高中數(shù)學選擇性必修3課件：6 3 1 二項式定理(人教A版)

6.3二項式定理6.3.1二項式定理1.能用多項式乘法運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.課標要求素養(yǎng)要求通過學習二項式定理的有關內容，提升邏輯推理素養(yǎng)及數(shù)學運算素養(yǎng).課前預習課堂互動分層訓練內容索引課前預習知識探究1二項式定理及其相關概念點睛1.二項展開式的特點(1)展開式共有n＋1項；(2)各項的次數(shù)和都等于二項式的冪指數(shù)n；(3)字母a的冪指數(shù)按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到為0，字母b的冪指數(shù)按升冪排列，從第一項開始，次數(shù)由0逐項加1直到為n.點睛1.思考辨析，判斷正誤 (1)(a＋b)n的展開式中共有n項.(

)

提示

(a＋b)n的展開式中共有n＋1項. (2)在公式中，交換a，b的順序對各項沒有影響.(

)

提示

交換a，b的順序各項都發(fā)生變化.××(4)(a－b)n與(a＋b)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同.(

)×√A.－10 B.10 C.－5 D.5DA.－10 B.10 C.－5 D.5DA.80 B.－80 C.40 D.－40C4.設S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，則S等于__________.x3解析S＝[(x－1)＋1]3＝x3.課堂互動題型剖析2題型一二項式定理的正用、逆用44(1)(a＋b)n的二項展開式有n＋1項，是和的形式，各項的冪指數(shù)規(guī)律是：①各項的次數(shù)和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項起，次數(shù)由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由0逐項加1直到n.(2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏.思維升華【訓練1】

化簡：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.題型二二項展開式通項的應用解由已知得二項展開式的通項為令9－2k＝3，得k＝3，即展開式中第4項含x3，【遷移1】

(變設問)本例問題(1)條件不變，問題改為“求展開式中的常數(shù)項”.【遷移2】

(變設問)本例問題(1)條件不變，問題改為“求展開式中的有理項的項數(shù)”，該如何求解？所以k可取0，2，4，6，所以展開式中有理項的項數(shù)為4.

思維升華(1)求展開式的第4項的二項式系數(shù)；(2)求展開式的第4項的系數(shù)；(3)求展開式的第4項.【例3】

(1)試求199510除以8的余數(shù)；

解199510＝(8×249＋3)10. ∵其展開式中除末項為310外，其余的各項均含有8這個因數(shù)， ∴199510除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同.

又∵310＝95＝(8＋1)5，其展開式中除末項為1外，其余的各項均含有8這個因數(shù)， ∴310除以8的余數(shù)為1，即199510除以8的余數(shù)也為1.題型三余數(shù)和整除的問題(2)求證：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.證明

32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9①式中的每一項都含有82這個因數(shù)，故原式能被64整除.利用二項式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉化形式與除數(shù)有密切的關系.思維升華【訓練3】已知n∈N*，求證：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.顯然括號內的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除.1.牢記3個知識點 (1)二項式定理；(2)二項式系數(shù)；(3)二項式定理的通項公式.2.掌握3種方法 (1)運用二項式定理的解題方法； (2)求二項展開式的特定項的常用方法； (3)利用二項式定理解決求余數(shù)和整除問題的方法.3.注意1個易錯點

注意項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.

課堂小結分層訓練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.(x＋2)n的展開式共有12項，則n等于(

) A.9 B.10 C.11 D.8C解析∵(a＋b)n的展開式共有n＋1項，而(x＋2)n的展開式共有12項，∴n＝11.2.(1－i)10(i為虛數(shù)單位)的二項展開式中第7項為(

) A.－210 B.210 C.－120i D.－210iAA.60 B.－60 C.250 D.－250AA.56x3 B.84x3 C.56x4 D.84x4BA.6 B.12 C.24 D.48C二、填空題6.若(x＋a)10的展開式中x7的系數(shù)為15，則a＝________.－359136三、解答題由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2.(1)求n的值；化簡得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23，因為n<15，所以n＝14.(2)寫出它展開式中的所有有理項.展開式中的有理項當且僅當k是6的倍數(shù)，又0≤k≤14，所以展開式中的有理項共3項，分別是：A.存在n∈N*，使展開式中有常數(shù)項B.對任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項C.對任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項D.存在n∈N*，使展開式中有x的一次項AD8313.(1)求證：2n＋2·3n＋5n－4能被25整除(n∈N*)；以上各項均為25的整數(shù)倍，故得證.(2)求證：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n為大于1的偶數(shù)).因為n為大于1的偶數(shù)，所以1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除.(1)求x的整數(shù)次冪的項；又0≤k≤8，所以當k＝0，6時，x的指數(shù)為整數(shù).所以x的整數(shù)次冪的項有x12，28x.(2)展開式中第幾項的二項式系數(shù)大于相鄰兩項的二項式系數(shù)，并證明你的結論.解

由(1)知展開式共有9項，展開式第5項的二項式系數(shù)大于相鄰兩項的二項式系數(shù).故有展開式中第5項的二項式系數(shù)大于相鄰兩項的二項式系數(shù).備用工具&資料又0≤k≤8，所以當k＝0，6時，x的指數(shù)為整數(shù).所以x的整數(shù)次冪的項有x12，28x.(2)求證：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n為大于1的偶數(shù)).因為n為大于1的偶數(shù)，所以1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除.4.設S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，則S等于__________.x3解析S＝[(x－1)＋1]3＝x3.點睛1.二項展開式的特點(1)展開式共有n＋1項；(2)各項的次數(shù)和都等于二項式的冪指數(shù)n；(3)字母a的冪指數(shù)按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到為0，字母b的冪指數(shù)按升冪排列，從第一項開始，次數(shù)由0逐項加1直到為n.1.思考辨析，判斷正誤 (1)(a＋b)n的展