人教版高中數(shù)學(xué)選修（1-2）-2.1.1類比推理

選修1-2

2.1.1類比推理（陳昌杰）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)

通過對類比推理的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠進(jìn)行簡單的類比推理，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）2.1.1.1了解類比推理的含義；

（2）2.1.1.2能利用類比進(jìn)行簡單的推理.

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

了解類比推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡單的推理.

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

類比推理本質(zhì)的理解，以及如何進(jìn)行類比推理.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1

閱讀教材P22—P29

思考：什么是推理？什么是合情推理？

任務(wù)2

什么是類比推理？類比推理有何特點(diǎn)？類比推理有什么作用？

2.預(yù)習(xí)自測

L下列說法中正確的是（）

A.合情推理就是正確的推理

B.合情推理就是歸納推理

C.歸納推理是從一般到特殊的推理過程

D.類比推理是從特殊到特殊的推理過程

答案：D

2.下列推理正確的是（）

A.把a(bǔ)(O+c)與lg(x+y)類比，則lg(x+y)=lgx+lgy

B.把a(bǔ)(O+c)與sin(x+y)類比，貝Usin(x+y)=sin%+siny

C.把a(bǔ)(O+c)與爐+＞類比，則戶+〉=〃+/

D.把a(bǔ)(O+c)與a(8+c)類比，則a(J)-\-c)=ab+ac

答案：D由向量的運(yùn)算性質(zhì)知，a-S+c)=al+a-c正確.答案為D

3.立體幾何中與平面幾何中的三角形做類比對象的是()

A.三棱柱

B.三棱臺

C.三棱錐

D.正方體

答案：C

4.類比平面內(nèi)止三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出止四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)

為比較恰當(dāng)?shù)氖?)

①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等；

②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；

③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等.

A.①

B.③

C.①②

D.①②③

答案：D

(二)課堂設(shè)計(jì)

現(xiàn)代起重機(jī)的掛鉤起源于許多動物的爪子

問題探究一類比推理引例

1.仿生學(xué)中許多發(fā)明的最初構(gòu)想都是類比生物機(jī)制得到的.

2.有個(gè)人的母親，篤信佛，一天到晚念“南無阿彌陀佛”.于是有一天，這個(gè)人一早起來便喊:

“媽！”母親答應(yīng)了他.過一會他又喊：“媽！”母親又答應(yīng)了他.可這個(gè)人還是沒完沒了地喊.

母親終于被喊煩了，便沒好氣地說：“不在！不在！你煩不煩？”這個(gè)人笑著說：“我才喊

了您幾聲，您就不高興了.那阿彌陀佛每天不知被您喊多少遍，不知他該怎樣發(fā)脾氣呢！”

提問：這還是歸納推理嗎？（類比推理.讓學(xué)生對照歸納推理的特點(diǎn)作出判斷）.

3.火星存在生命嗎？這是一個(gè)憑空的推斷還是科學(xué)猜想？

e地球火星

行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)

有大氣層有大氣層

在一年中有季節(jié)的變更在一年中有季節(jié)的變更

大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物

溫度適合生物的生存

的生存

有生命存在猜想：可能有生命存在

提問：你能說說這些問題中用到的推理方法的含義嗎？

問題探究二類比推理的含義

?活動一什么是類比推理？

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些

特征的推理，稱為類比推理（簡稱類比）.

?活動二類比推理的特點(diǎn)

1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認(rèn)識為

基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果.

2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.

3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠，單它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.

?活動三如何進(jìn)行類比推理？

一般步驟：

（1）找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

（2）用一類對象的特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個(gè)猜想；

（3）檢驗(yàn)這個(gè)猜想.（結(jié)論未必正確）

問題探究三重點(diǎn)難點(diǎn)突破

(1)常見類型：

①由等差數(shù)列的某些性質(zhì)類比到等比數(shù)列的某些性質(zhì)；

②由平面圖形的某些性質(zhì)類比到空間立體圖形的某些性質(zhì)；解決時(shí)要從數(shù)目、位置關(guān)系、

度量等方面入手.

(2)常用類比對象：線一線、面，面一面、體，三角形一四面體，圓一球，邊長一邊長、面

積，面積一體積，線線角一面面角等.

?活動一由平面圖形的某些性質(zhì)類比到空間立體圖形的某些性質(zhì)

例1：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.

222

猜想：5ABe2=SOAB+SAOC+SOBC

點(diǎn)拔：由三角形向四體的類比，可以實(shí)現(xiàn)由平面向空間的類比,線向面的類比，發(fā)現(xiàn)新

結(jié)論.在直角三角形中有勾股定理，在空間中有沒有類似的結(jié)論呢?

111

例2.在△ABC中，AB±AC,于。，求證:AD2~^B^+AC2'

在四面體A—BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.

【知識點(diǎn)：類比推理，猜想與證明】

詳解：如圖右所示，在Rt^ABC中，由射影定理得AD2=BDDC,AB1=BDBC,AC2

=BCDC,

.11BC?BC?

"AD2-BDDC—BCBDDCBC—AB2-AC2'

yL,：BC2=AB2+AC2,

.1-32+3_11

**AD1-AB2AC2-AC7'

猜想：類比A5，AC,ADLBC,猜想在四面體A—BCD中，AB,AC,AD兩兩垂直,

AE1^BCDE,則＜=4+二+-1V.

AE'AB2AC2AD2

如上圖，連接BE交CD于F,連接AR

'：AB±AC,ABLAD,.?.AB,平面ACD.

：ARu平面ACD,：.AB±AF.

在放△A5R中，AE±BF,

.=+

AE2AB2AF2'

在R3ACD中,AF±CD,

.J_=J_J_

AF2AC2+AD2'

.1_111

AE7-AC?+AD2'

?活動二由平面圖形中的圓某些性質(zhì)類比到空間立體圖形球的某些性質(zhì)

例3.找出圓與球的相似之處，并用圓的性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì).完成下表中的空白.

圓球

(1)圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的直線垂直于弦(1)______________________________

(2)與圓心距離相等的弦長相等(2)______________________________

(3)圓的周長C=?d(3)______________________________

(4)圓的面積5=萬戶(4)______________________________

【知識點(diǎn)：類比推理，猜想與證明】

詳解：(1)球心與截面圓(不過球心的小截面圓)圓心的連線垂直于截面

(2)與球心的距離相等的兩個(gè)截面圓的面積相等

(3)球的表面積S=4萬戶

(4)球的體積V=?/

點(diǎn)拔：球與圓有許多類似之處，從概念上講，都是動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等，都有直徑和

半徑，從平面向空間實(shí)現(xiàn)類比，將點(diǎn)與線、線與面、面積向體積等進(jìn)行類比.

?活動三平面曲線中的圖形之間類比

例4.在圓/+>2=/中，A3為直徑，C為圓上異于A3的任意一點(diǎn)，則有KAC典BC=T，

22

你能用類比的方法得出橢圓二+當(dāng)=1伍〉6〉0)中有什么樣的結(jié)論.

ab

【知識點(diǎn)：類比推理，猜想與證明】

詳解：設(shè)4(%,%)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則A點(diǎn)關(guān)于中心的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-%,-%),

點(diǎn)尸(x,y)為橢圓上異于A、3兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則

22

k._f。

KAPkKBP——22,

X-XQX+XQX-XQ

由于A,B,P三點(diǎn)都在橢圓上.

f22

二2++匕j2-—12_22_2

所以ab兩式相減有±*+2L?L=o,

年+婷.1/從

染+瓦」

1

由|、3-婷b°0n；,b

所以---r=—一五、即&4P.々BP=一_2-

x-x0aa

22

故橢圓)+==1伍〉人〉0)中過中心的一條弦的兩個(gè)端點(diǎn)4,B,P為橢圓上異于A,B

ab

方2

的任意一點(diǎn)，則有左轉(zhuǎn)?怎p=-

a

點(diǎn)拔：圓與橢圓的類比不光是斜率的問題，還有面積的類比，如圓的面積公是S=〃「2,

橢圓的面積公式是S=?a。，其中「是圓的半徑，a、6分別是橢圓的半長軸、半短軸的長.

3.課堂總結(jié)

【知識梳理】

(1)由兩個(gè)(兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似

或相同；或其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比

推理(簡稱類比).

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.

(2)類比推理的一般步驟：

①找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

②用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個(gè)猜想；

③檢驗(yàn)猜想.即

觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論

【難點(diǎn)突破】

(1)類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似

性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠.

(2)類比推理的特點(diǎn)

①類比是從特殊到特殊的推理，是根據(jù)兩類不同對象已具有的某些相似性質(zhì)，而聯(lián)想到

它們在其他方面可能也有相似的性質(zhì)，從而由一類對象的已知的某項(xiàng)性質(zhì)，猜測出另一類對

象也可能有此項(xiàng)相應(yīng)的性質(zhì)而得到一個(gè)明確的結(jié)論，類比結(jié)論有明顯的猜想和創(chuàng)新的特性.所

得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍；

②類比所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍，結(jié)論不一定真.

③類比的前提是兩類對象之間有可比性，所謂可比性是指：它們之間有可以清楚定義的

某些共同特征.而且兩類對象之間的相似性質(zhì)越多，類比所得的性質(zhì)的可靠性越大；

(3)類比推理的結(jié)論未必真，欲知真假需證明.

4.隨堂檢測

1.三角形的面積為S=；(a+6+c)〃，a,0,c為三角形的邊長，廠為三角形內(nèi)切圓的半徑，利

用類比推理可以得出四面體的體積為()

A.V=^abc

B.V=^Sh

C.V=1(5i+S2+S3+S4)-r(Si,S3,S4分別為四面體的四個(gè)面的面積，廠為四面體內(nèi)切球

的半徑）

D.V=^ab+bc+ac）-h（h為四面體的高）

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：C

平面幾何與立體幾何的類比，類比的知識點(diǎn)有：面積與體積，邊長與面積，圓與球.因此，應(yīng)

選C,答案為C

2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程\+楙=1表示在x,y軸上的截距分別為跖人的直線，拓展到空

間，在x,y,z軸上的截距分別為a,b,C（QZ?CRO）的方程為（）

A.-+^+-=l

abc

=1

abbeac

c->F+-=i

abbeca

D.<2X+by-\-cz=1

【知識點(diǎn)：類比推理；數(shù)學(xué)思想：推理論證】

解：A

3.圓的面積5=兀,，周長c=2a，兩者滿足c=S（r）,類比此關(guān)系寫出球的公式的一個(gè)結(jié)論是:

【知識點(diǎn)：類比推理】

4

解：丫球=空火3,s球=4兀7已滿足S=VXR）

4

圓的面積、周長分別與球的體積和表面積類比可得，球的體積丫=鏟爐，表面積5=4兀7已滿

足5=叭我）.答案為V球=%火3,§球=4兀7已滿足s=叭火）.

4.等差數(shù)列｛詼｝中,有2斯=詼_1+詼+1（定2,且類比以上結(jié)論,在等比數(shù)列｛瓦｝中類

似的結(jié)論是.

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：bn=bn-l-bn+l（ji>2,且〃?N*）

5.坐標(biāo)平面上P1（X1，yi）,P2（X2,>2），則線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為l七三,類比以

上結(jié)論，若△ABC中，A（xi，yi）,3（X2,>2），C（X3,券），則△ABC重心G的坐標(biāo)為.

【知識點(diǎn)：類比推理】

解.[石+馬+為M+丁2+%]

（三）課后作業(yè)

基礎(chǔ)型自主突破

1.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列哪些性質(zhì)，

你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等

②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等

③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等

A.①

B.①②

C.①②③

D.③

答案：C

解析：【知識點(diǎn)：類比推理】

對于①：正四面體中，各棱長相等，各側(cè)面是全等的等邊三角形，因此，同一頂點(diǎn)上的任兩

條棱的夾角都相等；①正確；

對于②：???正四面體中，各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角中，它們有

共同的高，底面三角形的中心到對棱的距離相等，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等，②正

確；

對于③：???各個(gè)面都是全等的正三角形，...各面都是面積相等的三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩

條棱的夾角都相等，③正確.

???①②③都是合理、恰當(dāng)?shù)?故選C.

2.如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，廠為左焦點(diǎn)，當(dāng)麗，Q時(shí)，其離心率為存L此類橢

圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于（)

y

A.暫

口逐1

D.---------------

2

C.V5-1

D.V5+1

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：A

類比“黃金橢圓”，在黃金雙曲線中，|。川=跖|。3|=4川=c,由題意可知忸殲+|&砰

Vb2+c2+c2-a2+c2+2ac,又b2=c1-a1,-a2+ac,/-e-1=0,e=

2

又e>l,所以選A.

3.平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，類比可得，在空間有（）

A.平行于同一直線的兩直線平行；

B.平行于同一直線的兩平面平行；

C.平行于同一平面的兩直線平行；D.平行于同一平面的兩平面平行.

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：D利用類比推理，平面中的直線與空間中的平面類比，即可得空間中平行于同一平面

的兩平面平行.

4.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)（2,3）與點(diǎn)（3,2）重合，且點(diǎn)（2005,2006）與點(diǎn)（m,

〃）重合，則"%〃分別為（）

A.2005,2005；

B.2006,2006；

C.2005,2006；

D.2006,2005.

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：D由于(2,3)與(3,2)關(guān)于直線y=x對稱，(2005,2006)與(加，")也關(guān)于直線產(chǎn)x

對稱，故m=2006,77=2005.

5.在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊.類比上述性質(zhì)：在三棱錐中，我們可以得到：

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：任意三個(gè)表面的面積之和大于第四個(gè)表面的面積.

6.在項(xiàng)數(shù)為2"(neN*),公差為d的等差數(shù)列中，偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和的差等于次/.類比可得：

在項(xiàng)數(shù)為2〃(/wN*),公比為q的等比數(shù)列中，,

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的商為q'

能力型師生共研

8.已知等差數(shù)列｛%｝中，有。u=0,則有q+出+-■+an-ax+a2+...+a21_n(?<21,HeN*)

成立.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列也,｝中，若九=i,則我們可以得到等式：

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：貼2…b"=血…S<19,〃eN*)

等差數(shù)列｛a“｝中'有。]]=0,則有為++…+。"=%+。2+…+<21,"dN)類比推理

在等比數(shù)列物1｝若偽。=1,則存在的等式是濟(jì)偽…a=42…(〃<19,〃eN)

9.半徑為r的圓的面積S(r)=萬廠2,周長C⑺=2萬廠，若將廠看作(0,+(?)上的變量，則

(萬廠2)，=2〃r.①，①式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù).對于半徑為R

的球，若將R看作(0,+oo)上的變量，請你寫出類似于①式的式子:,

你所寫的式子可用語言敘述為.

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：]:成3]=4R?2球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù).

10.定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這

個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列｛6｝,是等和數(shù)列，且%=2,

公和為5,那么陽的值為，這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“的計(jì)算公式為.

【知識點(diǎn)：類比推理】

解.％8=3.當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S?=|H；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

n.已知兩個(gè)圓：1+/=1①與/+(y_3)2=i②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸

方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，既要求得到一個(gè)更一般的命題，而已知

命題要成為所推廣命題的一個(gè)特例，推廣的命題為.

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：設(shè)圓的方程為(x—a)?+(y—0)2=/③與(x—c)2+(y—d)2=/④，其中QHC或bwd,則

由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程.

探究型多維突破

L設(shè)函數(shù)/(x)=xe*+x+2+sinx,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的方法，可求得

e+1

/(-5)+/(-4)+L+f(0)+L+/(4)+f(5)的值_____________________.

【知識點(diǎn)：類比推理】

、xex+x+2.2

解：11f(X)=-------------+sinx=x+sinx+-------,

er+lex+l

22_2(6，+""+2)

/(x)+/(-x)x+x=2,/(0)=l

e+le-+lex+e-x+2

/(-5)+/(-4)+L+/(0)+L+/(4)+f(5)

=[/(-5)+/(5)]+[/(-4)+/(4)]+L+[/(-1)+/(I)]+/(0)=11

2.若記號“*”表示兩個(gè)實(shí)數(shù)。與。的算術(shù)平均的運(yùn)算，即。*6=3吆，則兩邊均含有運(yùn)算符號

2

“叱和且對于任意3個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c都能成立的一個(gè)等式可以是.

【知識點(diǎn)：類比推理】

解.(〃*/?)+C=(〃*C)+3*C),(〃*力+C=3*〃)+C

此題答案不唯一還有：a+3*c)=(。+勿*(。+。)?等

(四)自助餐

1.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程2+1=1表示在x,y軸上的截距分別為a,》的直線，拓展到空

間，在％,y,z軸上的截距分別為b,c(〃b#0)的方程為()

A.壬+計(jì)2=1

abc

B?亮+—+三=1

abbeac

c.a>bFbe+-ca=i

D.ax-\-by-\-cz=1

【知識點(diǎn)：類比推理】

答案：A

2.下面類比推理中恰當(dāng)?shù)氖?)

A.若“小3="3,則a=6”類比推出“若00="0,則a=?！?/p>

B.”(a+6)c=ac+Z?c”類比推出，0=”=￡+/(存0)”

C."(a+6)c=ac+be”類比推出“(ob)c=ac-be”

D."(ab)"=a"*類比推出“(a+b)n=D+b"”

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：B

3.類比三角形中的性質(zhì)：

(1)兩邊之和大于第三邊

(2)中位線長等于底邊的一半

(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)

可得四面體的對應(yīng)性質(zhì)：

(1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積

(2)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于第四個(gè)面面積的;

(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)

其中類比推理方法正確的有()

A.⑴

B.(l)(2)

C.⑴⑵⑶

D.都不對

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：C

4.六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體.如圖甲，在口438中，有

AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在圖乙所示的平行六面體ABC。一ALBCLDI中,

AC：+8Z)：+C4：+r)3：等于()

A.4(AB2+AD2+AA?)

B.3(AB2+AD2+AAT)

C.2(AB2+AD2+A4T)

D.4(AB2+AD2)

【知識點(diǎn)：類比推理；數(shù)學(xué)思想：推理論證】

解：A

5.等差數(shù)列｛出｝中，有2詼=麗_1+為+1(e2,且類比以上結(jié)論,在等比數(shù)列｛瓦｝中類

似的結(jié)論是.

【知識點(diǎn)：類比推理】

解：bl=bn-vbn+i(n>2,且