高中數(shù)學選擇性必修二課件：4 3 2 第3課時 數(shù)列的綜合應(yīng)用(人教A版)

第3課時數(shù)列的綜合應(yīng)用第四章4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式1.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題.2.進一步熟悉通過建立數(shù)列模型并應(yīng)用數(shù)列模型解決實際問題的

過程.學習目標一位中國老太太與一位美國老太太在路上相遇.美國老太太說，她住了一輩子的寬敞房子，也辛苦了一輩子，昨天剛還清了銀行的住房貸款，而中國老太太卻嘆息地說，她三代同堂一輩子，昨天剛把買房的錢攢足.我國現(xiàn)代都市人的消費觀念正在改變——花明天的錢圓今天的夢對我們已不再陌生，貸款購物，分期付款已深入我們的生活.但是面對商家和銀行提供的各種分期付款服務(wù)，究竟選擇什么樣的方式好呢？讓我們一起進入今天的學習吧！導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用二、數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用內(nèi)容索引一、數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用例1

小華準備購買一部售價為5000元的手機，采用分期付款方式，并在一年內(nèi)將款全部付清.商家提出的付款方式為：購買2個月后第1次付款，再過2個月后第2次付款，…，購買12個月后第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計算，求小華每期付款金額是多少.(參考數(shù)據(jù)：1.00812≈1.10)解設(shè)小華每期付款x元，第k個月末付款后的欠款本利為Ak元，則：A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，…，A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，故小華每期付款金額約為883.5元.反思感悟(1)解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學模型.(2)一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學模型.(3)注意問題是求什么(n，an，Sn).注意：①解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答.②在歸納或求通項公式時，一定要將項數(shù)n計算準確.③在數(shù)列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關(guān)系.④在近似計算時，要注意應(yīng)用對數(shù)方法，且要看清題中對近似程度的要求.解設(shè)第n年的旅游業(yè)收入估計為an萬元，則a1＝400，(2)試估計大約從第幾年開始，旅游業(yè)的總收入超過8000萬元.∴大約從第9年開始，旅游業(yè)總收入超過8000萬元.二、數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用例2

如圖所示，作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去，前n個內(nèi)切圓的面積和為___________.例2

如圖所示，作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去，前n個內(nèi)切圓的面積和為___________.解析設(shè)第n個正三角形的內(nèi)切圓的半徑為an，設(shè)前n個內(nèi)切圓的面積和為Sn，反思感悟此類幾何問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決，要注意步驟的規(guī)范性.跟蹤訓(xùn)練2

侏羅紀蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上，設(shè)外圍第一個正方形的邊長是m，有人說，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長度也是無限的增大，那么，試問，侏羅紀蜘蛛網(wǎng)的長度真的是無限長的嗎？設(shè)侏羅紀蜘蛛網(wǎng)的長度為Sn，則√解析由題意，從外到內(nèi)正方形的邊長依次為a1＝m，1.知識清單：(1)數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用.(2)數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用.2.方法歸納：構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：在實際問題中首項和項數(shù)弄錯.課堂小結(jié)隨堂演練1.河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫，現(xiàn)為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計算，從第二層開始，每層浮雕像個數(shù)依次是下層個數(shù)的2倍，該洞窟浮雕像總共有1016個，則第5層浮雕像的個數(shù)為A.64 B.128 C.224 D.5121234√解析設(shè)最下層的浮雕像的數(shù)量為a1，解得a1＝8，則an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，所以a5＝27＝128.12342.公元前5世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時烏龜便領(lǐng)先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜領(lǐng)先他10米；當阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜仍然領(lǐng)先他1米……所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10－2米時，烏龜爬行的總距離為√1234解析由題意知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列{an}，12343.小李年初向銀行貸款M萬元用于購房，購房貸款的年利率為p，按復(fù)利計算，并從借款后次年年初開始歸還，分10次等額還清，每年1次，問每年應(yīng)還√1234解析設(shè)每年應(yīng)還x萬元，則x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝M(1＋p)10，選B.12344.將n個大小不同的正方體形狀的積木從上到下，從小到大堆成塔狀，平放在桌面上.上面一個正方體積木下底面的四個頂點正好是它下面一個正方體積木的上底面各邊的中點，按此規(guī)律不斷堆放.如果最下面的正方體積木的棱長為1，且這些正方體積木露在外面的面積之和為Sn，則Sn＝______.1234解析最底層正方體的棱長為1，則該正方體的除底面外的表面積為5×12＝5；1234則它們的表面積為課時對點練基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析森林中原有木材量為a，一年后為a(1＋25%)，兩年后為a(1＋25%)2，…，五年后為a(1＋25%)5.2.某地為了保持水土資源實行退耕還林，如果2018年退耕a萬畝，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕A.10a(1.18－1)萬畝 B.a(1.18－1)萬畝C.10a(1.17－1)萬畝 D.a(1.17－1)萬畝123456789101112131415√16解析記2018年為第一年，第n年退耕an萬畝，則{an}為等比數(shù)列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，則問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列{an}的前8項和，12345678910111213141516所以到2025年一共退耕10a(1.18－1)萬畝.123456789101112131415163.有一套叢書共6冊，計劃2018年出版第一冊，每兩年出版一冊，那么出版齊這套叢書的年份是A.2022 B.2024 C.2026 D.2028√12345678910111213141516解析因為2018年出版第一冊，每兩年出版一冊，所以2020年出版第二冊；2022年出版第三冊；2024年出版第四冊；2026年出版第五冊；2028年出版第六冊；即出版齊這套叢書的年份是2028年，故選D.123456789101112131415164.觀察一列算式：1

1,1

2,2

1,1

3,2

2,3

1,1

4,2

3,3

2,4

1，…，則式子3

5是第A.22項 B.23項 C.24項 D.25項√解析兩數(shù)和為2的有1個，和為3的有2個，和為4的有3個，和為5的有4個，和為6的有5個，和為7的有6個，前面共有21個，3

5為和為8的第3項，故3

5是第24項.故選C.123456789101112131415165.我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，設(shè)平均每年的增長率為x，則有A.(1＋x)19＝4 B.(1＋x)20＝3C.(1＋x)20＝2 D.(1＋x)20＝4√解析設(shè)1997年總產(chǎn)值為1，由于我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，說明2017年的工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值是1997年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的4倍，則(1＋x)20＝4.123456789101112131415166.一同學在電腦中打出如下若干個圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圈，那么在前120個圈中的●的個數(shù)是A.12 B.13 C.14 D.15√12345678910111213141516解析從左到右，第一個●位于2的位置，第二個●位于2＋3＝5的位置，第三個●位于5＋4＝9的位置，….設(shè)第n個●位于an的位置，由規(guī)律可知an＝an－1＋n＋1，則an＝an－1＋n＋1＝an－2＋n＋n＋1＝…＝a1＋3＋4＋…＋n＋1所以前120個圈中的●個數(shù)為14，故選C.123456789101112131415167.某廠去年的產(chǎn)值記為1.若計劃在今后五年內(nèi)每年的產(chǎn)值比上年增長10%，則從今年起到第五年這五年內(nèi)，這個廠的總產(chǎn)值約為_____.(保留一位小數(shù)，取1.15≈1.6)6.612345678910111213141516解析由題意可知，第一年要比上年增長10%，那么第一年產(chǎn)值就是1＋10%＝1.1，第二年又比第一年增加10%，所以第二年產(chǎn)值是1.12，…，以此類推，第五年產(chǎn)值是1.15，123456789101112131415168.農(nóng)民收入由工資收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2015年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為13150元(其中工資收入為7800元，其他收入為5350元).預(yù)計該地區(qū)自2016年起的6年內(nèi)，農(nóng)民的工資收入將以每年6%的年增長率增長，其他收入每年增加160元.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入約為_______元.(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42)17386解析農(nóng)民人均收入來源于兩部分，一是工資收入為7800×(1＋6%)6＝7800×1.066≈11076(元),二是其他收入為5350＋6×160＝6310(元)，因此，2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為11076＋6310＝17386(元).123456789101112131415169.如圖，將數(shù)列{2n}(n∈N*)依次從左到右，從上到下排成三角形數(shù)陣，其中第n行有n個數(shù).

2

……第1行4

6

……第2行8

10

12

……第3行14

16

18

20

……第4行…

…(1)求第5行的第2個數(shù)；12345678910111213141516解記an＝2n，由數(shù)陣可知，第5行的第2個數(shù)為a12.因為an＝2n，所以第5行的第2個數(shù)為24.12345678910111213141516(2)問數(shù)32在第幾行第幾個；解因為an＝32，所以n＝16.由數(shù)陣可知，32在第6行第1個數(shù).12345678910111213141516解由數(shù)陣可知a1,1＝2，a2,2＝6，a3,3＝12，a4,4＝20，a5,5＝30，a6,6＝42.1234567891011121314151610.首屆世界低碳經(jīng)濟大會11月17日在南昌召開，本屆大會的主題為“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”.某企業(yè)在國家科研部門的支持下，投資810萬元生產(chǎn)并經(jīng)營共享單車，第一年維護費為10萬元，以后每年增加20萬元，每年收入租金300萬元.(1)若扣除投資和各種維護費，則從第幾年開始獲取純利潤？12345678910111213141516解設(shè)第n年獲取利潤為y萬元，n年共收入租金300n萬元，付出維護費用構(gòu)成一個以10為首項，20為公差的等差數(shù)列，因此利潤y＝300n－(810＋10n2)，令y>0，解得3<n<27.所以從第4年開始獲取純利潤.12345678910111213141516(2)若干年后企業(yè)為了投資其他項目，有兩種處理方案：①純利潤總和最大時，以100萬元轉(zhuǎn)讓經(jīng)營權(quán)；②年平均利潤最大時以460萬元轉(zhuǎn)讓經(jīng)營權(quán)，問哪種方案更優(yōu)？12345678910111213141516解方案①：純利潤y＝300n－(810＋10n2)＝－10(n－15)2＋1440，所以15年后共獲利潤：1440＋100＝1540(萬元).所以9年后共獲利潤：120×9＋460＝1540(萬元).綜上，兩種方案獲利一樣多，而方案②時間比較短，所以選擇方案②.123456789101112131415綜合運用1611.《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”.如：已知A，B，C三人分配獎金的衰分比為20%，若A分得資金1000元，則B，C所分得資金分別為800元和640元.某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功，共獲得單位獎勵68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配資金，且甲與丙共獲得資金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的資金分別為A.20%,14580元 B.10%,14580元C.20%,10800元 D.10%,10800元√12345678910111213141516解析設(shè)“衰分比”為q，甲獲得的獎金為a1，則a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68780.a1＋a1(1－q)2＝36200，解得q＝0.1，a1＝20000，故a1(1－q)3＝14580.1234567891011121314151612.2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項目.規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項目.2016年該項目的凈收入為5百萬元，并預(yù)測在相當長的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長50%.記2016年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(n∈N*)年的累計利潤(注：含第n年，累計利潤＝累計凈收入－累計投入，單位：千萬元)，且當f(n)為正值時，認為該項目贏利.根據(jù)預(yù)測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利A.2020 B.2021 C.2022 D.2023√12345678910111213141516解析由題意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累計投入為8＋2(n－1)＝(2n＋6)千萬元，12345678910111213141516∵f(n＋1)－f(n)∴當n≤3時，f(n＋1)－f(n)＜0，故當n<4時，f(n)單調(diào)遞減；當n≥4時，f(n＋1)－f(n)＞0，故當n≥4時，f(n)單調(diào)遞增.∴該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利.該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利.13.某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設(shè)備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設(shè)備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實驗室比第二實驗室的設(shè)備費用高42萬元，第七實驗室比第四實驗室的設(shè)備費用高168萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過1700萬元.則該研究所改建這十個實驗室投入的總費用最多需要A.3233萬元 B.4706萬元C.4709萬元 D.4808萬元12345678910111213141516√解析設(shè)每個實驗室的裝修費用為x萬元，設(shè)備費為an萬元(n＝1，2，3，…，10)，12345678910111213141516故a10＝a1q9＝1536.依題意x＋1536≤1700，即x≤164.1234567891011121314151614.在下列表格中，每格填上一個數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則a＋b＋c的值為1

2

0.5

1

a

b

cA.1 B.2 C.3 D.4√12345678910111213141516拓廣探究1234567891011121314151615.程先生買了一套總價為80萬元的住房，首付30萬元，其余50萬元向銀行申請貸款，貸款月利率為0.5%，從貸款后的第一個月后開始還款，每月還款數(shù)額相等，30年還清.問程先生每月應(yīng)還款________元(精確到0.01元).(參考數(shù)據(jù)1.005360≈6.0226)(注：如果上個月欠銀行貸款a元，則一個月后，程先生應(yīng)還給銀行固定數(shù)額x元，此時貸款余額為[a(1＋0.5)%－x]元)2997.7512345678910111213141516解析設(shè)程先生在第n個月時還欠銀行貸款an萬元，每月固定還款x萬元，則an＝an－1(1＋0.5%)－x，a0＝50，an＋k＝1.005(an－1＋k)，an＝1.005an－1＋0.005k.所以k＝－200x，{an－200x}是公比為1.005的等比數(shù)列，即an－200x＝(a0－200x)·1.005n.由a360＝0得0－200x＝(50－200x)·1.005360.利用計算器可以求得x＝0.299775，即每月還款2997.75元.123