北京市順義區(qū)第一中學(xué)2024屆高三下學(xué)期高考考前適應(yīng)性檢測(cè) 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2024屆順義一中考前適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù)且周期為 B．為奇函數(shù)且在上有最小值C．為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減 D．為奇函數(shù)且為一個(gè)對(duì)稱中心5．設(shè)M是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O足坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（

）A．5 B．4 C．3 D．26．“角與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱”是“”的（

）A．充分必要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件7．風(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時(shí)期，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風(fēng)箏起源.如圖，是某高一年級(jí)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體ABCEF，D為AB的中點(diǎn)，四邊形EFDC為矩形，且，，，當(dāng)時(shí)，多面體ABCEF的體積為（

）

A． B． C． D．8．如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，若的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．9．設(shè)，，.若，，則最大值為（

）A．2 B． C．1 D．10．利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決新問題是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目的，同學(xué)們利用我們所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，探究函數(shù)，，則下列命題不正確的是（

）A．有且只有一個(gè)極值點(diǎn) B．在上單調(diào)逆增C．存在實(shí)數(shù)，使得 D．有最小值二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11．已知函數(shù)，則.12．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）13．命題：若是等比數(shù)列，則前n項(xiàng)和不存在最大值和最小值.寫出一組說明此命題為假命題的首項(xiàng)和公比14．為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，則與的夾角大小為，若，則的最小值為.15．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，曲線：.①曲線經(jīng)過原點(diǎn)且關(guān)于對(duì)稱；②當(dāng)直線l與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值范圍為；③當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值共有4個(gè)④存在定點(diǎn)Q，使得過Q的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)都不可能為2以上說法正確的是三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知．(1)求角B的大??；(2)若；從以下3個(gè)條件中選擇1個(gè)作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求△ABC的面積.條件①：；條件②：；條件③：.17．習(xí)近平總書記高度重視體育運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，將體育與國(guó)家發(fā)展、民族振興緊密聯(lián)系在一起，多次強(qiáng)調(diào)體育“是實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的重要內(nèi)容”“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”，為了響應(yīng)總書記的號(hào)召，某中學(xué)組織全體學(xué)生開展了豐富多彩的體育實(shí)踐活動(dòng).為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘），得到下表：時(shí)間人數(shù)類別性別男51213898女69101064學(xué)段初中10高中41312754(1)從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的概率；(2)從該校參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求其中至少有1名初中學(xué)生的概率；(3)假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)記為，初中、高中學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為，，試比較與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）18．如圖在幾何體ABCDFE中，底面ABCD為菱形，，，，.(1)判斷AD是否平行于平面CEF，并證明；(2)若面面；求：（?。┢矫媾c平面CEF所成角的大??；（ⅱ）求點(diǎn)A到平面CEF的距離.19．已知橢圓：的左頂點(diǎn)為，上下頂點(diǎn)為，，離心率為.(1)求橢圓的方程(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，不與頂點(diǎn)重合，滿足四邊形是平行四邊形，過點(diǎn)作垂直軸的直線交直線于點(diǎn)，再過作垂直于軸的直線交直線于點(diǎn).求證：，，三點(diǎn)共線.20．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在極小值；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).21．若無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)．且對(duì)于，，都存在，使得，則稱數(shù)列滿足性質(zhì)P．(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)P，并說明理由．①，，2，3，…；②，，2，3，…．(2)若數(shù)列滿足性質(zhì)P，且，求證：集合為無限集；(3)若周期數(shù)列滿足性質(zhì)P，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．1．B【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)交集運(yùn)算法則求.【詳解】不等式的解集為，所以，又，所以，故選：B.2．D【分析】首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求共軛復(fù)數(shù).【詳解】，則.故選：D3．A【分析】求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差為，因此，.故選：A.4．C【分析】由二倍角公式得，再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，函?shù)為偶函數(shù)且周期為，在上單調(diào)遞減.所以，ABD選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確.故選：C5．B【分析】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，分析出為等邊三角形，求出，即可得解.【詳解】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)?，軸，則，由拋物線的定義可得，所以為等邊三角形，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，易知，，則.故選：B.6．A【分析】根據(jù)終邊關(guān)于對(duì)稱，得兩角的關(guān)系，再由，得兩角滿足的關(guān)系，根據(jù)充分必要條件的定義即可求解.【詳解】角與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱,則,,則，“角與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱”是“”的充分必要條件.故選:A7．A【分析】根據(jù)題意，先證得平面，在中，解三角形求得，再結(jié)合線面垂直判定定理證得平面，得到，設(shè)，利用，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】在中，因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，在中，因?yàn)榍?，所以，且，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，可得，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)，在直角中，可得，在直角中，可得，因?yàn)?，所以，即，解得，所以多面體的體積.故選：A.8．C【分析】利用待定系數(shù)法可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為：，因?yàn)殡x心率，故半焦距，故，而雙曲線過，故，解得，故雙曲線的方程為：，故選：C.9．C【分析】先利用指、對(duì)數(shù)的關(guān)系利用表示，再利用基本不等式求最大值.【詳解】∵，，，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).∴的最大值為1.故選：C.10．C【分析】由條件可得函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，然后求導(dǎo)判斷其單調(diào)性與極值，即可得到結(jié)果.【詳解】由得，令，則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，，由得，列表如下：0由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時(shí)，取得極小值（最小值），所以在上單調(diào)遞增，即B正確；在時(shí)，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是找到已知函數(shù)的同構(gòu)函數(shù)，由此即可順利得解.11．7【分析】根據(jù)解析式代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：712．【分析】先由二項(xiàng)式定理求出的展開式的通項(xiàng)公式，再求出常數(shù)項(xiàng)即可．【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為：，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：13．1（答案不唯一）2（答案不唯一）【分析】由原命題為假命題可得其否定為真命題，即存在最大值或最小值，由此確定首項(xiàng)和公比.【詳解】因?yàn)槊}“若是等比數(shù)列，則前n項(xiàng)和不存在最大值和最小值”為假命題，所以可得“若是等比數(shù)列，則前n項(xiàng)和存在最大值或最小值”，因?yàn)橹恍璐_定滿足條件的一組取值，故不妨先考慮，條件下是否存在，若，則，當(dāng)時(shí)，則隨的增大而增大，此時(shí)有最小值，滿足條件，當(dāng)時(shí)，則隨的增大而減小，此時(shí)有最大值，滿足條件，若，則，當(dāng)時(shí)，若，則隨的增大而增大，此時(shí)有最小值，滿足條件，當(dāng)時(shí)，若，則隨的增大而減小，此時(shí)有最大值，滿足條件，故可取，，故答案為：1，2（答案不唯一）14．##【分析】根據(jù)平面向量夾角的定義直接得出結(jié)果；根據(jù)題意可知E為AC的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得，結(jié)合平面向量夾角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，如圖，由為等比三角形，得，所以；因?yàn)?，所以點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則，又，所以，，又，所以，所以.故答案為：；.15．①②④【分析】將點(diǎn)分別代入曲線的方程即可判斷①；將曲線方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的方程，結(jié)合圖像利用直線和圓的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即可判斷②③④.【詳解】對(duì)于①，將點(diǎn)分別代入曲線的方程，得，，所以曲線關(guān)于對(duì)稱，將代入曲線的方程得，所以曲線經(jīng)過原點(diǎn)，所以曲線經(jīng)過原點(diǎn)且關(guān)于對(duì)稱，故①正確；由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以，為圓心，為半徑的兩個(gè)圓，如圖所示，設(shè)過點(diǎn)A且與圓N相切的直線方程為，則點(diǎn)N到該直線的距離，解得，，即圖中直線AC的斜率為1，直線AD的斜率為，直線AO的斜率為，直線AC的方程為，點(diǎn)M到直線AC的距離，則直線AC與圓M相切于點(diǎn)B，設(shè)過點(diǎn)A且與圓M相切的直線方程為，則點(diǎn)M到該直線的距離，解得，，由圖可知，當(dāng)直線l與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值范圍為，故②正確；由圖可知，直線AO與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，直線AD與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)也為3，直線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，所以當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值共有3個(gè)，故③錯(cuò)誤；因?yàn)檫^原點(diǎn)O的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1或3，所以存在定點(diǎn)Q（Q與O重合），使得過Q的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)都不可能為2，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將曲線方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的方程，是解決本題的關(guān)鍵.16．(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用正弦定理化邊為角并化簡(jiǎn)可得，再利用的范圍可得答案；（2）若選條件①，由余弦定理解得，因不滿足唯一性，舍去；若選條件②，利用平方關(guān)系得，再由兩角和的正弦公式可得，由正弦定理解得，再由三角形面積公式可得答案；若選條件③，由面積公式可得答案.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，又所以，因?yàn)?，所以，所以，故，因?yàn)椋?（2）若選條件①：由已知可得，，，由余弦定理得，解得，因?yàn)榇鸢覆晃ㄒ唬陨崛?若選條件②：由已知可得，；由（1），因?yàn)?，故，，所以，由正弦定理得，解得，則的面積為.若選條件③：由已知可得，，由（1），則的面積為.17．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)條件概率公式求解即可；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解即可；（3）補(bǔ)全初中段的人數(shù)表格，再分別計(jì)算，即可得解.【詳解】（1）女生共有人，記事件A為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，女生被抽到”，事件B為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，參加體育活動(dòng)時(shí)間在”，由題意可知，，因此，所以從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育活動(dòng)時(shí)間在的概率為.（2）時(shí)間在的學(xué)生有人，活動(dòng)時(shí)間在的初中學(xué)生有人，記事件C為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，抽到初中學(xué)生”，事件D為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，由題意知，事件C，D相互獨(dú)立，且,所以至少有1名初中學(xué)生的概率；（3）根據(jù)男女生人數(shù)先補(bǔ)全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù)：時(shí)間人數(shù)類別性別男51213898女69101064學(xué)段初中781111108高中41312754初中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，高中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，又，，，可得由.18．(1)與平面不平行，證明見解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）取中點(diǎn)，證明，假設(shè)平面，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理證明，推出矛盾，可得結(jié)論；（2）（i）證明線線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解平面與平面的角，（ii）利用向量方法求點(diǎn)到平面距離.【詳解】（1）不平行于平面，理由如下：取中點(diǎn)，因?yàn)?，所以則四邊形為平行四邊形，所以，又，所以不平行于，假設(shè)平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面所以，與不平行于矛盾，所以假設(shè)不成立，即不平行于平面；（2）取中點(diǎn)，連接因?yàn)榱庑?，所以為正三角形，又為中點(diǎn)，所以，由于，所以，又面面，面面，面所以面，因?yàn)槊?，所以又因?yàn)?，面，所以面，而面，所以，所以如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則（i）因?yàn)槊?，所以為平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，因?yàn)樗?，令，設(shè)平面與平面所成角為，所以，則即平面與平面所成角大小為；（ii）因?yàn)?，由（i）知平面的一個(gè)法向量為所以點(diǎn)到平面的距離為.19．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得，，根據(jù)即可求解；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立其與橢圓方程可得，坐標(biāo)，將的縱坐標(biāo)代入直線的方程中可得的坐標(biāo)，將的橫坐標(biāo)代入的方程可得的坐標(biāo)，求，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓：的左頂點(diǎn)為，所以，又，所以，所以，所以橢圓的方程為；（2）由（1）知，，設(shè)：，，，聯(lián)立方程，可得，解得或，所以，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危蓹E圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，直線的方程為，把代入可得，所以，把代入可得，所以過，的直線的斜率為，所以過，的直線的斜率，所以，，三點(diǎn)共線.20．(1)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.（2）討論函數(shù)在區(qū)間和上的符號(hào)即可推理作答.（3）在時(shí)，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再探討在上的零點(diǎn)情況即可作答.【詳解】（1）由函數(shù)求導(dǎo)得：，所以，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知，，因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，，，所以，有，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，，，，則有，函數(shù)在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極小值.（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，，顯然是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的解，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，，，所以，有，在，上都遞減，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上遞增，在上遞減，，所以，，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減，取值集合為，在上遞減，取值集合為，所以，當(dāng)或時(shí)，方程有唯一解，當(dāng)或時(shí)，此方程無解，所以，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.21．(1)數(shù)列不滿足性質(zhì)P；數(shù)列滿足性質(zhì)P，理由見解析(2)證明見解析(3)或．【分析】（