新高考高中數學核心知識點全透視專題14.4等比數列及其求和(專題訓練卷)(原卷版+解析)

專題14.4等比數列及其求和（專題訓練卷）一、單選題1．（2023·全國高二單元測試）在由正數組成的等比數列中，若，則的值為（）A．2 B．4 C．8 D．162．（2023·全國高二單元測試）等比數列中，若，，則（）A．12 B．10 C．8 D．43．（2023·全國高二單元測試）數列中，“對任意且都成立”是“是等比數列”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.（2023·全國高考真題（文））已知各項均為正數的等比數列的前4項和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．25．（2023·江西九江一中高二月考（理））已知等比數列的各項均為正數，若，則（）A．4 B．3 C．2 D．86.（2023·全國高考真題（文））設是等比數列，且，，則（）A．12 B．24 C．30 D．327.（2023·自貢市第十四中學校高一期中）等比數列的前n項和為，已知，則（）A． B． C． D．8．（2023·全國高二單元測試）設等比數列的公比為，前項和為.若，，且，，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．（2023·大埔縣虎山中學高三月考）已知等差數列的前項和為，若，，則（）A．若，則數列的前2020項和為4040 B．數列是公比為8的等比數列C． D．若，則數列的前2020項和為10.（2023·全國高三專題練習）在公比q為整數的等比數列中，是數列的前n項和，若，，則下列說法正確的是（）A． B．C．數列是等比數列 D．數列是公差為2的等差數列11.（2023·江蘇姑蘇·蘇州中學高二月考）在公比為等比數列中，為其前項和，若，，則下列說法正確的是（）A． B．數列是等差數列C．數列是等比數列 D．數列是等比數列12.（2023·全國高二單元測試）已知數列滿足，數列的前n項和為，則下列結論正確的是（）A．的值為2B．數列的通項公式為C．數列為遞減數列D．三、填空題13．（2023·廣西南寧·高三模擬預測（文））已知各項均為正項的等比數列，公比，則_______．14．（2023·全國高二單元測試）已知在各項均為正的數列中，，，，則___________.16．（2023·北京東城·東直門中學高二月考）已知數列{an}滿足a4+a7＝2，a5a6＝﹣8，若{an}是等差數列，則a1a10＝_________；若{an}是等比數列，則a1+a10＝_________.四、解答題17.（2023·海原縣第一中學高二月考（理））已知公差不為0的等差數列的前n項和為，且成等比數列，當n為何值時，取得最大值為多少？18．（2023·全國高二單元測試）已知數列的前項和為，且，.（1）求，，的值；（2）求的通項公式.19．（2023·江西九江一中高二月考（理））已知數列為各項均為正數的等比數列，若，．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和．20．（2023·全國高二單元測試）已知數列的前項和.（1）求數列的通項公式；（2）若數列是等比數列，公比為，且滿足，，求數列的前項和.21.（2023·江蘇省蘇州第十中學校高二月考）已知等差數列滿足，前項和．（1）求的通項公式；（2）設等比數列滿足，，數列的通項公式．22．（2023·全國高二單元測試）某工廠去年12月試生產1050個高新電子產品，產品合格率為90%，從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產這款產品.若1月按照去年12月的產量和產品合格率生產，以后每月的產量都在前一個月的基礎上提高5%，產品合格率比前一個月增加0.4%，那么生產該產品一年后，每月不合格品的數量能否控制在100個以內？（參考數據：，，，）專題14.4等比數列及其求和（專題訓練卷）一、單選題1．（2023·全國高二單元測試）在由正數組成的等比數列中，若，則的值為（）A．2 B．4 C．8 D．16答案：C分析：根據給定條件結合等比數列性質可得，再把所求的式子用等比數列性質化成用表示即可得解.【詳解】因數列是正數組成的等比數列，則，所以.故選：C2．（2023·全國高二單元測試）等比數列中，若，，則（）A．12 B．10 C．8 D．4答案：D分析：設等比數列的公比為，由，求得公比即可.【詳解】設等比數列的公比為，則，解得，即，所以，故選：D.3．（2023·全國高二單元測試）數列中，“對任意且都成立”是“是等比數列”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A分析：利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】易知“是等比數列”能推出“對任意且都成立”.當時，若，滿足，此時不是等比數列.故“對任意且都成立”是“是等比數列”的必要不充分條件，故選：A.4.（2023·全國高考真題（文））已知各項均為正數的等比數列的前4項和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．2答案：C【解析】設正數的等比數列{an}的公比為，則，解得，，故選C．5．（2023·江西九江一中高二月考（理））已知等比數列的各項均為正數，若，則（）A．4 B．3 C．2 D．8答案：A分析：根據給定條件，利用等比數列的性質變形即可計算作答.【詳解】在等比數列中，，則，依題意，，而的各項均為正數，于是得，所以.故選：A6.（2023·全國高考真題（文））設是等比數列，且，，則（）A．12 B．24 C．30 D．32答案：D【解析】設等比數列的公比為，則，，因此，.故選：D.7.（2023·自貢市第十四中學校高一期中）等比數列的前n項和為，已知，則（）A． B． C． D．答案：A【解析】設公比為q,則，選A.8．（2023·全國高二單元測試）設等比數列的公比為，前項和為.若，，且，，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B分析：先利用條件求出公比的值，然后利用等比數列求和公式以及可求出正整數的值.【詳解】因為，所以，得到，因為，所以.由，得，又，所以，因為，則，所以，解得，故選：B二、多選題9．（2023·大埔縣虎山中學高三月考）已知等差數列的前項和為，若，，則（）A．若，則數列的前2020項和為4040 B．數列是公比為8的等比數列C． D．若，則數列的前2020項和為答案：AD分析：由分組求和可判斷A;由等比數列的定義可判斷B；由等差數列的性質可判斷C；由裂項相消可判斷D【詳解】等差數列的前項和為，若，，設的公差為，則有，解得，，故，若，則的前2020項，故A正確；由，得，令，則當時，，則數列是公比為的等比數列，故B錯誤；由等差數列的性質可知，故C錯誤；若，則的前2020項和，故D正確，故選：AD.10.（2023·全國高三專題練習）在公比q為整數的等比數列中，是數列的前n項和，若，，則下列說法正確的是（）A． B．C．數列是等比數列 D．數列是公差為2的等差數列答案：AC分析：先求出以及可判斷A；然后通過等比數列求和公式即可判斷B；求出利用等比數列定義判斷C；求出用等差數列的定義判斷D；【詳解】∵，，且公比q為整數，∴，，∴，或（舍去），故A正確；，∴，故B錯誤；，，，故數列是等比數列，故C正確；∵，∴，，故數列是公差為的等差數列，故D錯誤.故選：AC.11.（2023·江蘇姑蘇·蘇州中學高二月考）在公比為等比數列中，為其前項和，若，，則下列說法正確的是（）A． B．數列是等差數列C．數列是等比數列 D．數列是等比數列答案：ABC分析：根據給定條件求出數列的通項公式及前項和，再逐一分析各選項判斷作答.【詳解】因為等比數列的公比，又，則，而，解得，A正確；前項和，則，數列是等差數列，B正確；又，則，有，數列是等比數列，C正確；因，則，顯然不是常數，數列不是等比數列，D不正確.故選：ABC12.（2023·全國高二單元測試）已知數列滿足，數列的前n項和為，則下列結論正確的是（）A．的值為2B．數列的通項公式為C．數列為遞減數列D．答案：ACD分析：對于A，令直接求解，對于B，當時，，然后與已知的式子相減可求出，對于C，利用進行判斷，對于D，利用錯位相減法求解即可【詳解】當時，，∴，∴A正確；當時，，∴，∴，∵上式對也成立，∴（），∴B錯誤；∵，∴數列為遞減數列，∴C正確；∵，∴，兩式相減得，∴，∴．∴D正確．故選：ACD．三、填空題13．（2023·廣西南寧·高三模擬預測（文））已知各項均為正項的等比數列，公比，則_______．答案：20分析：由條件結合等比下標性質可得，再利用通項公式可得結果.【詳解】由是等比數列，得，解得或（舍），所以．故答案為：2014．（2023·全國高二單元測試）已知在各項均為正的數列中，，，，則___________.答案：分析：由，得到，進而得到數列的奇數項和偶數項分別構成等比數列求解.【詳解】因為，，所以數列的奇數項構成首項為1，公比為2的等比數列，偶數項構成首項為2，公比為2的等比數列，所以.故答案為：16．（2023·北京東城·東直門中學高二月考）已知數列{an}滿足a4+a7＝2，a5a6＝﹣8，若{an}是等差數列，則a1a10＝_________；若{an}是等比數列，則a1+a10＝_________.答案：﹣728﹣7分析：答題空1：利用等差數列性質求出和a6的值，從而得到數列的公差，然后求出a1和a10即可求解；答題空2：利用等比數列的性質求出a4和a7的值，從而得到數列的公比，然后求出a1和a10即可求解.【詳解】若{an}是等差數列，則a4+a7＝a5+a6＝2，又a5a6＝﹣8，所以a5和a6為的兩根，解得，或當，時，公差，易得，，，故；當，時，公差，易得，，，故；若{an}是等比數列，設其公比為，則a5a6＝a4a7＝﹣8，又a4+a7＝2，所以a4和a7為的兩根，解得，或，當，時，則，故，，即；當，時，則，故，，即.故答案為：﹣728；﹣7.四、解答題17.（2023·海原縣第一中學高二月考（理））已知公差不為0的等差數列的前n項和為，且成等比數列，當n為何值時，取得最大值為多少？答案：或5，最大值為5．分析：設等差數列的公差為，根據等比中項性質求得公差，再利用等差數列的求和公式和二次函數的性質可求得其最值.【詳解】解：設等差數列的公差為，∵成等比數列，∴，即，則，∴，所以當或5時，取得最大值．最大值為5．18．（2023·全國高二單元測試）已知數列的前項和為，且，.（1）求，，的值；（2）求的通項公式.答案：（1），，；（2）.分析：（1）根據和計算可得結果；（2）當時，利用兩式相減法求出通項，再驗證首項是否滿足即可得解.【詳解】（1）∵，，∴，，.（2）當時，，可得，∴.當時，，不滿足上式.∴.19．（2023·江西九江一中高二月考（理））已知數列為各項均為正數的等比數列，若，．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和．答案：（1）；（2）．分析：（1）設公比為q，根據，求出公比和，即可得出答案；（2）求出數列的通項，再利用裂項相消求和法即可得出答案.【詳解】解：（1）設公比為q，因為數列為各項均為正數的等比數列，且，所以，，，解得（舍去），所以；（2），所以.20．（2023·全國高二單元測試）已知數列的前項和.（1）求數列的通項公式；（2）若數列是等比數列，公比為，且滿足，，求數列的前項和.答案：（1）；（2）.分析：（1）利用可求得數列的通項公式；（2）求出等比數列的首項和公比，利用等比數列的求和公式可求得的表達式.【詳解】（1）因為數列的前項和，當時，，又當時，滿足上式，所以，；（2）由（1）可知，，，又，，又數列是等比數列，，又，所以，，則，因此，.21.（2023·江蘇省蘇州第十中學校高二月考）已知等差數列滿足，前項和．（1）求的通項公式；（2）設等比數列滿足，，數列的通項公式．答案：（1）；（2）或分析：（1）設等差數列的公差為，根據已知條件列關于和的方程組，解方程求得和的值，即可求解；（2）等比數列的公比為，由等比數列的通項公式列方程組，解方程求得和的值，即可求解；【詳解】（1）設等差數列的公差為，由題意可得：，解得：，所以；（2）等比數列的公比為，由題意可得：，解得或，所以或，所以數列的通項公式為：或.22．（2023·全國高二單元測試）某工廠去年12月試生產1050個高新電子產品，產品合格率為90%，從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產這款產品.若1月按照去年12月的產量和產品合格率生產，以后每月的產量都在前一個月的基礎上提高5%，產品合格率比前一個月增加0.4%，那么生產該產品一年后，每月不