高一數(shù)學上學期期中期末重點突破(人教A版必修第一冊)05全稱量詞與存在量詞的求解問題(原卷版+解析)

?？碱}型05全稱量詞與存在量詞的求解問題1.(1)“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示。(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題。2.(1)“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示。(2)含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題。3.全稱量詞命題p:?x∈M,p(x)(?p(x)).存在量詞命題p:?x∈M,p(x)(?p(x))。4.常用否定詞一般地，寫一個命題的否定時，往往需要對正面敘述的詞語進行否定，一些常用的詞語和它的否定詞語對照列表如下：原詞語等于大于（＞）小于（＜）是都是至多有一個至少有一個至多有n個任意的任意兩個所有的能否定詞語不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有兩個一個也沒有至少有n+1個某個某兩個某些不能考法一：判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假1.全稱量詞命題真假的判斷(1)要證明“?x∈M，p(x)”為真.①定義法：對給定的集合內(nèi)的每一個元素x，p(x)都為真，則全稱量詞命題為真.②間接法：證明‘“?x(2)要證明“?x∈M，p(x)”為假.①特值法：在給定的集合內(nèi)找到一個元素x0，使p(x0②間接法：證明“?x02.存在量詞命題真假的判斷(1)要證明“?x0∈M，p(x0)”①特值法：在給定的集合內(nèi)找到一個元素x0，使p(x0②間接法：證明‘“?x∈M,?px(2)要證明“?x0∈M，p(x0)”為假，需證明“?x∈M,?p考法二：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”的否定為“?x0∈M,?px0”;存在量詞命題“?x0∈M(2)對含有存在(全稱)量詞的命題進行否定需要兩步操作：①將存在(全稱)量詞改成全稱(存在)量詞；②將結(jié)論加以否定.可簡記為“前變后否”.考法三：與全稱量詞命題或存在量詞命題有關的參數(shù)取值范圍問題與全稱量詞命題或存在量詞命題有關的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題，主要方法是分離參數(shù)法，最終轉(zhuǎn)化為最值問題.分離過程中，把題目中所求范圍的量放在左邊，其余的放在右邊，再求右邊式子的相應最值，變形必須是恒等的。探究一：判斷全稱、存在量詞命題的真假對三個正實數(shù)、、，下列說法正確的是A．存在（、、）的一組值，使得、、均小于2B．存在（、、）的一組值，使得、、中恰有兩個小于2C．對（、、）任意值，、、都不小于2D．對（、、）任意值，、、中至多有兩個不小于2思路分析：思路分析：假設，，可根據(jù)正實數(shù)的條件確定，根據(jù)不等關系可得，利用函數(shù)思想可求得，即恒成立，從而排除；通過特殊值可驗證出正確，錯誤.【變式練習】1．在下列命題中，是真命題的是（

）A．B．C．D．已知，則對于任意的，都有2．設非空集合P，Q滿足，則下列命題正確的是（

）A．， B．，C．， D．，探究二：全稱量詞命題的否定及其真假的判斷下列命題中，假命題是（

）A．的充要條件是B．，是的充分條件C．命題“，使得”的否定是“都有”D．命題“，”的否定是“，”思路分析：思路分析：A.利用特殊值法判斷；B.利用不等式的基本性質(zhì)判斷；C.由含有一個量詞的命題的否定的定義判斷；D.由含有一個量詞的命題的否定的定義判斷；【變式練習】1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．2．設命題p：任一實數(shù)的平方都不小于0，則命題p的否定是（

）A．， B．，C．， D．，探究三：存在量詞命題的否定及其真假的判斷下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（

）①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；②命題“”是全稱量詞命題；③命題“”的否定為“”；④命題“是的必要條件”是真命題；A．0 B．1 C．2 D．3思路分析：思路分析：根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題的概念，命題的否定，必要條件的定義，分析選項，即可得答案?！咀兪骄毩暋?．已知命題：，，使得，則為（

）A．，，使得 B．，，使得C．，，使得 D．，，使得2．已知，函數(shù)，若m滿足關于x的方程，當時的函數(shù)值記為M，則下列選項中的命題為假命題的是（

）A．， B．，C．， D．，探究四：與全稱量詞命題或存在量詞命題有關的參數(shù)取值范圍問題若命題“，使得”是真命題，則實數(shù)的取值集合是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：討論時是否符合題意，當時，不等式恒成立的等價條件為且即可求解。【變式練習】1．設命題p：，x若是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．(- D．(-2．已知命題P：若命題P是假命題，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．一、單選題1．若“，”為真命題，“，”為假命題，則集合M可以是（

）A． B．C． D．2．命題p：“”為假命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．3．下列命題不是存在量詞命題的是（

）A．有些實數(shù)沒有平方根B．能被5整除的數(shù)也能被2整除C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0D．有一個m，使2﹣m與|m|﹣3異號4．已知命題，，則（

）A．命題，為假命題B．命題，為真命題C．命題，為假命題D．命題，為真命題5．若命題p：“，”是假命題，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．命題“，”為真命題的充要條件是（

）A． B．C． D．7．設有下面四個命題：p1：?x∈R，x2+1＜0；p2：?x∈R，x+|x|＞0；p3：?x∈Z，|x|∈N；p4：?x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命題為（

）A．p1 B．p2 C．p3 D．p48．已知命題p：“，”，命題q：“，”．若命題和命題q都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．二、多選題9．下列命題中，真命題是（

）A．若且，則至少有一個大于1B．C．的充要條件是D．命題“”的否定形式是“”10．若“，或”為真命題，“，”為假命題，則集合可以是（

）A． B． C． D．11．下列全稱量詞命題與存在量詞命題中，是真命題的為（

）A．設A，B為兩個集合，若，則對任意，都有B．設A，B為兩個集合，若A不包含于B，則存在，使得C．{是無理數(shù)}，是有理數(shù)D．{是無理數(shù)}，是無理數(shù)12．下列說法正確的是（

）A．命題“，”的否定是“，”；B．命題“，”的否定是“，”；C．，使得；D．若集合是全集的子集，則命題“”與“”同時成立；三、填空題13．已知命題“，使得等式成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是______.14．若命題：“存在整數(shù)使不等式成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是_________．15．已知命題：“，”，命題：“，”，的否定是假命題，是真命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.16．已知“”是假命題,則實數(shù)的取值范圍為________.四、解答題17．在①，，②存在區(qū)間，，使得這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并求解問題．問題：求實數(shù)a滿足的條件，使得命題，，命題q：______，都是真命題．18．已知，.，.(1)若為真命題，求的取值范圍；(2)若，一個是真命題，一個是假命題，求的取值范圍．19．已知命題p:，，命題q：，一次函數(shù)的圖象在x軸下方．(1)若命題P的否定為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若命題為真命題，命題的否定也為真命題，求實數(shù)的取值范圍．20．已知命題“，”為真命題.（1）求實數(shù)的取值的集合；（2）若，使得成立，記實數(shù)的范圍為集合，若中只有一個整數(shù)，求實數(shù)的范圍.?？碱}型05全稱量詞與存在量詞的求解問題1.(1)“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示。(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題。2.(1)“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示。(2)含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題。3.全稱量詞命題p:?x∈M,p(x)(?p(x)).存在量詞命題p:?x∈M,p(x)(?p(x))。4.常用否定詞一般地，寫一個命題的否定時，往往需要對正面敘述的詞語進行否定，一些常用的詞語和它的否定詞語對照列表如下：原詞語等于大于（＞）小于（＜）是都是至多有一個至少有一個至多有n個任意的任意兩個所有的能否定詞語不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有兩個一個也沒有至少有n+1個某個某兩個某些不能考法一：判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假1.全稱量詞命題真假的判斷(1)要證明“?x∈M，p(x)”為真.①定義法：對給定的集合內(nèi)的每一個元素x，p(x)都為真，則全稱量詞命題為真.②間接法：證明‘“?x(2)要證明“?x∈M，p(x)”為假.①特值法：在給定的集合內(nèi)找到一個元素x0，使p(x②間接法：證明“?x2.存在量詞命題真假的判斷(1)要證明“?x0∈M，p(x①特值法：在給定的集合內(nèi)找到一個元素x0，使p(x②間接法：證明‘“?x∈M,?px(2)要證明“?x0∈M，p(x0)”為假，需證明考法二：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”的否定為“?x0∈M,?px0”;存在量詞命題“?(2)對含有存在(全稱)量詞的命題進行否定需要兩步操作：①將存在(全稱)量詞改成全稱(存在)量詞；②將結(jié)論加以否定.可簡記為“前變后否”.考法三：與全稱量詞命題或存在量詞命題有關的參數(shù)取值范圍問題與全稱量詞命題或存在量詞命題有關的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題，主要方法是分離參數(shù)法，最終轉(zhuǎn)化為最值問題.分離過程中，把題目中所求范圍的量放在左邊，其余的放在右邊，再求右邊式子的相應最值，變形必須是恒等的。探究一：判斷全稱、存在量詞命題的真假對三個正實數(shù)、、，下列說法正確的是A．存在（、、）的一組值，使得、、均小于2B．存在（、、）的一組值，使得、、中恰有兩個小于2C．對（、、）任意值，、、都不小于2D．對（、、）任意值，、、中至多有兩個不小于2思路分析：思路分析：假設，，可根據(jù)正實數(shù)的條件確定，根據(jù)不等關系可得，利用函數(shù)思想可求得，即恒成立，從而排除；通過特殊值可驗證出正確，錯誤.【解析】若、、均小于，則，但由基本不等式可得、、不能均小于，則錯誤當，，時，，存在的一組值，使得、、中恰有兩個小于，則正確當，時，，存在的一組值，使得、、中有小于的值，則錯誤當時，存在的一組值，使得、、均不小于，則錯誤本題正確選項：答案：B【變式練習】1．在下列命題中，是真命題的是（

）A．B．C．D．已知，則對于任意的，都有答案：B【解析】選項A，，即有實數(shù)解，所以，顯然此方程無實數(shù)解，故排除；選項B，，，故該選項正確；選項C，，而當，不成立，故該選項錯誤，排除；選項D，，當時，當取得6的正整數(shù)倍時，，所以，該選項錯誤，排除.故選：B.2．設非空集合P，Q滿足，則下列命題正確的是（

）A．， B．，C．， D．，答案：A【解析】因為非空集合P，Q滿足，所以，對于AC，由子集的定義知P中任意一個元素都是Q中的元素，即，，故A正確，C錯誤；對于BD，由，分類討論：若P是Q的真子集，則，；若，則，；故BD錯誤．故選：A．探究二：全稱量詞命題的否定及其真假的判斷下列命題中，假命題是（

）A．的充要條件是B．，是的充分條件C．命題“，使得”的否定是“都有”D．命題“，”的否定是“，”思路分析：思路分析：A.利用特殊值法判斷；B.利用不等式的基本性質(zhì)判斷；C.由含有一個量詞的命題的否定的定義判斷；D.由含有一個量詞的命題的否定的定義判斷；【解析】A.當時，不成立，故不充分；當可推出，故必要，故錯誤；B.由不等式的基本性質(zhì)知，可推出，故充分，故正確；C.存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，故正確；D.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故正確；故選：A答案：A【變式練習】1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】命題的否定是故選：A2．設命題p：任一實數(shù)的平方都不小于0，則命題p的否定是（

）A．， B．，C．， D．，答案：C【解析】命題p：任一實數(shù)的平方都不小于0，即，為全稱量詞命題，又全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，故命題p的否定是，故選：C探究三：存在量詞命題的否定及其真假的判斷下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（

）①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；②命題“”是全稱量詞命題；③命題“”的否定為“”；④命題“是的必要條件”是真命題；A．0 B．1 C．2 D．3思路分析：思路分析：根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題的概念，命題的否定，必要條件的定義，分析選項，即可得答案?！窘馕觥繉τ冖伲好}“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，故①錯誤；對于②：命題“”是全稱量詞命題；故②正確；對于③：命題，則，故③錯誤；對于④：可以推出，所以是的必要條件，故④正確；所以正確的命題為②④，故選：C答案：C【變式練習】1．已知命題：，，使得，則為（

）A．，，使得 B．，，使得C．，，使得 D．，，使得答案：C【解析】由全稱量詞命題和存在量詞命題的否定形式，可得命題：，，使得的否定為：，，使得故選：C2．已知，函數(shù)，若m滿足關于x的方程，當時的函數(shù)值記為M，則下列選項中的命題為假命題的是（

）A．， B．，C．， D．，答案：C【解析】方程的解為.由當時的函數(shù)記為M知A、B為真命題；∵，∴函數(shù)在處取得最小值.∴M是函數(shù)的最小值，因此D為真命題，C為假命題.故選：C.探究四：與全稱量詞命題或存在量詞命題有關的參數(shù)取值范圍問題若命題“，使得”是真命題，則實數(shù)的取值集合是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：討論時是否符合題意，當時，不等式恒成立的等價條件為且即可求解?！窘馕觥慨敃r，等價于不滿足對于恒成立，不符合題意；當時，若對于恒成立，則即可得：，綜上所述：實數(shù)的取值集合是，故選：B.答案：B【變式練習】1．設命題p：，x若是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．(- D．(-答案：B【解析】命題p：，x所以：，，由是真命題可得，，因為，當且僅當時，等號成立，所以，故選：B2．已知命題P：若命題P是假命題，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由題：命題P是假命題，其否定:為真命題，即，解得.故選：B一、單選題1．若“，”為真命題，“，”為假命題，則集合M可以是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】若“，”為假命題，所以“”，，為真命題，所以A，B，D不正確，排除A，B，D．故選：C．2．命題p：“”為假命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】命題為假命題，即命題為真命題.首先，時，恒成立，符合題意；其次時，則且，即，綜上可知，.結(jié)合選項可得，，即：是的一個充分不必要條件.故選：C3．下列命題不是存在量詞命題的是（

）A．有些實數(shù)沒有平方根B．能被5整除的數(shù)也能被2整除C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0D．有一個m，使2﹣m與|m|﹣3異號答案：B【解析】解：對于A，有些實數(shù)沒有平方根，有存在量詞“有些”，是存在量詞命題；對于B，“能被5整除的數(shù)也能被2整除”省略了“所有”，是全稱量詞命題；對于C，存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0，有存在量詞“存在”，是存在量詞命題；對于D，有一個m，使2﹣m與|m|﹣3異號，有存在量詞“有一個”，是存在量詞命題.故選：B.4．已知命題，，則（

）A．命題，為假命題B．命題，為真命題C．命題，為假命題D．命題，為真命題答案：C【解析】有題意知，命題，，又因為方程的，所以命題為假命題.故選：C.5．若命題p：“，”是假命題，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解：命題“，”是假命題，則命題“，”是真命題，當時，恒成立．當時，不恒成立．當時，則，解得．故的取值范圍為：，即．故選：B．6．命題“，”為真命題的充要條件是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】原命題可寫為“，”，當時，隨x增大而增大，所以取最大值為3，所以．故選：D7．設有下面四個命題：p1：?x∈R，x2+1＜0；p2：?x∈R，x+|x|＞0；p3：?x∈Z，|x|∈N；p4：?x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命題為（

）A．p1 B．p2 C．p3 D．p4答案：C【解析】對于p1：由于，故?x∈R，x2+1＜0不成立，故該命題為假命題；p2：?x∈R，當x＜0時，x+|x|＝0，故該命題為假命題；p3：?x∈Z，|x|是非負整數(shù)，故|x|∈N，該命題為真命題；p4：?x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在實根，故該命題為假命題；故選：C8．已知命題p：“，”，命題q：“，”．若命題和命題q都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．答案：D【解析】若，，則，∴．若，，則，解得或．∵命題和命題q都是真命題，∴或，∴．故選D．二、多選題9．下列命題中，真命題是（

）A．若且，則至少有一個大于1B．C．的充要條件是D．命題“”的否定形式是“”答案：AD【解析】對于A中，若實數(shù)都小于等于1，那么可以推出，所以A正確；對于B中，當時，，所以B錯誤；對于C中，當時，滿足，但不成立，所以C錯誤；對于D中，由含有一個量詞的否定的概念，可得命題“”的否定形式是“”，所以D是正確的.故選：AD.10．若“，或”為真命題，“，”為假命題，則集合可以是（

）A． B． C． D．答案：ABD【解析】命題“，”為假命題，則命題“，”為真命題，可得，命題“，或”為真命題，則或，或或，顯然，A，B，D選項中的區(qū)間為的子集．故選：ABD．11．下列全稱量詞命題與存在量詞命題中，是真命題的為（

）A．設A，B為兩個集合，若，則對任意，都有B．設A，B為兩個集合，若A不包含于B，則存在，使得C．{是無理數(shù)}，是有理數(shù)D．{是無理數(shù)}，是無理數(shù)答案：AB【解析】根據(jù)集合間的基本關系，可以判斷A，B是真命題；對于C，顯然{是無理數(shù)}，也是無理數(shù)，故C是假命題；對于D，顯然{是無理數(shù)}，卻是有理數(shù)，故D是假命題．故選：AB.12．下列說法正確的是（

）A．命題“，”的否定是“，”；B．命題“，”的否定是“，”；C．，使得；D．若集合是全集的子集，則命題“”與“”同時成立；答案：BD【解析】A.命題“，”的否定是“，”，所以該選項錯誤；B.命題“，”的否定是“，”，所以該選項正確；C.當時，不存在實數(shù)，使得，所以該選項錯誤；D.若集合是全集的子集，則命題“”與“”同時成立,所以該選項正確.故選：BD三、填空題13．已知命題“，使得等式成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是______.答案：【解析】若原命題為真命題，則，使得成立，則；若原命題為假命題，則實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14．若命題：“存在整數(shù)使不等式成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是_________．答案：；【解析】“存在整數(shù)使不等式成立”是假命題，即不存在整數(shù)使不等式成立．設不等式的解集為，當時，得，不合題意；當且時，原不等式化為，，，要使不存在整數(shù)使不等式成立，須，解得：且；當時，，合題意，當時，原不等式化為，，不合題意，綜上所述，．故答案為：15．已知命題：“，”，命題：“，”，的否定是假命題，是真命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.答案：【解析】由，得，，因的否定是假命題，則是真命題，于是得，因，，即方程有實根，則，解得，又是真命題，則，因此，由是真命題，也是真命題，可得，