2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題含答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖，拋物線(xiàn)丫=公2+—+4交y軸于點(diǎn)4,并經(jīng)過(guò)3（4,4）和C（6,0）兩點(diǎn)，點(diǎn)。

的坐標(biāo)為（4,0）,連接A。，BC,點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段

OC方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)M同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸停止時(shí)點(diǎn)M也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，過(guò)點(diǎn)尸

（2）以線(xiàn)段EH為斜邊向右作等腰直角△EHG,當(dāng)點(diǎn)G落在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上時(shí),

求出f的值；

（3）設(shè)△EFM與四邊形AOC8重合時(shí)的面積為5,請(qǐng)直接寫(xiě)出S與，的函數(shù)關(guān)系式與相

應(yīng)的自變量/的取值范圍.

解：（1）由題意得：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=2,則函數(shù)與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,

0）,

則函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x+2）（x-6）=a12）,

則-⑵=4,解得：a=

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：產(chǎn)一步+3+4：

（2）將點(diǎn)A、。的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:

直線(xiàn)4。的表達(dá)式為：y=-x+4,

則點(diǎn)E、尸的坐標(biāo)分別為：（64）、（60）,

3t1

則點(diǎn)〃（力47）,則點(diǎn)G（萬(wàn)，4一分），

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將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入表達(dá)式得：4-%V吟）24號(hào)）+4,

解得：仁學(xué)；

(3)點(diǎn)M(?+4,0),點(diǎn)E(t,4)、點(diǎn)F(60),

②2<W4時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)EM交BC于點(diǎn)R,EF交AD于點(diǎn)K（34-力,

直線(xiàn)3c的表達(dá)式為：y=-2x+12,

聯(lián)立上述兩式并解得：x=8-r,

故點(diǎn)R(8-z,2r-4),

1I1、13)

S=S&EFM-S&RCM-S&KFD=7x4X4-7(f+4-6)(2r-4)—2x(4-t)~=—)廣+8,-4：

③4<K6時(shí)，

同理可得：5=1(6-t)(6-r)X2=?-12r+36；

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1

-2+4￡

2(0<t<2)

3

故-2+8t

24,(2<t<4)

t2-12t+36,(4<t<6)

2.如圖1,已知直線(xiàn)y=2x+2與)，軸，x軸分別交于A,B兩點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)在第二象

限作等腰RlAABC

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出直線(xiàn)AC的關(guān)系式；

(2)如圖2,直線(xiàn)CB交y軸于E,在直線(xiàn)CB上取一點(diǎn)。，連接AD,若AO=4C,求

證：BE=DE.

⑶如圖3,在(1)的條件下，直線(xiàn)AC交x軸于點(diǎn)M,P(-1,k)是線(xiàn)段8C上一

點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)N,使△8PN面積等于△8CM面積的一半？若存在，請(qǐng)求出

1,0),

過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)4,

圖1

；NHCB+NCBH=90°,NCBH+NABO=90°,：.NABO=NBCH,

NCHB=/8OA=90°,BC=BA,(AAS),

：.BH=OA=2,CH=OB,貝U點(diǎn)C(-3,1),

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]

m=3,

(b=2

故直線(xiàn)AC的表達(dá)式為：)=1A+2：

(2)同理可得直線(xiàn)CD的表達(dá)式為：尸一94…①，則點(diǎn)E(0,-1),

直線(xiàn)A。的表達(dá)式為：y=-3x+2…②，

聯(lián)立①②并解得：x=l,即點(diǎn)。(1,-1),

點(diǎn)8、E、。的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(0,一分、(1,-1),

故點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，即8E=OE；

(3)將點(diǎn)8c的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y=-^A—p

將點(diǎn)P坐標(biāo)代入直線(xiàn)BC的表達(dá)式得：k=l，

直線(xiàn)AC的表達(dá)式為：y=Jx+2,則點(diǎn)M(-6,0),

115

S^BMC=-x5X1=

15I3

S/\BPN=NBXk=dNB,

亍LS4ABC/M=7=亍o

解得：NB=￥，

故點(diǎn)N(一13芋0)或eg7,0).

3.在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與直線(xiàn)OC：y=x交

于C.

(1)如圖1若直線(xiàn)A8的解析式：y=-2x+12

①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②求△OAC的面積；

(2)如圖2,作NAOC的平分線(xiàn)ON,若AB工ON,垂足為E,且OA=4,P、Q分別為

線(xiàn)段OA、OE上的動(dòng)點(diǎn)，連接A。與PQ,是探索AQ+P。是否存在最小值？若存在，求

出這個(gè)最小值；若不存在，說(shuō)明理由.

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解：(1)①聯(lián)立AB、0C的函數(shù)表達(dá)式得：｛；：：2X+12,「二：

點(diǎn)C(4,4)；

②直線(xiàn)AB的解析式：＞-=-2x+12

令y=0,則x=6,即0A=6,

11

S/^OAC=2xOAXyc=2X6X4=12；

(2)ON是/AOC的平分線(xiàn)，且AB_LON,

則點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C,AO=OC=4,

當(dāng)C、Q、P在同一直線(xiàn)上，且垂直于x軸時(shí)，AQ+P。有最小值CP,

設(shè)：CP=OP=x,則2?=42=16,

解得：x=2/=CP.

3.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90",。為A8邊上的一點(diǎn)，以為直徑的。0交BC

于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)C作CG_L4B交AB于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)E的弦EP

交A8于點(diǎn)。(EP不是直徑)，點(diǎn)。為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)BP,BP恰好為的切線(xiàn).

(1)求證：BC是。。的切線(xiàn).

(2)求證：EF=ED.

3

(3)若sinNA8C=^，AC=15,求四邊形C”Q￡的面積.

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(1)證明：連接?！?P,

???AO為直徑，點(diǎn)。為弦EP的中點(diǎn)，

???P￡_LA8,點(diǎn)。為弦石尸的中點(diǎn)，

???A8垂直平分EP,

:?PB=BE,

?：OE=OP,OB=OB,

???△BEOdBP。(SSS),

：?/BEO=/BPO,

〈BP為。。的切線(xiàn)，

：.ZBPO=90°,

：.ZBEO=90°,

：.OELBC,

???8C是OO的切線(xiàn).

(2)證明：ZBEO=ZACB=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZOEA,

???OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：YA。為的。。直徑，點(diǎn)。為弦EP的中點(diǎn),

J.EPLAB,

VCGLAB,

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.CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEO9

?：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAOf

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：.AACE^AAQE(A4S),

：.CE=QEf

VZAEC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

：?NCEH=4AHG,

NAHG=/CHE,

：.ZCHE=ZCEHf

:?CH=CE,

:?CH=EQ,

???四邊形CHQE是平行四邊形，

?；CH=CE,

???四邊形C"QE是菱形，

AG3

VsinZABC-sinZACG~—=一，

AC5

VAC=15,

???AG=9,

ACG=yjAC2-AG2=12,

VAACE^AA2E,

???AQ=4C=15,

JQG=6,

；HQ2=HG2+QG2,

.?.”Q2=(12-HQ)2+62,

解得：HQ=學(xué),

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：.CH=HQ=-y,

1q

???四邊形CHQE的面積=CH?GQ=-yx6=45.

4.如圖，ZVIBC中，AB=ACf。。是△ABC的外接圓，B。的延長(zhǎng)線(xiàn)交邊AC于點(diǎn)D

(1)求證：NBAC=2NABD；

(2)當(dāng)△BC。是等腰三角形時(shí)，求NBCD的大小；

(3)當(dāng)AO=2,CO=3時(shí)，求邊8c的長(zhǎng).

圖1

t：AB=AC,

：.AB=宿

lOALBC,

：.ZBAO=ZCAO,

?：OA=OB,

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ZABD=ZBAO,

：.ZBAC=2ZABD.

(2)解：如圖2中，延長(zhǎng)40交8C于〃.

?：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

:?/DBC=2/ABD,

VZDBC+ZC+ZBDC=180°,

???8NA5Q=180°,

???NC=3NABO=67.5°.

②若CD=CB,則NC8O=NCD8=3NABO,

：.ZC=4ZABD,

VZZ)BC+ZC+ZCDB=180°,

.'.10ZABD=180°,

:?/BCD=4/ABD=T2°.

③若O5=QC,則。與A重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°.

(3)如圖3中，作AE〃8C交8。的延長(zhǎng)線(xiàn)于E.

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A

圖3

AEAD2

則—=—=

BCDC3

AOAE45

???一=—=設(shè)。8=04=4小OH=3a,

OHBH3

'：BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,

，25-49。2=16/-9屋,

,225

"=防’

r萬(wàn)

：.BC=2BH=簽.

6.已知，如圖：/XABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,A8=10,。為AABC外一點(diǎn),

連接A。、BD,過(guò)。作OHLAB,垂足為“，交AC于E.

(1)若△ABO是等邊三角形，求OE的長(zhǎng);

(2)若且tan/4DB=I求。E的長(zhǎng).

BD=AB,4

【解答】解：(1)：△AB。是等邊三角形，AB=10,

AZADB=60°,AD=AB^\Q,

"JDHYAB,

1

：.AH=^AB=5,

：.DH=>JAD2-AH2="02—52=5V3,

???△ABC是等腰直角三角形,

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AZCAB=45°,即NAE4=45°,

/\AEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

(2)'：DH±AB,且tan/H￡>B=X，

可設(shè)引/=3鼠則QH=4吼

根據(jù)勾股定理得：DB=5k,

'：BD=AB=W,

.?.54=10解得：k=2,

：.DH=S,BH=6,A”=4,

又,：EH=AH=4,

：.DE=DH-EH=4.

7.如圖，已知O。是△ABC的外接圓，AB是。。的直徑，。是4B延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，AE

交。C的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,交。。于點(diǎn)F,且a

(1)試判斷QE與00的位置關(guān)系并加以證明；

(2)若B0=叔，AE=4,求