數(shù)學(xué)八年級下《二次根式》復(fù)習(xí)教學(xué)案

二次根式復(fù)習(xí)課

【知識點(diǎn)匯總】

知識點(diǎn)一：二次根式的概念

形如短（?！埃┑氖阶咏凶龆胃健?/p>

注:在二次根式中，被開放數(shù)可以就是數(shù),也可以就是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必

須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根,所以“就是所為二次根式的前提條件,如

石，4r石，等就是二次根式,而右，等都不就是二次根式。

知識點(diǎn)二:取值范圍

1、二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a叁0時(shí)，正有意義,就是二

次根式,所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。

2、二次根式無意義的條件:因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根,所以當(dāng)a<0時(shí)，而沒有意義。

知識點(diǎn)三:二次根式、以（a之0）的非負(fù)性

石（aN0）表示a的算術(shù)平方根,也就就是說，石（a20）就是一個(gè)非負(fù)數(shù),即石之

0（aN0）。

注:因?yàn)槎胃郊埃?之0）表示a的算術(shù)平方根,而正數(shù)的算術(shù)平方根就是正數(shù),0的算

術(shù)平方根就是0,所以非負(fù)數(shù)（”20）的算術(shù)平方根就是非負(fù)數(shù),即4之0（。20）,這個(gè)性

質(zhì)也就就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，與絕對值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)

應(yīng)用較多，如若石+石=0,則a=O,b=O;若&+N=°,則a=0,b=0;若石+川=0,則

a=0,b=0o

知識點(diǎn)四:二次根式（'石）2的性質(zhì)

（而）2=a（￡2>0）

文字語言敘述為:一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。

注:二次根式的性質(zhì)公式（GP=a

:（a20）就是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公

'=（向2,如：2=（0）2,5=（R）：

式也可以反過來應(yīng)用：若aNO,則，

知識點(diǎn)五:二次根式的性質(zhì)

=川=<

-a(Y0)

文字語言敘述為:一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值。

注:

化簡正時(shí),一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a就是正數(shù)還就是負(fù)數(shù),若就是正數(shù)或0,則

1、

等于a本身，即"=E=2°）；若a就是負(fù)數(shù),則等于a的相反數(shù)-a,即

4^=IM=.

2、正中的a的取值范圍可以就是任意實(shí)數(shù),即不論a取何值，廂一定有意義;

3、化簡痂時(shí)，先將它化成再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。

知識點(diǎn)六：（而?與萬的異同點(diǎn)

1、不同點(diǎn)：（向2與在'表示的意義就是不同的，（疝2表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的

平方，而也1表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根;在（而2中。20,而歷中a可以

就是正實(shí)數(shù),0,負(fù)實(shí)數(shù)。但（疝?與值都就是非負(fù)數(shù),即（而）?。，"之。。因而

廠2"川=「空）

它的運(yùn)算的結(jié)果就是有差別的，（心）=a（°*°），而〔一。（&<0）

2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都就是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，（&）?="；a<0時(shí)，（而產(chǎn)無意義，

而志7=一&、

【歷年考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)1、無理數(shù)

知識回顧：

無限不循環(huán)的小數(shù)，叫做無理數(shù)。

知識特點(diǎn)：

常見的無理數(shù)：

1、n以及滅的有理數(shù)倍數(shù)。

2、叵、M、75；

3、2.001

考查題型

例1、寫出一個(gè)有理數(shù)與一個(gè)無理數(shù),使它們都就是小于一1的數(shù)。（08

年自貢市）

分析：-1的絕對值就是1,所以，小于一1的數(shù)的絕對值一定要大于1,只要符合這一點(diǎn),就可

以了，所以,本題的答案不就是唯一的。

解:小于T的有理數(shù)-4、-5等等，小于一1的無理數(shù)-五、-JL-6等等。

例2、從實(shí)數(shù)一JL一Lo,”，4中，挑選出的兩個(gè)數(shù)都就是無理數(shù)的為（）

3

A、--,0B、”，4C、-72,4D、-JLn（08年湖北省宜昌市）

3

分析:根據(jù)常見的無理數(shù),可以發(fā)現(xiàn)只有與n就是無理數(shù),因此,選項(xiàng)D就是正確的。

解:選D。

例3、如圖1所示,A,B,C,D四張卡片上分別寫有-2,6,之，兀四個(gè)實(shí)數(shù)，從中任取兩張卡

7

片.

ABCD

⑴請列舉出所有可能的結(jié)果

（2）求取到的兩個(gè)數(shù)都就是無

分析:用列表的方式,把所有的結(jié)果找出來,雅辨無理數(shù)的定義，作出判斷。

解：

（1）仔細(xì)觀察上面的四個(gè)數(shù),不難發(fā)現(xiàn)B、D就是無理數(shù),A與C就是有理數(shù)，結(jié)果列表如下:

2仔細(xì)觀察上表,一共有12種可\能性，期中都

就是無理數(shù)的可能性有2種，ABCD

A\

因此,兩個(gè)數(shù)都就是無理數(shù)的概ABACAD率

、「21\

為：一=-?BEABCBD

126

\

CCACBCD

考點(diǎn)2、平方根

DDC

知識回顧：DADB

一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即

x2=a,那么這個(gè)數(shù)x叫做a的平方根。記作土孔。讀作“正負(fù)根號a”

知識特點(diǎn):

1、被開方數(shù)a,滿足的關(guān)系式就是:a'O;

2、平方根x與被開方數(shù)a,滿足的關(guān)系式就是:x=±&;

3、被開方數(shù)a與平方根x,滿足的關(guān)系式就是:a=x2=（±Va）2=4a2=（-五產(chǎn)；

4、兩個(gè)平方根之間滿足的關(guān)系式就是：右+（-JZ）=0,即兩個(gè)平方根互為相反數(shù),所以,她

們的與為0、

如下說法都就是正確的：

①a的平方根就是土瓜;

②就是a的平方根；

③就是a的平方根；

@±JZ就是a的平方根;其中a就是非負(fù)數(shù)。

此外,0的平方根就是0這個(gè)特例要記清楚。

考查題型

例4、2的平方根就是（）

A.4B.V2C.-V2D.±>/2（08年南京市）

分析:根據(jù)平方根的特點(diǎn)，正數(shù)有兩個(gè)平方根，且常用“土”來體現(xiàn)“兩個(gè)”。

解:選D。

例5、9的算術(shù)平方根就是

A、±3B、3C、-3D、6（08恩施自治州）

分析:算術(shù)平方根就是平方根中的正數(shù)根,只有一個(gè),所以,選項(xiàng)A、C都就是不正確的；

因?yàn)?3?=9,所以,9的算數(shù)平方根就是3。

解:選B、

例6、化簡：、/?=（）

A.2B.-2C.4D.-4（08年甘肅省白銀市）

分析:理解的意義就是解題的關(guān)鍵。V4的意義實(shí)際上就就是求正數(shù)4的算術(shù)平方根,

所以,應(yīng)該只有一個(gè),為正數(shù),并且這個(gè)數(shù)的平方應(yīng)該等于4,這樣只有選項(xiàng)A符合要求。

解:選A。

化簡J（T）2=o（08年安徽?。?/p>

分析:因?yàn)?，?4產(chǎn)=16,卜丫的意義就是求正數(shù)16的算數(shù)平方根,因?yàn)椋?/p>

4=16,所以,，（對=4、

考點(diǎn)3、二次根式

知識回顧：

形如JZ（a20）的式子,叫做二次根式。

知識特點(diǎn)：

1、被開放數(shù)a就是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2、二次根式JZ就是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即

3、有限個(gè)二次根式的與等于0,則每個(gè)二次根式的被開方數(shù)必須就是0、

考查題型

例7、若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍就是

A、x>-5B、K-5C、xW-5D,x2-5（08常州市）

分析:在這里二次根式的被開方數(shù)就是x+5,要想使式子J不在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

必須滿足條件:x+520,所以,x2-5,因此,選項(xiàng)D就是正確的。

解:選D。

例8、若,一2|+病。=0,則。=.（08年遵義市）

分析：

因?yàn)椋琁a-21與7^3都就是非負(fù)數(shù),并且它們的與就是0,

所以，|a-21=0且Jb-3=0,所以,a=2,b=3,

所以，a?-b=4-3=l、

例9、若實(shí)數(shù)x,〉，滿足而5+（y—6）2=0,則xy的值就是.（08年寧波市）

分析：

因?yàn)?，V^+2與（丁一方）2都就是非負(fù)數(shù),并且它們的與就是0,

所以，Jx+2=0且（y-=0,所以，x--2,y--x/3,

所以,xy=-2g、

考點(diǎn)4、二次根式的化簡與計(jì)算

知識回顧：

二次根式的化簡，實(shí)際上就就是把二次根式化成最簡二次根式,然后,通過合并同類二

次根式的方法進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算。

知識特點(diǎn)：

二次根式的加減運(yùn)算:aJ嬴+bVm-(a+b)4m,(m2。);

二次根式的乘法運(yùn)算：&、(a^O,b20);

二次根式的除法運(yùn)算：&+赤=*=乂巫，(a，0,b>0);

4bb

二次根式的乘方運(yùn)算：(、萬尸=%(a20);

二次根式的開方運(yùn)算：必='"'""°

—a,a<0

考查題型

例10、下列計(jì)算正確的就是()

A.2G+4夜=6石B.我=4夜

C.a十百=3D.J(-3)2=-3(08年聊城市)

分析:這就就是二次根式化簡的綜合題目，2內(nèi)與4的被開方數(shù)不相同,所以,它們不就

是同類二次根式,所以,不能進(jìn)行合并計(jì)算,所以,A就是錯(cuò)誤的；

因?yàn)?，?JM=萬瓦=2及，所以,B也就是錯(cuò)誤的；

因?yàn)?，①小?同百=內(nèi)=3,所以,C就是正確的；

根據(jù)二次根式的開方公式,得到D就是錯(cuò)誤的。

解:選C。

例11、若》=&一=&+窈，則xy的值為()

A.14aB.14bC.a+hD.a—8(08年大連市)

分析:xy=(&-6)(0+/)=(八)2-(6)2=2-1:),所以,口就是正確的。

解:選D。

考點(diǎn)5、最簡二次根式

知識回顧：

滿足下列條件的二次根式,叫做最簡二次根式：

(1)被開方數(shù)的因數(shù)就是整數(shù),因式就是整式；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

知識特點(diǎn)：

1、最簡二次根式中一定不含有分母；

2、對于數(shù)或者代數(shù)式,它們不能在寫成anXm的形式。

考查題型

例12、下列根式中屬最簡二次根式的就是（）

D、V27（08年湖北省荊州市）

分析:

因?yàn)锽中含有分母,所以B不就是最簡二次根式;

而8=22X2,27=3?X3,所以,選項(xiàng)C、D都不就是最簡二次根式。

所以，只有選項(xiàng)A就是正確的。

解:選A。

考點(diǎn)6、估算

例13、估計(jì)后xJ+J藥的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（）.

（08年蕪湖市）

分析：住x￡+而=而+病=4+2后

因?yàn)?4V5<9,所以，“伍Y石Y的,所以,2V石<3,

所以,4<2石<6,

所以,4+4<275+4<6+4,所以,8V2石+4V10,也就就是在8到9之間、

解:選擇C

【考試題型歸納】

一、基本概念型

例1、二次根式""中，字母的取值范圍就是（）

A、a<1B、a<1C、a>1D^a>1

析解:形如后（aNO）的式子叫二次根式,其中被開方數(shù)a的取值范圍就是a20。則二

次根式向T中,a-1*0,即“21,故選C。

說明:注意二次根式中被開方數(shù)就是非負(fù)數(shù)這個(gè)隱含條件就是解題關(guān)鍵。

例2、在下列根式4石、亞下、瓜瓜中，最簡二次根式有()

A、4個(gè)B、3個(gè)C、2個(gè)D、1個(gè)

析解:最簡二次根式的概念就是⑴被開方式的因數(shù)就是整數(shù)，因式就是整式;(2)被開方

數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。而屈=a岳、府=20。所以最簡二次根式

有46、北兩個(gè)，故選C。

例3、下列根式中，與逐就是同類二次根式的就是()

A、V24B,V12C、gD>V18

析解:幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同

類二次根式。而例=2而、V12=2V3,P=逅、9=3四,所以與0就是同類二

V22

次根式的就是位，故選B。

二、性質(zhì)運(yùn)用型

例4、已知x<2,則化簡>/偶—4x+4的結(jié)果就是()

A、x-2B、x+2C、~x—2D、2—x

析解：&_4X+4=J(X-2)2=|X-2|,因?yàn)閤<2,x-2<0,所以

4x2-4x+4-2-xo故選D

例5、化簡力4x?一八+1一(J2x—3尸得()。

A、2B、-4x+4C、-2D、4x-4

析解:因?yàn)?X-3Z0,XN|,(J2X-3)2=2X-3,

所以2x—l>0,74X2-4X+1=|2X-1|=2x-1

故J4-—4x+l-(J2X-3)2=2x-l-(2x-3)=2,故選A。

說明：以上二例主要應(yīng)用二次根式的性質(zhì):(1)必=囪=["""°1。

[-a(a<0)

(2)(右)2=a(a>0).正確應(yīng)用二次根式的性質(zhì)就是解決本題的關(guān)鍵。

三、結(jié)論開放型

例6、先將+化簡,然后自選一個(gè)合適的x值,代入化簡后的式子求

值。

析解:這就是一道結(jié)論開放題，它留給我們較大的發(fā)揮與創(chuàng)造空間。但要注意x的取值

范圍就是2o

原式二丕21Jx-2

xVx2-2x

x—2.yjx2-2xx-2

=———xy/xxy/x-2=4x

尤一2

?/x>2,.?.取x=4，原式=2。

四、大小比較型

J22-1-Js2-1V42-1J52-1

例7、用計(jì)算器計(jì)算”-—~5■，…，根據(jù)您發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷

2-13-14-15-1

「=近三與。=也亞二l,（n為大于1的整數(shù)）的值的大小關(guān)系為（）

n-1（n+1）-1

A、P<QB、P=QC、P>QD、與n的取值有關(guān)

,2j_l>里二J52=1,從而可以推斷

析解：利用計(jì)算器計(jì)算得:

2-13-14-15-1

八需^。二牛常做選,。

例8、設(shè)。=遙-0\人=2-J5,c=6一2,則a,b,c的大小關(guān)系就是()

A^a>b>ca>c>bC、c>b>a

D、b>c>a

析解:'=J「=l廠+血，同理'=2+&J=6+2。因

aV3-V2(V3-V2)(V3+V2)bc

為石+2>2+后>追+夜>0,所以」>L>L>0,c<b<a。故選A。

cba

五、判斷正誤型

例9、化簡廠時(shí)，甲的解法就是：二3（省+/）,二6+1,

V5-V2V5-V2（V5-V2）（V5+V2）

乙的解法就是:七=三”

=V5+VI,以下判斷正確的就是（)

A、甲的解法正確，乙的解法不正確

B、甲的解法不正確,乙的解法正確

C、甲、乙的解法都正確

D、甲、乙的解法都不正確

析解：甲就是將分子與分母同乘以石+血進(jìn)行分母有理化，乙就是利用

3=(V5+V2)(V5-V2)進(jìn)行約分，所以二人都就是正確的，故選Co

例10、對于題目“化簡并求值:/-2,其中a=L',甲、乙兩人的解答不

aVa5

誰的解答就是錯(cuò)誤的？為什么？

析解:乙的解答就是錯(cuò)誤的。

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，-=5,a--<0,所以、■上^^a--，而應(yīng)當(dāng)就是

5aa\aa

J(a-,)2=~a~a°

六、規(guī)律探索型

例11、細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題。

2

(V2)+l=3,52=y-;

(V3)2+1=4,5,=^-;

(1)請用含有n(n就是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律。

(2)推算出。A1。的長。

(3)求出S：+S]+S：+…+Sfa的值。

析解:⑴通過類比,可推知(MY+1=〃+1,5“=?

(2)■/OAy=VT,OA0=V2,OA3=5/3,OAW=VToo

(3閭+S以+S；+…+S3

,&、2卓、2,6、2，加、2

=(—)+(—)+(—)+…+(^~)

2222

=-(1+2+3+-+10)=—

44

七、計(jì)算說理型

例12、有這樣一道題，計(jì)算：*+q〈+*一叫三±-52*>2）的值，其中

X-y/x2-4x+yjx2-4

x=1005,某同學(xué)把“x=1005”錯(cuò)抄成“x=1050”，但她的計(jì)算結(jié)果就是正確的。請回

答這就是怎么回事？試說明理由。

析解:這就是一道說理型試題，既然x的值取錯(cuò)，計(jì)算結(jié)果仍就是正確。那么可以猜測此

二次根式化簡后與x的值無關(guān)。這時(shí)應(yīng)從二次根式的化簡入手,揭開它神秘的面紗。

/+■?-4+2x77^+-"2x4三”

八、數(shù)形結(jié)合型

例13、如圖1,正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊

長為無理數(shù)的邊數(shù)有（）

A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)

B

圖1

析解:由題意知BC=$2。+3?=V13,AC=+42=5,AB=J52+1?=J而。所以

邊長為無理數(shù)的邊數(shù)就是2個(gè)，故選C?

例14、“數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，如圖2中數(shù)軸上的點(diǎn)P所表示的數(shù)就是0”,

這種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫做()

A、代入法B、換元法C、數(shù)形結(jié)合D、分類討論

析解:本題“形”“數(shù)”結(jié)合，所反映的正就是數(shù)學(xué)中的一種思想方法“數(shù)形結(jié)合”故選

Co

九、閱讀理解型

例15、我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，

即已知三角形的三邊長,求它的面積。用現(xiàn)代式子表示即為：

S二心12；$2]……①(其中a、b、c為三角形的三邊長,s為面積)。

而另一個(gè)文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：

s=力風(fēng)p-a)(p-b)(p-c)...②(其中p="+；+')

(1)若已知三角形的三邊長分別為5、7、8,試分別運(yùn)用公式①與公式②，計(jì)算該三角形的

面積s;

(2)您能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請?jiān)囋嚒?/p>

析解：(1)s=&52X72—(F+7；—82)2]

V42

=1752(72-12)

=-748=1073

2

又p=g(5+7+8)=10,

.-.5=^10(10-5)(10-7)(10-8)=710x5x3x2=1073

(2)9/2_(。2+；2-。2)2]

42

=-(ah+a2+Z?2

42

=4上2—3一份2].[(。+切2-￡2]

Io

=-(C4-6T-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)

16

=^-(2p-2a)(2p-2b)-2p-(2p-2c)

lo

=p(p-<2)(p-b)(p-c)

1?廬-("+：~—)*2]=ylp(p-a)(p-b)(p-c)

【解題策略】

一、二次根式的定義

例1函數(shù)y=-72X-1的自變量X的取值范圍就是()

A.xN—B.x<—C.x工一D.x4—

2222

解題策略:根據(jù)二次根式的定義,被開方數(shù)必須就是非負(fù)數(shù)。答案為Ao

例2函數(shù)y=-^=-匕上的自變量x的取值范圍就是()

Jx-2x—3

A.2<x<5B.2<x<5

C.2<x<5且x。3D.2<x<5且x主3

解題策略:根據(jù)二次根式的定義，被開方數(shù)必須就是非負(fù)數(shù)，還應(yīng)特別注意分式的分母

不能為零。答案為：C。

二、二次根式的性質(zhì)

例3若y?+4y+4+Jx+y-l=0,則xy的值等于()

A、-6B、-2C、2D、6

解題策略：緊扣二次根式布(a20)就是一個(gè)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可以得到："+2)=°,

x+y-l=0

故x=3,y=—2。答案為:A

例4如果J(X-2)2=x-2,那么X的取值范圍就是()

A.x<2B.x<2c.x>2D.x>2

解題策略:運(yùn)用二次根式布(aNO)就是一個(gè)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)知，x-2>0?答案為C。

例5若b<0,化簡Cab7的結(jié)果就是()

A.—bVabB.bj-abC.—bj-abD.bVab

解題策略:緊緊抓住二次根式被開方數(shù)必須就是非負(fù)數(shù)，由二次根式的性質(zhì)

[a(a>0)

Va2=|a|=?知

-a(a<0)

V-ab3=J-abb=-bVab

答案為:C

三、最簡二次根式

例6把二次根式xR(y>0)化成最簡二次根式為。

例7下列各式中屬于最簡二次根式的就是()

A.&+1B.Jx2y$C.712D.705

解題策略：最簡二次根式必須滿足下列兩個(gè)條件：(1)被開方數(shù)的因數(shù)就是整數(shù)，因式

就是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

例6的答案為：而，例1的答案為:A。

四、同類二次根式

例8在下列二次根式中與、歷就是同類二次根式的就是()

A.V8B.V10C.V12D.V27

例9在下列各組根式中，就是同類二次根式的就是()

A.V3^V18B.6和

C.和Tab7D.GTI和Va^T

解題策略：緊扣定義:化成最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次

根式。例8的答案為A,例9的答案為Bo