2024遼寧中考數(shù)學二輪中考考點研究 6.2 點、直線與圓的位置關系 (課件)

第二節(jié)點、直線與圓的位置關系

遼寧近年中考真題精選1

考點精講2

重難點分層練3遼寧近年中考真題精選1命題點與切線性質有關的證明與計算1.(2020沈陽22題10分)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點O為BC邊上一點，以點O為圓心，OB長為半徑的圓與邊AB相交于點D，連接DC，當DC為⊙O的切線時．(1)求證：DC＝AC；第1題圖(1)證明：如解圖，連接OD.∵DC與⊙O相切，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠ADC＝∠A，∴DC＝AC；第1題圖(2)若DC＝DB，⊙O的半徑為1，請直接寫出DC的長為________．【解法提示】∵OB＝OD，∴∠DOC＝∠B＋∠ODB＝2∠B，∵DC＝DB，∴∠B＝∠OCD，∵∠ODC＝90°，∴∠COD＋∠OCD＝90°，∴3∠OCD＝90°，∴∠OCD＝30°，∵OD＝1，∴DC＝

.第1題圖2.如圖，BE是⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C.(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度數(shù)；第2題圖解：(1)如解圖，連接OA，∵AC為⊙O的切線，OA是⊙O半徑，∴∠OAC＝90°，∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°；(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半徑的長．第2題圖(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C，∵∠OAC＝90°，∴∠AOC＋∠C＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∵∠OAC＝90°，∴OA＝

OC，設⊙O的半徑為r，∵CE＝2，∴r＝

(r＋2)，解得r＝2，∴⊙O半徑的長為2.3.如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，直線MN與⊙O相切于點C，過點B作BD⊥MN于點D.(1)求證：∠ABC＝∠CBD；第3題圖(1)證明：如解圖，連接OC，∵MN與⊙O相切于點C，∴OC⊥MN.∵BD⊥MN，∴OC∥BD.∴∠CBD＝∠BCO.又∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC.∴∠ABC＝∠CBD；(2)若BC＝4，CD＝4，則⊙O的半徑是________．【解法提示】如解圖，連接AC，第3題圖在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，∴BD＝＝8.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠ACB＝∠CDB＝90°.∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD.∴

，即

.∴AB＝10.∴⊙O的半徑是5.54.如圖，CB為⊙O的切線，點B為切點，CO的延長線交⊙O于點A，若∠A＝25°，則∠C的度數(shù)是(

)

A.25°

B.30°C.35°

D.40°遼寧其他地市真題第4題圖D5.如圖，以△ABC的邊AC為直徑的⊙O交AB邊于點M，交BC邊于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延長線于點P，∠BCP＝∠BAN.(1)求證：△ABC為等腰三角形；第5題圖證明：(1)∵AC為⊙O的直徑，∴∠ANC＝∠ANB＝90°.∴∠BAN＋∠ABN＝90°.∵CP是⊙O的切線，∴∠ACN＋∠BCP＝90°.又∵∠BCP＝∠BAN，∴∠ACN＝∠ABN.∴AC＝AB.∴△ABC為等腰三角形；(2)求證：AM·CP＝AN·CB.第5題圖(2)如解圖，連接MN，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠CBP＝∠AMN，又∵∠BAN＝∠BCP，∴△AMN∽△CBP，∴

，即AM·CP＝AN·CB.2命題點與切線判定有關的證明與計算6.(2021本溪遼陽葫蘆島24題12分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延長CA到點D，以AD為直徑作⊙O，交BA的延長線于點E，延長BC到點F，使BF＝EF.(1)求證：EF是⊙O的切線；第6題圖第6題圖(1)證明：如解圖，連接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA＋∠BEF＝∠BAC＋∠B＝90°，∴EF⊥OE，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；(2)若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的長．(2)解：如解圖，連接DE，第6題圖∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC－AC＝5，∵AD＝2OA，∴AD＝10.∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED＝90°，∴Rt△ADE中，DE＝6，∴cos∠DAE＝

，∵在Rt△ABC中，cos∠BAC＝

，∵∠BAC＝∠DAE，∴

，∴AB＝5，∴BE＝AB＋AE＝5＋8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，第6題圖∵∠OED＋∠OEA＝90°，∠FEB＋∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴

，∴

，∴BF＝

.第6題圖7.(2021撫順鐵嶺24題12分)如圖，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝

，

連接AC，BC,過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，DA與BO的延長線相交于點E，DO與AC相交于點F.(1)求證：DE是⊙O的切線；第7題圖(1)證明：如解圖，連接OC，∵∠AOB＝120°，

＝

，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠AOC＝∠OCB，∴OA∥BC，∵AD⊥BC，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；第7題圖(2)若⊙O的半徑為2，求線段DF的長．(2)解：由(1)知△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OA＝2，∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠E＝30°，第7題圖第7題圖∵DE是⊙O的切線，∴∠OAE＝90°，∴OE＝2OA＝4，AE＝2，∴BE＝6，∴BD＝

BE＝3，DE＝3，∴CD＝BD－BC＝3－2＝1，AD＝DE－AE＝3－2＝，∴OD＝，∵OA∥BC，∴△CDF∽△AOF，∴.∴DF＝

OD＝

.8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O、D分別為AB、BC的中點，連接OD，作⊙O，使⊙O與AC相切于點E，在AC邊上取一點F，使DF＝DO，連接DF.(1)判斷直線DF與⊙O的位置關系，并說明理由；第8題圖解：(1)DF與⊙O相切，理由：如解圖，過點O作OG⊥DF于點G，連接OE，∟∟G∵O、D分別是AB、BC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∴∠ODF＝∠DFC，又∵∠OGD＝∠C＝90°，OD＝DF，∴△DOG≌△FDC,∴OG＝DC,第8題圖∟∟G∵AC是⊙O的切線，∴∠OEC＝∠C＝∠CDO＝90°，∴四邊形DCEO是矩形，∴DC＝OE，∴OG＝OE，即OG為⊙O的半徑，又∵OG⊥DF，∴DF與⊙O相切；第8題圖∟∟G(2)當∠A＝30°，CF＝

時，求⊙O的半徑．第8題圖∟∟G(2)設⊙O的半徑為r，則BD＝DC＝OE＝OG＝r，∵在Rt△BOD中，∠BOD＝∠A＝30°，∴OD＝r，∵△DOG≌△FDC，∴DG＝CF＝，∵在Rt△DOG中，由勾股定理得：OG2＋DG2＝OD2，∴r2＋()2＝(r)2，解得r＝1(負值已舍去)，即⊙O的半徑為1.9.(2021沈陽22題10分)如圖，AB是⊙O的直徑，AD與⊙O交于點A，點E是半徑OA上一點(點E不與點O，A重合)．連接DE交⊙O于點C，連接CA，CB.若CA＝CD，∠ABC＝∠D.(1)求證：AD是⊙O的切線；(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠ABC＋∠BAC＝90°.∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D.又∵∠ABC＝∠D，∴∠CAD＝∠ABC.∴∠CAD＋∠BAC＝90°.∴OA⊥AD.∵OA是半徑，∴AD是⊙O的切線．第9題圖(2)若AB＝13，CA＝CD＝5，則AD的長是________．【解法提示】方法一：∵在Rt△ADE中，AC＝CD＝5，∴CE＝5，DE＝10.Rt△ABC中，AC＝5，AB＝13，∴BC＝12.∵∠B＝∠D，∠ACB＝∠EAD，∴△ACB∽△EAD.∴，即

.∴AD＝

.第9題圖方法二：如解圖，過點C作CM⊥AD于M，第9題圖∴∠CMD＝90°＝∠ACB.又∵∠ABC＝∠D，∴△BCA∽△DMC，∴

.Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC2＋BC2＝AB2，BC＝12，∴

.∴DM＝

.又∵CD＝CA，CM⊥AD，∴AD＝2DM＝

.(2)解：∟M10.(2020鐵嶺葫蘆島24題12分)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC是直徑，AB＝BC，連接BD，過點D的直線與CA的延長線相交于點E，且∠EDA＝∠ACD.(1)求證：直線DE是⊙O的切線；第10題圖∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.(1)證明：如解圖①，連接OD，∵∠ADE＝∠ACD，∴∠ADE＝∠ODC，∴∠ADE＋∠ADO＝∠ODC＋∠ADO，∴∠ODE＝90°.∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；第10題圖(2)若AD＝6，CD＝8，求BD的長．(2)解：如解圖②，過A作AF⊥BD于點F，第10題圖∟F∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝10.∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°.∴AB＝BC＝

AC＝5，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠ADB＝∠BCA＝45°.∵∠AFD＝90°，∴DF＝AF＝

AD＝3.在Rt△ABF中，BF＝＝4，∴BD＝DF＋BF＝7.11.(2022葫蘆島24題12分)如圖，點M是矩形ABCD的邊AD延長線上一點，以AM為直徑的⊙O交矩形對角線AC于點F，在線段CD上取一點E，連接EF，使EC＝EF.(1)求證：EF是⊙O的切線；第11題圖(1)證明：如解圖，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＋∠DCA＝90°.∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC.∵OA＝OF，∴∠CAD＝∠OFA.∴∠EFC＋∠OFA＝90°.∴∠EFO＝180°－90°＝90°.∴EF⊥OF.又∵OF為⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；第11題圖(2)若cos∠CAD＝

，AF＝6，MD＝2，求FC的長．(2)解：如解圖，連接MF，第11題圖∵AM是⊙O的直徑，∴∠AFM＝90°.在Rt△AFM中，cos∠CAD＝

，又∵AF＝6，∴

.∴AM＝10.∵MD＝2，∴AD＝8.在Rt△ADC中，cos∠CAD＝

，∴

，∴AC＝

，∴FC＝

－6＝

.12.(2023本溪24題12分)如圖，點P為正方形ABCD的對角線AC上的一點，連接BP并延長交CD于點E，交AD的延長線于點F，⊙O是△DEF的外接圓，連接DP.(1)求證：DP是⊙O的切線；第12題圖(1)證明：如解圖，連接OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DCP＝∠BCP.又∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP(SAS)．∴∠CDP＝∠CBP.∵∠FDE＝∠BCD＝90°，∴EF為⊙O的直徑，∴OD＝OE.∴∠ODE＝∠OED.又∵∠CEP＝∠OED，∴∠CEP＝∠ODE.∵∠BEC＋∠CBE＝90°，∴∠ODE＋∠CDP＝90°.即∠ODP＝90°，∴OD⊥DP，又∵OD為⊙O的半徑，∴DP是⊙O的切線；第12題圖(2)若tan∠PDC＝

，正方形ABCD的邊長為4，求⊙O的半徑和線段OP的長．第12題圖(2)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC.∴∠F＝∠CBP.又∵∠CDP＝∠CBP，∴∠F＝∠CDP＝∠CBP.∴tanF＝tan∠CDP＝tan∠CBP＝

.∴

.∴EC＝

BC＝

×4＝2.∴DE＝DC－EC＝4－2＝2.∴DF＝2DE＝2×2＝4.在Rt△DEF中，EF＝，∴OE＝

EF＝.即⊙O的半徑為.∵DC∥AB，∴△CEP∽△ABP.∴

.∴EP＝

BE＝

×2＝

.∴OP＝OE＋EP＝＋

＝

.在Rt△CEB中，EB＝，第12題圖13.(2020遼寧22題12分)如圖，BC是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，AD交OC于點E，連接AB，CD，過點E作EF⊥AB，垂足為F，∠AEF＝∠D.(1)求證：AD⊥BC；第13題圖(1)證明：∵∠AEF＝∠D，∠D＝∠B,EF⊥AB，∴∠AEF＋∠BAD＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°，∴∠AEB

＝90°，∴AD⊥BC；(2)點G在BC的延長線上，連接AG，∠DAG＝2∠D.①求證：AG與⊙O相切；第13題圖(2)①證明：如解圖，連接OA.∵∠DAG＝2∠D，∠AOC＝2∠D，∴∠DAG＝∠AOC.由(1)知，AD⊥BC，∴∠AOC＋∠OAE＝90°，∴∠DAG＋∠OAE＝90°，∴OA⊥AG.∵AO是⊙O的半徑，∴AG是⊙O的切線，即AG與⊙O相切；②當

，CE＝4時，直接寫出CG的長．【解法提示】如解圖，連接AC，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∴EF∥AC，∴△BEF∽△BCA，∴

，解得BE＝10.∴OE＝

BC－EC＝3.

第13題圖在Rt△AEO中，AE＝.由①知，∠AOC＝∠DAG，∠AEO＝∠CEA＝90°，∴△OEA∽△AEG，∴

，解得EG＝

，∴CG＝EG－EC＝

.第13題圖遼寧其他地市真題14.(2021營口22題12分)如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D為⊙O上的兩點，且

＝

，連接AC，BD交于點E，⊙O的切線AF與BD延長線相交于點F，A為切點．(1)求證：AF＝AE；第14題圖(1)證明：∵

＝

，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CBD＋∠CEB＝90°，∵⊙O的切線AF與BD延長線相交于點F，∴∠FAB＝90°，∴∠F＋∠ABD＝90°，∴∠CEB＝∠F

，∵∠AEF＝∠CEB，∴∠AEF＝∠F，∴AF＝AE；第14題圖(2)若AB＝8，BC＝2，求AF的長．第14題圖(2)解：∵AB＝8，BC＝2，∠ACB＝90°，∴AC＝，∵∠CBD＝∠ABD，∠ACB＝∠FAB＝90°，∴△BCE∽△BAF，∴

，∴設AF＝AE＝x，則

，解得x＝

，∴AF＝

.15.(2021朝陽22題8分)如圖，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，且∠AOD＝90°，點C是⊙O外一點，分別連接CA，CB，CD，CA交⊙O于點M，交OD于點N，CB的延長線交⊙O于點E，連接AD，ME，且∠ACD＝∠E.(1)求證：CD是⊙O的切線；第15題圖(1)證明：∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠BAM，∴∠ACD＝∠BAM，∴AB∥CD，∵∠AOD＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；第15題圖(2)連接DM，若⊙O的半徑為6，tanE＝

，求DM的長．(2)解：∵∠E＝∠BAM，∴tanE＝tan∠BAM＝

，在Rt△AON中，∠AON＝90°，OA＝6，∴

＝

，∴ON＝2，DN＝4，∴AN＝，第15題圖在Rt△AOD中，AD＝，∵OA＝OD，∴∠ADN＝45°，又∵∠AMD＝

∠AOD＝45°，∴∠ADN＝∠AMD，∵∠DAN＝∠MAD，∴△ADN∽△AMD，∴

＝

，∴

，∴DM＝

.第15題圖點、直線與圓的位置關系點與圓的位置關系點在圓外點在圓上點在圓內直線與圓的位置關系相離相切相交切線的性質與判定性質判定切線長三角形的內切圓定義角度關系內切圓的圓心性質考點精講【對接教材】北師：九下第三章P66、P89～P96；人教：九上第二十四章P92～P103.點與圓的位置關系（設⊙O的半徑為r，點到圓心的距離為d）點在圓外?d>r點在圓上?d

r點在圓內?d＜r

直線與圓的位置關系（設⊙O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d）位置關系相離相切相交d與r的關系d

rd

rd

r交點的個數(shù)______1______示意圖＝＞＝<02切線的性質與判定性質1.圓的切線

于過切點的半徑（或直徑）2.切線到圓心的距離等于圓的_________

1.過半徑外端且

于半徑的直線是圓的切線2.和圓只有

公共點的直線是圓的切線3.如果圓心到直線的距離等于圓的

，那么這條直線是圓的切線判定切線長定義：過圓外一點畫圓的切線，這點和切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長,*（選學）定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分,兩條切線的夾角垂直半徑垂直一個半徑三角形的內切圓定義：與三角形三邊都相切的圓（如圖）內切圓的圓心：三角形三個內角的

的交點性質：三角形的內心到三角形三條邊的距離___________角度關系：∠BOC＝90°＋∠A

相等角平分線重難點分層練例1在△ABC中，AO是BC邊上的中線．已知AB＝AC＝10，BC＝16，以點O為圓心，r為半徑作圓．(1)若r＝4.8，則點A與⊙O的位置關系是________，直線AB與⊙O的位置關系是________；(2)若r＝8，則點A與⊙O的位置關系是________，點B與⊙O的位置關系是________，直線AB與⊙O的位置關系是________．一題多設問回顧必備知識點在圓外相切點在圓內點在圓上相交提升關鍵能力例2如圖①，已知AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于D，連接BD，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E，OE交AD于點F.(1)求證：DE是⊙O的切線；一題多設問例2題圖①(1)證明：如解圖①，連接OD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵AE⊥DE，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；例2題圖①(2)求證：∠ADE＝∠ABD；例2題圖①(2)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∴∠ADE＝∠ABD；(3)若DE＝4，弦AC的長是6，求⊙O的半徑；(3)解：如解圖，過點O作ON⊥AC交AC于點N，連接OD，例2題圖①N∟則AN＝CN＝

AC＝3，∵∠ODE＝∠DEN＝∠ONE＝90°，∴四邊形ODEN是矩形，∴ON＝DE＝4；在Rt△AON中，AN＝3，ON＝4，∴OA＝5，即⊙O的半徑為5；(4)若CE＝1，BD＝2，求∠BAC的度數(shù)；(4)解：如解圖，過點D作DM⊥AB于點M，連接CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE＝DM.在Rt△DAE和Rt△DAM中，

∴Rt△DAE≌Rt△DAM(HL)，∴AE＝AM.例2題圖①M∟∵∠EAD＝∠MAD，∴

＝

，∴CD＝BD＝2.在Rt△DEC和Rt△DMB中，

∴Rt△DEC≌Rt△DMB(HL)，∴CE＝BM＝1，∴在Rt△DMB中，BD＝2BM，∴∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°；例