘-H-----

=---------------+----------------\-----H-----------

(n+1)(/?+2)(〃+2)(〃+3)2n(2n+1)

=_J___L,..

n~\~1〃+2〃+2H+32n2n~\~1

1]_________幾

n-\-12n+12n2+37?+1

_1

2M+3

n

令式x)=2x+5(x》l),

則/'(x)=2-5，當(dāng)時(shí)，f(x)>0恒成立，

所以./(x)在[1,+8)上是增函數(shù)，

故當(dāng)X=1時(shí)，[f(X)]min=/U)=3,

即當(dāng)"=1時(shí)，Sw)max=/，

要使對(duì)任意的正整數(shù)〃，不等式恒成立，

則須使后(b”)max=t，所以實(shí)數(shù)k的最小值為今

變式訓(xùn)練3B

解析/i(x)=『-4x+4=(x-2)2,有1個(gè)零點(diǎn)2,由力(x)=0可得力(x)=2,則x=2+啦或x

=2-巾,即>=力。)有2個(gè)零點(diǎn)，由力(x)=0可得力(x)=2—地或2+也，則。-2)2=2—短

或(犬-2)2=2+a,即丫=力(幻有4個(gè)零點(diǎn)，以此類推可知，y=￡,(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)如=2〃r.故選

B.

例4解⑴設(shè)橢圓C的方程為力+/=1(a>6>0),

222

設(shè)c>0,c=a-b9

由題意，知2b=巾,、乎，所以〃=1,b=c=乎.

^

a-

故橢圓。的方程為1即y2+2x2=1.

+■-

2

(2)設(shè)直線/的方程為y="+次/WO),/與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x”)，】)，B(X2,J2),

y=kx-\-m,

由(i、得(F+2)x2+2hnx+(小-1)=0,

2JT+/=1,

A=(2km)2-4(/r+2)(^2-l)=4(^-2/n2+2)>0,(*)

—2kmni2—1

X|X2=

汨十12=3+2，^+2-

因?yàn)閷?3防，所以一X]=3X2,

g+12=—212,

所以J一則3(X14-X2)2+4xiX2=0,

1X1X2=-3x2.

(一2叫ni2—1

即3-+4，lH2=0,

整理得4ZTTW2+2/7?2—^2—2=0,

即F(4〃P—])+2〃?2—2=0,

當(dāng)，”2=(時(shí)，上式不成立；

當(dāng)汴羊(時(shí),2—2加之

F=4%於一1

由(*)式，得標(biāo)>2/—2,又AWO,

所以F=”^>o,

4"-1

解得一1<根<一;或:<根<1,

即所求機(jī)的取值范圍為(-1,-1)uQ,1).

變式訓(xùn)練4解(1)由題意可知A(0,-2),則8(0,-1),由拋物線〉=,病一”過點(diǎn)B,可

知n=\.

又Fi(—1,0),尸2(1,0),拋物線yu/nx2—"經(jīng)過Q,F2兩點(diǎn)，即"一"=0,所以，“=1.

所以拋物線C2的方程為y=『一l.

(2)設(shè)NQ，尸一1)，由y'=2%,知直線尸。的方程為丫一(戶一1)=2心:一。，即>=2比一產(chǎn)一1.

將其代入橢圓方程，整理得4(1+5戶)%2—20/(產(chǎn)+1)x+5(尸+1)2-20=0.

J=400/2(Z2+l)2-80(5/2+1)[((?+1)2-4]=80(-/4+182+3),

設(shè)P(xi,>1),Q(X2,>2),

mi,5止+1)5(產(chǎn)+萬-20

川xi+及一[+5戶‘MX2-4(1+5?)'

;22

故|PQ-y/(yi—)2)+UI-X2)

=y1+4尸也1—X1\

=、1+4尸々(修+及)2-4X1X2

小々1+4尸7—4+18產(chǎn)+3

=1+5?

設(shè)點(diǎn)例到直線P0的距離為d,

g—F—ll尸+士

d='1=-—~7=---

fililVl+4?"中

所以S&MPQ=^PQ\-<J

1丑#1+4產(chǎn)々一1+18戶+3"弓

-2-1+5/2y/1+4干

=*4一1+180+3

=菊_(產(chǎn)―9/+84

W*X眄

=晅

—5-

當(dāng)且僅當(dāng)，=±3時(shí)取"="，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)/>0,滿足題意.

綜上，可知AMPQ的面積的最大值為零.

高考題型精練

1.B[把不等式變形為2r—5「，構(gòu)造函數(shù)>=2，一5二，其為R上的增函數(shù)，所以有

x^—y,即x+yWO.]

2.C[如圖，△ADEs△ABC,設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為)，，則法=(寫』)=

信下,所以y=40-x,由題意知孫2300,即x(40-x)2300,整理得x2—40x

+300W0,解不等式得10WxW30.]

3.272

解析可設(shè)BC=x,貝i]AC=，lr,

根據(jù)面積公式得S^ABC—X\I1—COS2B,

4—f

由余弦定理計(jì)算得cosB=k，

代人上式得SAABC=7l-C^T-)2

_InS-jx2-^

(yj2x+x>29

由，l得2出一2<x<2也+2.

lx+2>V2x,

故當(dāng)x=2小時(shí)，SAABC最大值為2啦.

4.{x|—7<x<3)

解析令/<0,則一x>0,?.”20時(shí)，加:)=?—4x,x)=(—X)2—4(-X)=X2+4X,又“X)

—4尤，x20,

為偶函數(shù)，?\/(—x)=y(x),???x<0時(shí)，7U)=/+4x,故有y(x)={2一再求危)<5

X+4x,x<0.

的解集'由。x2一0我,<5,|x<0,

得0WxV5；由〃=得一5<x<0,即兀<;)<5的解集為(一5,5).

JT+4X<5,

由于兀v)向左平移兩個(gè)單位即得人x+2),故兀v+2)<5的解集為{x|-7<x<3}.

5.解當(dāng)x=0時(shí)，/一/+期+3,0變?yōu)?20恒成立，即adR.

f—4x—3

當(dāng)x￡(0』]時(shí)，or32X2—4x—3,a2p

設(shè)9(x)=

(2x-4]—(x2-4x-3)3f

(PW="6

x2—8x—9(x—9)(x+l)

=-75=-74>0,

???8。)在(0,1]上遞增，3a)max=3(l)=-6,???。2—6.

f—4x—3

當(dāng)xe[—2,0)時(shí)，a￡-p—

:?aWmin?

Y~—4_x—3

仍設(shè)夕a)：1―十二，，a)=a—9)