第十七章 勾股定理 單元講義 2023-2024學年人教版八年級數(shù)學下冊

勾股定理單元學習講義知識網(wǎng)絡一、勾股定理（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．（2）需要熟記的勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù)．常用勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9，40，41。二、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c滿足：a2+b2=c2，則這個三角形是直角三角形．（2）應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為；（2）驗證：與是否具有相等關系：

若，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形；

若時，△ABC是銳角三角形；

若時，△ABC是鈍角三角形．（3）勾股定理的證明：方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形：方法二:將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形：S正方形EFGH=c方法三：“總統(tǒng)”法.如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形：S梯形ABCD=(a+b)(a+b)三、勾股定理的實際運用(1)已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；(2)用于解決帶有平方關系的證明問題；(3)與勾股定理有關的面積計算；(4)勾股定理在實際生活中的應用．題型一與勾股定理有關的證明1．若三角形的三邊長a,b,c滿足(a-b)2=c2-2ab,則這個三角形的形狀是().A．等邊三角形B．鈍角三角形C．等腰三角形D．直角三角形2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于()答案：A

A．AC2B．BD2C．BC2D．DE23.如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M為AB上一點．求證：．答案：過點C作CD⊥AB于D．∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD．∵∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝DB．∴在Rt△CDM中，，∴．4.已知△ABC中，AB＝AC，D為BC上任一點，求證：.【答案】解：如圖，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝CM,則在Rt△ABM中：……①在Rt△ADM中：……②由①－②得：＝（MC＋DM）?BD＝CD·BD題型二與勾股定理有關的線段長1．如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為（）答案：DA．3B．4C．5D．62.如圖，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分線.已知AB=5，AD=3，則BC的長為（）答案：CA．5B．6C．8D．103.已知：如圖1-1-12,在四邊形ABCD中,∠BAD=90°,∠DBC=90°,AD=3,AB=4,BC=12,求CD的長.答案：CD=134．小明想知道學校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米,當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高是()答案：AA．12米B．10米C．8米D．6米5．若直角三角形的三邊長分別為2，4，，則的值可能有()答案：BA．1個B．2個C．3個 D．4個6.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長等于()答案：DA．2 B． C． D．題型三與勾股定理有關的面積計算1.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積．答案：在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，設BD=x，則CD=14﹣x，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S△ABC=BC?AD=×14×12=84．如圖1-1-13,圖中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,大正方形的邊長為9cm,則正方形A,B,C,D的面積的和是____81_____cm2.3.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周長．答案：在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得．∴．同理．∴．①當∠ACB＞90°時，BC＝BD－CD＝9－5＝4．∴△ABC的周長為：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32．②當∠ACB＜90°時，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．∴△ABC的周長為：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．綜上所述：△ABC的周長為32或42．4.如圖1-2-4所示,有這樣一塊地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求這塊地的面積.答案：如圖1-2-4,連接AC.在Rt△ADC中,由勾股定理,得AC2=AD2+CD2,即AC2=122+92,所以AC=15m.在△ABC中,由AC2+BC2=152+362=392,即AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形.所以這塊地的面積S=S△ABC-S△ADC=0.5×15×36-0.5×12×9=216(m2).所以這塊地的面積為216m2.5.如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）答案：DA．6B．5C．11D．16題型四利用勾股定理解決實際問題1．有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．答案：門高7.5尺，竹竿高8.5尺．2.如圖1-1-16,已知兩棵樹之間的水平距離為8米,兩棵樹的高度分別是10米、4米,一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂,則這只小鳥至少要飛多少米？答案：10米3.如圖所示，一旗桿在離地面5處斷裂，旗桿頂部落在離底部12處，則旗桿折斷前有多高？【答案】18m4.如圖是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：mm），計算兩圓孔中心A和B的距離為150mm．5．如圖，有兩棵樹，一棵高8，另一棵高2，兩樹相距8，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少要飛__10____．6.我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問