2024八年級數(shù)學(xué)下冊專題1.1三角形14大核心考點精講精練含解析新版浙教版

Page1專題1.1三角形14大核心考點精講精練（學(xué)問梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）【目標(biāo)導(dǎo)航】【學(xué)問梳理】1．三角形的主要線段：（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．2.三角形的三邊關(guān)系：（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不愿定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，留意最終要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，簡潔忽視．3．三角形內(nèi)角和定理：（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①干脆依據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．4.三角形外角的性質(zhì)：（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若探討的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角起先，視察它是哪個三角形的外角．【典例剖析】【考點1】三角形的概念與分類【例1】浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，以AB為邊的三角形的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】依據(jù)三角形的概念、結(jié)合圖形寫出以AB為邊的三角形．【詳解】解：以AB為邊的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4個．故選：D．【點睛】本題考查的是三角形的相識，不重不漏的寫出全部的三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1.1】（浙江·八年級期末）圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個三角形是(

)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能【答案】D【詳解】從圖中，只能看到一個角是銳角，其它的兩個角中，可以都是銳角或有一個鈍角或有一個直角，故選D．【變式1.2】（浙江·杭州市富陽區(qū)富春中學(xué)八年級階段練習(xí)）圖中鈍角三角形有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】依據(jù)鈍角三角形的定義即可解決問題，三角形按角的大小可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，有一個角是鈍角的三角形就是鈍角三角形【詳解】△ABD、△ACF與△ABF是鈍角三角形【點睛】本題關(guān)鍵是知道大于90°小于180°的角為鈍角，有一個角是鈍角的三角形就是鈍角三角形【變式1.3多選題】（浙江紹興·八年級階段練習(xí)）將一個三角形紙片剪開分成兩個三角形，這兩個三角形可能是（

）A．都是直角三角形 B．都是鈍角三角形C．都是銳角三角形 D．是一個直角三角形和一個鈍角三角形【答案】ABD【分析】分三種狀況探討，即可得到這兩個三角形不行能都是銳角三角形．【詳解】解：如圖，沿三角形一邊上的高剪開即可得到兩個直角三角形．如圖，鈍角三角形沿虛線剪開即可得到兩個鈍角三角形．如圖，直角三角形沿虛線剪開即可得到一個直角三角形和一個鈍角三角形．因為剪開的邊上的兩個角是鄰補角，不行能都是銳角，故這兩個三角形不行能都是銳角三角形．綜上所述，將一個三角形剪成兩三角形，這兩個三角形不行能都是銳角三角形．故選：ABD【點睛】本題主要考查了三角形的分類，理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．【考點2】三角形的穩(wěn)定性【例2】（浙江紹興·八年級期中）人字梯中間一般會設(shè)計一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短C．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 D．三角形具有穩(wěn)定性【答案】D【分析】依據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：人字梯中間一般會設(shè)計一“拉桿”，是因為三角形具有穩(wěn)定性，故選：D．【點睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性，熟知三角形具有穩(wěn)定性是解答的關(guān)鍵．【變式2.1】（浙江紹興·八年級期末）如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是（

）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間線段最短C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短【答案】A【分析】依據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可解決問題．【詳解】解：依據(jù)三角形的穩(wěn)定性可固定窗戶．故選：A．【點睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，屬于基礎(chǔ)題型．【變式2.2】（浙江·臨海市杜橋試驗中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是（

）A． B． C． D．【變式2.3】（浙江·高照試驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）下列是利用了三角形的穩(wěn)定性的有（）①自行車的三角形車架：②校門口的自動伸縮柵欄門：③照相機的三腳架：④長方形門框的斜拉條A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】依據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性，依次對四個選項進行推斷，即可解題．【詳解】∵三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性，∴四個選項中只有選項D符合題意，選項A、B、C均不符合題意，故選：D．【點睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性，是基礎(chǔ)考點，難度簡潔，駕馭相關(guān)學(xué)問是解題關(guān)鍵．【考點3】三角形的三邊關(guān)系【例3】（浙江·八年級專題練習(xí)）1.小明有兩根長度為5cm，10cm的木棒，他想釘一個三角形木框，桌上有幾根木棒供他選擇，他有幾種選擇？（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】B【分析】利用三角形的三邊關(guān)系進行分析即可．【詳解】解：設(shè)第三根木棒的長度為xcm，∵小明有兩根長度為5cm和10cm的木棒，∴10﹣5＜x＜10+5，即：5＜x＜15，10cm和12cm適合，故選：B．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是駕馭三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊．【變式3.1】（·八年級期末）下列長度（單位：cm）的線段不能組成三角形的是（

）A．3，3，3 B．3，5，5 C．3，4，5 D．3，5，8【答案】D【分析】依據(jù)三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊進行分析即可．可以用較小的兩邊之和與最大邊比較．【詳解】解：A、3+3＞3，能組成三角形，故此選項不符合題意；B、3+5＞5，能組成三角形，故此選項不符合題意；C、3+4＞5，能組成三角形，故此選項不符合題意；D、3+5=8，不能組成三角形，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是駕馭三邊關(guān)系．三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．【變式3.2】（浙江溫州·八年級期中）已知一個三角形的兩邊分別為2和7，則這個三角形的第三邊可以是（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】C【分析】依據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可推斷．【詳解】設(shè)第三邊為x，則7-2＜x＜故答案為：C．【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，記住兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．【變式3.3】（浙江·八年級專題練習(xí)）若三角形兩邊a、b的長分別為3和4，則第三邊c的取值范圍是（

）A．1≤c≤7 B．1<c<8 C．1<c<7 D．2<c<9【答案】C【分析】依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列不等式求解．【詳解】因為三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，所以3+4>c，且4-3<c，所以1<c<7，故選C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，嫻熟駕馭三角形有關(guān)線段的概念是解題關(guān)鍵．【考點4】三角形的高【例4】（浙江·八年級期末）若線段AM和線段AN分別是△ABC邊BC上的中線和高，則下列推斷正確的是（

）AM>AN B．AM≥AN C．AM<AN D．AM≤AN【答案】B【分析】依據(jù)三角形的高的概念得到AN⊥BC，依據(jù)垂線段最短推斷．【詳解】解：∵線段AN是△ABC邊BC上的高，∴AN⊥BC，由垂線段最短可知，AM≥AN，故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高的概念，駕馭垂線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式4.1】（浙江·八年級專題練習(xí)）張老師讓同學(xué)們作三角形BC邊上的高，你認(rèn)為正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)三角形高的定義解答即可．【詳解】A、AD是△ABC中BC邊上的高，符合題意；B、DB不是△ABC中BC邊上的高，不符合題意；C、DB是△ABC中AC邊上的高，不符合題意；D、∵AD⊥CD，∴CD是AB邊上的高，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查的是三角形高的概念，從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點之間的距離叫做三角形的高，熟知高的概念是解題的關(guān)鍵．【變式4.2】（浙江杭州·九年級專題練習(xí)）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（

）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線【答案】B【分析】依據(jù)高線的定義留意推斷即可．【詳解】∵線段CD是△ABC的AB邊上的高線，∴A錯誤，不符合題意；∵線段CD是△ABC的AB邊上的高線，∴B正確，符合題意；∵線段AD是△ACD的CD邊上的高線，∴C錯誤，不符合題意；∵線段AD是△ACD的CD邊上的高線，∴D錯誤，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了三角形高線的理解，嫻熟駕馭三角形高線的相關(guān)學(xué)問是解題的關(guān)鍵．【變式4.3】（浙江·八年級專題練習(xí)）假如一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是(

)銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定【答案】C【分析】依據(jù)三角形的三條高線與三角形的位置關(guān)系即可干脆得出結(jié)論．【詳解】A．銳角三角形，三條高線交點在三角形內(nèi)，故A項錯誤；B．鈍角三角形，三條高線不會交于一個頂點，故B項錯誤；C．直角三角形的直角所在的頂點正好是三條高線的交點，可以得出這個三角形是直角三角形，故C項正確；D．能確定C正確，故D項錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的三條高線的交點問題，駕馭三角形的三條高線交點的特征是解題的關(guān)鍵．【考點5】三角形的中線【例5】（浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝8，點D是BC邊上的中點，連接AD，若△ACD的周長為20，則△ABD的周長是（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】D【分析】利用三角形的周長公式先求解AD+CD=12,再證明BD=CD,再利用周長公式進行計算即可．【詳解】解：∵AC＝8，△ACD的周長為20，∴AD+CD=20-8=12,∵點D是BC邊上的中點，∴BD=CD,∵AB＝10，∴△ABD的周長為：AB+BD+AD=10+AD+CD=10+12=22．故選：D.【點睛】本題考查的是三角形的周長的計算，三角形的邊的中點的應(yīng)用，駕馭“三角形的周長公式及中點的含義”是解本題的關(guān)鍵．【變式5.1】（全國·八年級單元測試）如圖，△ABC的角平分線AD，中線BE交于點O，則結(jié)論：①AO是△ABE的角平分線；②BO是△ABD的中線．其中（）A．①、②都正確 B．①、②都不正確C．①正確②不正確 D．①不正確，②正確【答案】C【分析】依據(jù)三角形的角平分線的定義，三角形的中線的定義可知．三角形其中一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線，連接一個頂點和它所對邊的中點的線段叫做三角形的中線．【詳解】解：AD是三角形ABC的角平分線，則是∠BAC的角平分線，所以AO是△ABE的角平分線，故①正確；BE是三角形ABC的中線，則E是AC是中點，而O不愿定是AD的中點，故②錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的中線，角平分線的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式5.2】（浙江杭州·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，AD為中線，則△ABD與△ACD的周長之差為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依據(jù)三角形中線的性質(zhì)得BD=CD，則兩個三角形的周長之差就是AB和AC長度的差．【詳解】解：∵AD是中線，∴BD=CD，∵C△ABD=AB+AD+BD，∴C△ABD故選：B．【點睛】本題考查中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是駕馭三角形中線的性質(zhì)．【變式5.3】（浙江金華·八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別是BC，AD，CE邊上的中點，且S△ABC=8cm2，則A．1cm2 B．1.5cm2 C．2.5cm2 D．2cm2【答案】D【分析】依據(jù)等底等高的三角形的面積相等用△ABC的面積表示出△BDE和△CDE的面積，從而得到△BCE的面積，再次利用等底等高的三角形的面積相等即可得到△BEF的面積與△ABC的面積的關(guān)系，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【詳解】解：∵點D，E分別是BC，AD邊上的中點，∴S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC，S△BDE＝12S△ABD＝14S△ABC，S△CDE＝12S△ACD＝1∴S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝14S△ABC＋14S△ABC＝12S∵F是CE邊上的中點，∴S△BEF＝12S△BCE＝12×12S△ABC＝14S△ABC＝故選：D．【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，依據(jù)等底等高的三角形面積相等推出△BEF和△ABC的面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．【考點6】三角形的內(nèi)角和定理【例6】（浙江·杭州育才中學(xué)八年級階段練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時，綜合實踐小組的同學(xué)作了如下四種幫助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（）A．過C作EF∥ABB．過AB上一點D作DE∥BC，DF∥ACC．延長AC到F，過C作CE∥ABD．作CD⊥AB于點D【答案】D【分析】本題運用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進行轉(zhuǎn)化，再依據(jù)平角的定義解決此題．【詳解】解：A．由EF∥AB，則∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合題意．B．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故B不符合題意．C．由CE∥AB，則∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故C不符合題意．D．由CD⊥AB于D，則∠ADC＝∠CDB＝90°，無法證得三角形內(nèi)角和是180°，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，將三角形三個內(nèi)角轉(zhuǎn)換為平角是解本題的關(guān)鍵．【變式6.1】（浙江紹興·八年級期末）如圖，BD平分∠ABC交AC于點D．若∠C-∠A=20°，則∠ADB＝（A．100° B．105° C．110° D．120°【答案】A【分析】依據(jù)角平分線性質(zhì)，可得∠ABD=∠DCB，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與外角定理即可．【詳解】解：∵BD平分∠ABC交AC于點D，∴∠ABD=∠DBC，∵∠C-∠A=20°即又∵∠ADB=∠C+∠DBC，∴∠ADB=∠A+20∵∠A+∠ABD+∠ADB=180即∠A+∠ABD=180∴∠ADB=180∴2∠ADB=200∴∠ADB=100故選：A．【點睛】此題主要考查了三角形角平分線，解題關(guān)鍵是嫻熟運用三角形內(nèi)角和定理與外角定理．【變式6.2】（浙江寧波·七年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，過頂點C作DE∥AB，若∠DCA=25°，則∠B的度數(shù)為（

A．75° B．45° C．55° D．65°【答案】D【分析】由DE∥AB，利用平行線的性質(zhì)可求得出∠A的度數(shù)，然后在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠B的度數(shù)．【詳解】解：∵DE∥AB，∠DCA=25°，∴∠A=∠DCA=25°，∵在△ABC中，∠DCA=25°，∠ACB=90°，∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-25°-90°=65°．故選：D．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．牢記三角形內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵．【變式6.3】（浙江金華·八年級期末）如圖，點A，B，C分別代表王老師的家，圖書館，學(xué)校．已知圖書館B在王老師家A的北偏東32°方向上，學(xué)校C在圖書館B的北偏西32°方向上．則∠ABC的度數(shù)是（

）A．112° B．114° C．116° D．118°【答案】C【分析】過點A作AD∥BE交BC于點D，BE方向為正北方向，依據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ADB=32°，進而依據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】如圖，過點A作AD∥BE交BC于點D，BE方向為正北方向，依據(jù)題意可得∠BAD=32°,∠DBE=32°，∵AD∥∴∠DBE=∠ADB=32°，∴∠ABC=180°-∠ADB-∠DAB=180°-32°-32°=116°，故選C．【點睛】本題考查了方位角，三角形內(nèi)角和定理，駕馭三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【考點7】直角三角形【例7】（浙江·蕭山區(qū)高橋初級中學(xué)八年級期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】依據(jù)直角三角形的判定對各個條件進行分析，即可得到答案．【詳解】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，設(shè)∠A＝x，則x+2x+3x＝180，解得：x＝30°，∴∠C＝30°×3＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C＝12∠A+1∴∠A＝（108011∴△ABC為鈍角三角形．∴能確定△ABC是直角三角形的有①②③共3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，駕馭有一個內(nèi)角為90°的三角形是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．【變式7.1】（浙江寧波·八年級期中）已知直角三角形一個銳角的度數(shù)為40°，則它的另一個內(nèi)角（銳角）的度數(shù)為（

）A．140° B．60° C．50° D．40°【答案】C【分析】依據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可．【詳解】解：90°-40°=50°，故選C．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，嫻熟駕馭性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式7.2】（（浙江省余姚市試驗學(xué)校七年級期中）將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，假如∠α＝47°，則∠β的度數(shù)是（）A．43° B．47° C．30° D．60°【答案】A【分析】延長BC交刻度尺的一邊于D點，利用平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，將已知角與所求角轉(zhuǎn)化到Rt△CDE中，利用內(nèi)角和定理求解．【詳解】如圖，延長BC交刻度尺的一邊于D點，∵AB∥DE，∴∠β＝∠EDC，又∵∠CED＝∠α＝47°，∠ECD＝90°，∴∠β＝∠EDC＝90°﹣∠CED＝90°﹣47°＝43°．故選：A．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，依據(jù)題意作出幫助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．【變式7.3】（（浙江·八年級單元測試）將一副三角板如圖放置，其中∠BAC=∠ADE=90°,∠E=30°,∠B=45°，其中點D落在線段BC上，且AE//BC，則∠DAC的度數(shù)為（A．30° B．25° C．20° D．15°【答案】D【分析】先求解∠C,再求解∠DAE,∠ADB,再利用三角形的外角的性質(zhì)可得：∠ADB=∠DAC+∠C,從而可得答案．【詳解】解：∵∠BAC=90°,∠B=45°，∴∠C=45°，∵∠ADE=90°,∠E=30°，∴∠DAE=60°，又∵AE∴∠DAE=∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=60°-45°=15°．故答案為：D．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，三角形的外角的性質(zhì)，駕馭以上學(xué)問是解題的關(guān)鍵．【考點8】三角形的外角【例8】（浙江紹興·七年級期末）如圖，已知直線AB∥CD，直線EF分別交直線AB，CD于點E，F(xiàn)，EM平分∠AEF交CD于點M．G是射線MD上一動點（不與點M，F(xiàn)重合）．EH平分∠FEG交CD于點H，設(shè)∠MEH=α，∠EGF=β．現(xiàn)有下列四個式子：①2α=β，②2α-β=180°，③α-β=30°，④2α+β=180°，在這四個式子中，正確的是(①② B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】分兩種狀況探討：當(dāng)點G在F的右側(cè)時，依據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補得到∠AEG+∠EGM=180°，結(jié)合角平分線性質(zhì)解得2α+β=180°；或當(dāng)點G在F的左側(cè)時，兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠FME=∠AEM，結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠EGF=∠FME+∠GEM=∠GEM+∠FEM=2(∠GEM+HEG)=2∠HEM，解得2α=β．【詳解】解：當(dāng)點G在F的右側(cè)時，∵EM平分∠AEF∴∠A∵EH平分∠FEG∴∠FEH=∠GEH=設(shè)∠MEH=α，∠EGF=β∵AB∴∠AEG+∠EGM=180°∴∠AEF+∠FEG+∠EGM=180°∴2α+β=180°，當(dāng)點G在F的左側(cè)時，∵EM平分∠AEF∴∠AEM=∠MEF=∵EH平分∠FEG∴∠FEH=∠GEH=設(shè)∠MEH=α，∠EGF=β∵AB∴∠FME=∠AEM∴∠AEM=∠FEM∵∠EGF=∠FME+∠GEM=∠GEM+∠FEM=2(∠GEM+HEG)=2∠HEM∴β=2α綜上所述，2α+β=180°或β=2α故①④正確,②③錯誤故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等學(xué)問，是重要考點，駕馭相關(guān)學(xué)問是解題關(guān)鍵．【變式8.1】（浙江金華·七年級期末）如圖，一輛超市購物車放置在水平地面上，其側(cè)面四邊形ABCD與地面某條水平線l在同一平面內(nèi)，且AB∥l．若∠A＝93°，∠D＝111°，則直線CD與l所夾銳角的度數(shù)為（

）A．24° B．34° C．39° D．83°【答案】A【分析】依據(jù)題意畫出圖形，利用三角形外角的性質(zhì)求出∠AED，再依據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：如圖所示，∵∠ADE＝180°?∠ADC＝69°，∴∠AED＝∠DAB?∠ADE＝24°，∵AB∥l，∴∠F＝∠AED＝24°，即直線CD與l所夾銳角的度數(shù)為24°，故選：A．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式8.2】（浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A=56°，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于點D，則∠D的度數(shù)（）A．28° B．56° C．30° D．26°【答案】A【分析】設(shè)∠B=2α，依據(jù)外角性質(zhì)得出∠ACE=56°+2α，再由角平分線的性質(zhì)得出∠DBC=α，∠DCE=28°+α，最終依據(jù)外角性質(zhì)得出∠D=∠DCE-∠DBC，將∠DBC，∠DCE的值代入式子中進而得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)∠B=2α，依據(jù)外角性質(zhì)可知：∠ACE=∠A+∠ABC=56°+2α，∵BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，∴∠DBC=12∠ABC=α依據(jù)外角性質(zhì)：∠DCE=∠DBC+∠D，∴∠D=∠DCE-∠DBC=28°+α-α=28°．故選：A．【點睛】本題考查角平分線、外角的性質(zhì)的理解與運用實力．主要涉及以下學(xué)問點：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；角平分線分得的兩個角相等，都等于該角的一半．靈敏運用相關(guān)學(xué)問點是解本題的關(guān)鍵．【變式8.3】（浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，直線a//b，點A在直線a上，點C、D在直線b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)是（A．13° B．15° C．14° D．16°【答案】A【分析】延長CB交直線a于點E，依據(jù)平行線及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)可求出∠ECF＝∠AEC＝58°，再依據(jù)三角形外角性質(zhì)可求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：延長CB交直線a于點E，如圖，∵AB⊥BC，∠1＝32°，∴∠ABC＝90°，∴∠AEC＝90°﹣∠1＝58°，∵a//b，∴∠ECF＝∠AEC＝58°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝12∠ABC∵∠ECF是△BCD的外角，∴∠2＝∠ECF﹣∠CBD＝13°．故選：A．【點睛】本題考查平行線及三角形外角的性質(zhì)，解題時留意結(jié)合圖形找尋已知條件與問題之間的位置關(guān)系，把條件與問題的聯(lián)系作為主要的思索方向．【考點9】與角平分線有關(guān)的角【例9】（浙江·八年級期末）如圖，已知△ABC中，∠A=α，如圖：設(shè)∠B、∠C的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于O1,O2則∠BO2C=_____；請你猜想，當(dāng)∠B、∠C同時n【答案】

60°+23α

【分析】依據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再依據(jù)三等分的定義求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；依據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再依據(jù)n等分的定義求出（∠On-1BC+∠On-1CB），在△On-1BC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【詳解】解：在△ABC中，∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α，∵O2B和O2C分別是∠B、∠C的三等分線，∴∠O2BC+∠O2CB=23（∠ABC+∠ACB）=23（180°-α）=120°-2∴∠BO2C=180°-（∠O2BC+∠O2CB）=180°-（120°-23α）=60°+23在△ABC中，∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α，∵On-1B和On-1C分別是∠B、∠C的n等分線，∴∠On-1BC+∠On-1CB=n-1n（∠ABC+∠ACB）=n-1n（180°-α）=∴∠BOn-1C=180°-（∠On-1BC+∠On-1CB）=180°-（180°n-1n-故答案為：60°+23α，n-1【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，以及三等分線，n等分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．【變式9.1】（浙江省余姚市試驗學(xué)校七年級期中）已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠PAB+∠PCD=90°，過P做PE//CD，若∠PCD=55°，則∠APE=________．【答案】35°##35度【分析】依據(jù)角平分線的定義可得∠PAC+∠PCA=∠PAB+∠PCD=90°，從而可推斷出∠APC=90°，再依據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCD∵∠PAB+∠PCD=90°∴∠PAC+∠PCA=90°∴∠APC=90°，∵PE//CD，∴∠EPC=∠PCD=55°∴∠APE=∠APC-∠EPC=90°-55°=35°故答案為：35°．【點睛】此題主要發(fā)帖死你角平分線，平行線的性質(zhì)，求出∠APC=90°是解答本題的關(guān)鍵．【變式9.2】（浙江·溫州市第十二中學(xué)七年級期中）如圖，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=70°，【答案】55°##55度【分析】先依據(jù)角平分線的定義，得出∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝12∠ADC，再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，推理得出∠BAD＋∠BCD＝2∠E，進而求得∠【詳解】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝12∠∵∠ABE＋∠BAD＝∠E＋∠ADE，∠BCD＋∠CDE＝∠E＋∠CBE，∴∠ABE＋∠BAD＋∠BCD＋∠CDE＝∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE，∴∠BAD＋∠BCD＝2∠E，∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，∴∠E＝12（∠BAD＋∠BCD）＝1故答案為：55°．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角相等的性質(zhì)，嫻熟駕馭性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．【變式9.3】（浙江·八年級期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC,EG⊥AD，分別交AB、AD、AC、BC的延長線于E、H、F、G，已知下列四個式子：①∠1=1【答案】

①

③【分析】由AD平分∠BAC，EG⊥AD，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∴∠1=90°-∠BAD=90°-12∠BAC，而∠BAC=180°-∠2-∠3，于是∠1=90°-12(180°-∠2-∠3)=1【詳解】解：∵AD平分∠BAC，EG⊥AD，∴∠BAD=12∠BAC∴∠1=90°-∠BAD=90°-1而∠BAC=180°-∠2-∠3，∴∠1=90°-1又∵∠1=∠2+∠4，∴∠4=∠1-∠2=1故答案為：①，③．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和為180°．也考查了角平分線和垂線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．【考點10】三角形折疊中的角度問題【例10】（浙江·嘉興一中七年級期中）在“妙折生平——折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個任務(wù)：如圖，有一張三角形紙片ABC，∠B＝32°，∠C＝60°，點D是AB邊上的固定點（BD＜12AB），請在BC上找一點E，將紙片沿DE折疊（DE為折痕），點B落在點F處，使EF與三角形ABC的一邊平行，則∠BDE【答案】28°或74°或118°【分析】分三種狀況，分別畫出圖形，結(jié)合平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：當(dāng)BD∥由折疊得，∠B=∠F=32°，∠BED=∠DEF，∵BD∥∴∠B=∠CEF=32°，∴∠BEF=180°-32°=148°，∴∠BDE=∠BED=∠DEF=1當(dāng)AC∥∵AC∥∴∠BEF=∠C=60°，∴∠BED=∠FED=1∴∠BDE=180°-∠B-∠BED=180°-32°-30當(dāng)AC∥∴∠CEF=∠C=60°，∴∠BGD=∠CEF+∠F=92°，∴∠BDG=180°-∠B-∠BGD=56°，∴∠BDE=1綜上所述，∠BDE為28°或74°或118°．故答案為：28°或74°或118°【點睛】本題主要考查了圖形的折疊，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，嫻熟駕馭平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，利用分類探討思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式10.1】（浙江臺州·七年級期末）如圖，將長方形紙片分別沿AB，AC折疊，點M，N恰好重合于點P，∠NAC=32∠MAB【答案】54°##54度【分析】依據(jù)翻折可得∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，得∠MAB+∠NAC＝90°，再由∠NAC=3【詳解】解：依據(jù)翻折可知：∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC=12(∠MAB+∠BAP+∠NAC+∠PAC)=1∴∠MAB+∠NAC＝90°，∵∠NAC＝32∠MAB∴23∠NAC+∠NAC＝90∴∠NAC＝54°．故答案為：54°．【點睛】本題主要考查翻折變換，嫻熟駕馭和應(yīng)用翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10.2】（浙江·八年級期末）如圖，等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，把ΔBDE沿直線DE翻折，使點B落在點B'處，DB'，EB'分別交邊AC于點F，G，若∠ADF=95°，則∠EGC【答案】95°##95度【分析】依據(jù)翻折的性質(zhì)求出∠B′的度數(shù)，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AFD的度數(shù)，得到答案．【詳解】解：由題意得，∠B′=∠B=60°，∵∠ADF=95°，∠A=60°，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠AFD=25°，則∠B′FG=25°，∴∠FGB′=95°，∴∠EGC=95°，故答案為：95°．【點睛】本題考查的是圖形的翻折變換的性質(zhì)，嫻熟運用三角形內(nèi)角和定理和翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10.3】（浙江·諸暨市暨陽初級中學(xué)八年級期中）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點A落在四邊形BCDE的外部A'的位置，且A'與點C在直線AB的異側(cè)，折痕為DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．若保持△A′DE的一邊與BC平行，則∠ADE的度數(shù)______．【答案】45°或30°【分析】分DA'∥BC或EA'∥BC兩種狀況，分別畫出圖形，即可解決問題．【詳解】解：當(dāng)DA'∥BC時，如圖，∠A'DA=∠ACB=90°，∵△ADE沿DE折疊到A'DE，∴∠ADE=∠A'DE=12∠ADA當(dāng)EA'∥BC時，如圖，在△ABC中，∠B=180°-∠C-∠A=60°，∴∠2=∠ABC=60°，由折疊可知，∠A′=∠A=30°，在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE=180°，∴∠2=180°-∠A′-∠A′FE=150°-∠A′FE，在四邊形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD=360°，∴∠1=360°-∠C-∠B-∠BFD=210°-∠BFD，∵∠BFD=∠A′FE，∴∠1-∠2=210°-150°=60°，∴∠1=∠2+60°=120°，∵△ADE沿DE折疊到A'DE，∴∠ADE=∠A'DE=12∠ADA′=1綜上所述，∠ADE的度數(shù)為：45°或30°．故答案為：45°或30°．【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等學(xué)問，能依據(jù)題意，運用分類探討思想分別畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【考點11】三角形三邊關(guān)系大題專練【例11】（浙江·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整數(shù)，求AC的長；(2)已知BD是△ABC的中線，若△ABD的周長為10，求△BCD的周長．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）依據(jù)三角形三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”得7＜AC＜9，依據(jù)AC是整數(shù)得AC＝8；（2）依據(jù)BD是△ABC的中線得AD＝CD，依據(jù)△ABD的周長為17和AB＝1得AD+BD＝9，即可求解．（1）由題意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整數(shù)，∴AC＝8；（2）如圖所示：∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∵△ABD的周長為10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周長＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．【點睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、三角形的中線的定義，駕馭三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【變式11.1】（浙江·八年級期中）小明準(zhǔn)備用一段長30米的需包圍成一個三角形形態(tài)的小圈，用于飼養(yǎng)家兔，已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，其次條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米.（1）請用a表示第三條邊長（2）問第一條邊長可以為7米嗎？為什么？請說明理由.（3）求出a的取值范圍.（4）能否使得圍成的小圈是直角三角形形態(tài)，且各邊長均為整數(shù)？若能，說出你的圍法：若不能，請說明理由.【答案】（1）28-3a；（2）不能，理由見詳解；（3）133（4）能圍成，三邊長分別為5m，12m，13m．【分析】（1）本題需先表示出其次條邊長，即可得出第三條邊長；（2）本題需先依據(jù)a=7，求出三邊的長，依據(jù)三角形三邊關(guān)系進行推斷；（3）依據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式組，即可求出a的取值范圍；（4）由（3）得到a的值，然后即可得出三角形的三邊長．【詳解】解：（1）∵由題意可知，其次條邊長為2a+2米，∴第三條邊長為30-a-2a+2（2）不能．當(dāng)a=7時，三邊長分別為7，16，7，由于7+7<16，所以不能構(gòu)成三角形，即第一條邊長不能為7m；（3）由三角形隨意兩邊只和大于第三邊，隨意兩邊之差小于第三邊，結(jié)合題意，可得方程組：a+2a+2解得：13即a的取值范圍是133（4）能圍成．在（3）的條件下，a為整數(shù)時，a只能取5或6．當(dāng)a=5時，三角形的三邊長分別為5，12，13．由52當(dāng)a=6時，三角形的三邊長分別為6，14，10．由62綜上所述，能圍成滿足條件的小圈，它們的三邊長分別為5m，12m，13m．【點睛】本題主要考查了勾股定理、三角形三邊關(guān)系以及一元一次不等式組的應(yīng)用，在解題時依據(jù)三角形的三邊關(guān)系，列出不等式組是本題的關(guān)鍵．【變式11.2】（浙江杭州·八年級階段練習(xí)）已知ΔABC的三邊長分別為a，b，c，化簡a+b-c+【答案】2a.【分析】通過三角形的三邊關(guān)系可得a+b-c和b-a-c的符號，再去確定值解題即可.【詳解】由三角形三邊關(guān)系知，a+b>c，b-a<c，∴a+b-c+【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，及去確定值運算，解本題的關(guān)鍵是結(jié)合三邊關(guān)系來正確的去確定值.【變式11.3】（浙江杭州·八年級階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．【答案】∠DAE=5°，∠BOA=120°【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再依據(jù)角平分線定義可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度數(shù)；然后利用三角形外角性質(zhì)，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性質(zhì)，簡潔求出∠BOA．【詳解】解：如圖：∵∠CAB=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°-50°-60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°-90°-∠C=30°，∵AE、BF是角平分線，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，故∠DAE=5°，∠BOA=120°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角性質(zhì)．關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)解出∠EAF、∠CBF，再運用三角形外角性質(zhì)求出∠AFB．【變式11.4】（浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知∠BAC=70°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D．(1)求∠BDC的度數(shù)；(2)試比較DA+DB+DC與12【答案】(1)125°；(2)DA+DB+DC>12(AB+BC+AC【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，再由角平分線的定義求出∠CBD+∠BCD=55°，然后由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；（2）由三角形的三邊關(guān)系得：DA+DB>AB，DB+DC>BC，DA+DC>AC，則2(DA+DB+DC)>AB+BC+AC，即可得出結(jié)論．（1）解：∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∠ACD=∠BCD=12∠ACB，∴∠CBD+∠BCD=12(∠ABC+∠ACB)=12×110°=55°，∴∠BDC（2）解：DA+DB+DC>12(AB+BC+AC)，理由如下：在△ABD中，由三角形的三邊關(guān)系得：DA+DB>AB①，同理∶DB+DC>BC②，DA+DC>AC③，+②+③得∶2(DA+DB+DC)>AB+BC+AC，∴DA+DB+DC>12(AB+BC+【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的三邊關(guān)系以及角平分線的定義等學(xué)問；嫻熟駕馭三角形的三邊關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【考點12】與三角形有關(guān)高的計算問題【例12】（浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD，AF分別是△ABC的中線和高，BE是△ABD的角平分線．(1)若△ABC的面積為80，BD＝10，求AF的長；(2)若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大?。敬鸢浮?1)8(2)60°【分析】（1）利用面積法求解即可；（2）求出∠ABC，再依據(jù)∠BAF=90°-∠ABC求解即可．（1）解：∵AD是△ABC的中線，BD＝10，∴BC＝2BD＝1×10＝20，∵AF是△ABC的高，△ABC的面積為80，∴12BC?AF＝12×20?AF＝∴AF＝8；（2）解：在△ABE中，∠BED為它的一個外角，且∠BED＝40°，∠BAD＝25°，∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°，∵BE是△ABD的角平分線，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×15°＝30°，∵AF是△ABC的高，∴∠AFB＝90°．∴∠BAF＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、三角形面積、角平分線的定義，嫻熟駕馭基礎(chǔ)學(xué)問是解答本題的關(guān)鍵．【變式12.1】（浙江紹興·模擬預(yù)料）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線．（1）若∠B=30°,∠C=（2）若AD=3,BC=8,AB=6，求AB邊上的高．【答案】（1）10°；（2）4【分析】（1）先依據(jù)內(nèi)角和求得∠BAC=100°，∠DAC=40°，由AE是∠BAC的平分線知∠EAC=12∠BAC=50°（2）依據(jù)SΔABC【詳解】解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=100°，∠DAC=90°-∠ACB=40°，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠EAC=1∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=10°；（2）如圖，作AB邊上的高，垂足為F，∵S∴CF=AD·BC【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是駕馭三角形高線的定義．【變式12.2】（浙江寧波·八年級期中）如圖，在ΔABC中，∠C=60°，AD是高線，兩條角平分線AE和BF交于點O．（1）求∠EOF的度數(shù)．（2）若∠ABC=α度（α>60°），用含α的代數(shù)式表示∠EAD的度數(shù)．【答案】（1）120°；（2）1【分析】（1）由∠C已知，求出∠CAB+∠ABC的和，由AE，BF分別平分∠BAC和∠ABC，∠OBA+∠OAB=12(∠A∠EOF即可，（2）由∠C=60°，∠ABC=α，可求∠BAC，利用角平分線求∠BAE，由AD是高線．求∠DAB=90°-α，∠DAE=∠EAB-∠DAB即可．【詳解】解：（1）∵AE，BF分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠OBA+∠OAB=1∵∠OBA+∠OAB+∠AOB=180°，∴∠AOB=120°，∴∠EOF=120°，（2）∵∠C=60°，∠ABC=α，∴∠BAC=120°-α，∴∠BAE=1∵AD是高線．∴∠DAB=90°-α，∴∠DAE=∠EAB-∠DAB=1【點睛】本題考查兩角平分線的夾角以及角平分線與高的夾角問題，駕馭三角形的內(nèi)角和，以及角平分線的性質(zhì)，高線的性質(zhì)，會利用角的和差結(jié)合內(nèi)角和定理求角的和與差是解決問題的關(guān)鍵．【變式12.3】（浙江·八年級階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，中線AM可以將ΔABC分成兩個面積相等的三角形，即SΔABM(1)參考上述結(jié)論，請嘗試運用兩種不同的方法將圖中的四邊形ABCD分成4個面積相等的小三角形；(2)在四邊形ABCD的邊上找到一點E，使得線段AE將四邊形ABCD分為面積相等的兩部分.【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析.【分析】（1）可發(fā)覺四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱，所以連接AC可把四邊形ABCD的分為面積相等的兩個三角形，然后利用中線把三角形分為面積相等的兩部分作圖即可.（2）四邊形可看成是由△ABC和△ACD組成，所以四邊形的面積為S四邊形ABCD=SΔABC+【詳解】（1）如下圖：連接AC，分別連接B、D和AC的中點E，即把四邊形分為四個面積相等的小三角形，連接AC，分別連接A和BC、DC的中點F、G，即把四邊形分為四個面積相等的小三角形（2）如下圖在線段BC上找一點H，使BH=3【點睛】本題考查三角形中線，三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分.（1）中能得出AC把四邊形ABCD分為面積相等的兩部分是解題關(guān)鍵；（2）中能利用面積得出H點的位置是解題關(guān)鍵.【考點13】三角形的主要線段有關(guān)大題【例13】（浙江杭州·八年級階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，AE是邊BC上的高線．（1）若AD是BC邊上的中線，AE=3cm，SΔABC（2）若AD是∠BAC的平分線，∠B=40°，∠C=50°，求∠DAE的大?。敬鸢浮浚?）CD＝4cm；（2）5°【分析】（1）依據(jù)三角形的面積公式計算三角形的底邊BC，再依據(jù)三角形中線的性質(zhì)進行求解;（2）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算∠BAC和∠EAC，再依據(jù)角平分線的定義計算出∠DAC,最終依據(jù)角的和差關(guān)系進行計算求解即可.【詳解】解：（1）∵AD，AE分別是邊BC上的中線和高，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，∴S△ADC＝6cm2，∴12×AE×CD∴12×3×CD＝6，解得：CD＝4（c（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝45°又AE是邊BC上的高∴∠EAC＝40°，∴∠DAE＝45°－40°＝5°.【點睛】本題主要考查三角形中線，角平分線，高，解決本題的關(guān)鍵是要嫻熟駕馭三角形中重要線段的性質(zhì).【變式13.1】（浙江紹興·八年級期中）按要求畫出圖形(作圖工具不限)：(只需畫出圖形即可，標(biāo)上字母)(1)畫出△ABC的中線AD．(2)畫出△ABC的角平分線CE.(3)畫出△ABC的高線BF.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.【分析】（1）找到BC中點D，連接AD，即為所求;（2）作出∠BCA的角平分線，進而得出答案;（3）延長CA,過點B作BF⊥AC即可.【詳解】解：如圖所示：【點睛】本題考查了困難作圖，正確駕馭鈍角三角形高線作法是解題關(guān)鍵．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把困難作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式13.2】（浙江臺州·八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC．（1）利用尺規(guī)作圖作邊BC的高AD，垂足為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：BD=CD．（3）假如三角形的周長是22，一邊長為5，求它的另外兩邊長．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）8.5.【分析】（1）分別以B、C為圓心，大于BC的長為半徑畫圓，在三角形內(nèi)部交點為E，連接AE并延長交BC于點D即為所求；（2）證明三角形ABD與三角形ADC全等即可；（3）分類探討：①AB=5,則AC=AB=5,BC=22-AC-AB=22-5-5=12，三角形要滿足兩邊之和大于第三邊,此時AB+AC<BC，不符舍去；②BC=5，則【詳解】（1）如圖，分別以B、C為圓心，大于BC的長為半徑畫圓，在三角形內(nèi)部交點為E，連接AE并延長交BC于點D即為所求；（2）證明：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°在△ABD與△ACD中，∵AB=AC，AD=AD∴△ABD≌△ACD（HL），∴BD=CD．（3）分類探討：①AB=5,則AC=AB=5,BC=22-AC-AB=22-5-5=12，三角形要滿足兩邊之和大于第三邊,此時AB+AC<BC，不符舍去；②BC=5，則【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，靈敏運用等腰三角形的性質(zhì)和分類探討的思想是解題的關(guān)鍵.【考點14】三角形的有關(guān)角的計算問題【例14】（浙江·八年級專題練習(xí)）【概念相識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰BA三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點D，則∠BDC的度數(shù)為________；（2）如圖③，在△ABC中，BP，CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰CB三分線，且∠BPC＝135°，求∠A的度數(shù)；【延長推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的鄰BC三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P．若∠A＝m°，∠B＝60°，干脆寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m的代數(shù)式表示）【答案】（1）85°；（2）45°；（3）13m°【分析】（1）依據(jù)∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點D，依據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得∠BDC的度數(shù)；（2）依據(jù)BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB=135°，進而可求∠A（3）依據(jù)∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P,當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時；當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時,再依據(jù)∠A=m°，∠B=60°，依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可求出∠BPC的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點D，∠ABC＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠A＝70°，∴∠BDC＝70°+15°＝85°，故答案為：85°；（2）∵BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，∴∠PBC＝13∠ABC，∠PCB＝13∠∵∠BPC＝135°，∴13∠ABC+13∠∴∠ABC+∠ACB＝135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；（3）如圖，當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時，∵∠CBP＝13∠ABC，∠PCD＝13∠ACD，∠PCD＝∠P+∠∴13∠ACD＝∠P+13∠即∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝13∠A＝13如圖，當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時，∵∠CBP＝13∠ABC，∠PCD＝23∠ACD，∠PCD＝∠P+∠∴23∠ACD＝∠P+13∠即2∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝23∠A+13∠ABC＝2綜上所述：∠BPC的度數(shù)為：13m°或【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是駕馭并靈敏運用三角形的外角性質(zhì)，留意要分狀況探討．【變式14.1】（浙江·臺州市書生中學(xué)八年級開學(xué)考試）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請干脆寫出∠A、（2）細致視察，在圖2中“8字形”的個數(shù)___________個；（3）假如圖2中，若∠D=40°,∠B=36°，試求∠P的度數(shù)（4）假如圖2中，∠D和∠B為隨意角，其他條件不變，試問∠P與∠D,∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（干脆寫出結(jié)論即可）【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）38°；（4）2∠P＝∠D＋∠B【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理與對頂角相等可得結(jié)論；（2）由交