高考數(shù)學(xué)大題精做專題03幾何體的體積求解(第三篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題03幾何體的體積求解類型對(duì)應(yīng)典例公式法求體積典例1等體積法求體積典例2切割法求體積典例3由體積求側(cè)面積典例4由體積求參數(shù)的值典例5【典例1】【陜西省渭南市2020屆高三上學(xué)期期末】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，△PAD為等邊三角形，平面PAD丄平面PCD.(1)證明：平面PAD丄平面ABCD:(2)若AB=2，Q為線段的中點(diǎn)，求三棱錐Q-PCD的體積.【典例2】【2020屆河北九校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】如圖，在三棱錐中，正三角形所在平面與等腰三角形所在平面互相垂直，，是中點(diǎn)，于.（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【典例3】【2020屆寧夏銀川一中月考】在矩形所在平面的同一側(cè)取兩點(diǎn)、，使且，若，，.（1）求證：（2）取的中點(diǎn)，求證（3）求多面體的體積.【典例4】【山東省臨沂市2019年普通高考模擬考試（三模)】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若，三棱錐的體積為，求四棱錐的側(cè)面積．【典例5】【北京市豐臺(tái)區(qū)2019屆高三模擬】在菱形中，，為線段的中點(diǎn)（如圖1）．將沿折起到的位置，使得平面平面，為線段的中點(diǎn)（如圖2）．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）當(dāng)四棱錐的體積為時(shí)，求的值．【針對(duì)訓(xùn)練】1.【湖南省郴州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)】如圖，在多面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，四邊形是等腰梯形，且，.（1）證明：平面平面.（2）求該多面體的體積.2.【遼寧省撫順市2020屆高三模擬考試】如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．3.【江西省臨川第一中學(xué)等九校2019屆高三3月聯(lián)考】已知斜三棱柱的側(cè)面與底面垂直，側(cè)棱與底面所成的角為，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.4.【2020屆安徽蚌埠二中期中考試】如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，（I）證明：平面AEC⊥平面BED；（II）若∠ABC=120°，AE⊥EC,三棱錐E?ACD的體積為5.【2020屆上海市普陀區(qū)高考一?！咳鐖D所示的三棱錐的三條棱，，兩兩互相垂直，,點(diǎn)在棱上，且().（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的大小；（2）當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，求的值.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題03幾何體的體積求解類型對(duì)應(yīng)典例公式法求體積典例1等體積法求體積典例2切割法求體積典例3由體積求側(cè)面積典例4由體積求參數(shù)的值典例5【典例1】【陜西省渭南市2020屆高三上學(xué)期期末】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，△PAD為等邊三角形，平面PAD丄平面PCD.(1)證明：平面PAD丄平面ABCD:(2)若AB=2，Q為線段的中點(diǎn)，求三棱錐Q-PCD的體積.【思路引導(dǎo)】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，再由正方形的性質(zhì)，證得，利用線面垂直的判定定理，得到平面，進(jìn)而得到平面平面；（2）由（1）得到平面的距離，進(jìn)而求得到平面的距離，利用體積公式，即可求解．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）得平面，所以到平面的距離，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，所以兩點(diǎn)到平面的距離相等，均為，又為線段的中點(diǎn)，所以到平面的距離，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以．【典?】【2020屆河北九校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】如圖，在三棱錐中，正三角形所在平面與等腰三角形所在平面互相垂直，，是中點(diǎn)，于.（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【思路引導(dǎo)】（1）先證明平面，得到，結(jié)合已知，證得平面.（2）將所求轉(zhuǎn)化為，利用（1）的結(jié)論得到三棱錐的高為，由此計(jì)算得三棱錐的體積.解：（1）∵AB＝BC，O是AC中點(diǎn)，∴BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴PC⊥平面BOH；（2）∵△HAO與△HOC面積相等，∴,∵BO⊥平面PAC,∴,∵,∠HOC=30°∴,∴,∴,即.【典例3】【2020屆寧夏銀川一中月考】在矩形所在平面的同一側(cè)取兩點(diǎn)、，使且，若，，.（1）求證：（2）取的中點(diǎn)，求證（3）求多面體的體積.【思路引導(dǎo)】分析：(1)要證，即證，只需證明，；(2)連結(jié)交于點(diǎn)，則是的中位線，，從而得證；(3)即可求得多面體的體積.詳解：(Ⅰ)四邊形是矩形，，又，，，在平面內(nèi)，.(Ⅱ)連結(jié)交于點(diǎn)，則是的中位線，，在平面內(nèi)，所以.（Ⅲ）.【典例4】【山東省臨沂市2019年普通高考模擬考試（三模)】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若，三棱錐的體積為，求四棱錐的側(cè)面積．【思路引導(dǎo)】（1）由平面可得，由底面是菱形可得，從而得平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，在中，利用余弦定理求得，利用勾股定理求得，由棱錐的體積公式可得，求出各側(cè)面的面積即可得結(jié)果.【詳解】（1）∵平面，平面，∴，又∵底面是菱形，∴，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，∵，∴，在中，，∴，又∵平面，，，∴，∴，又，∴，∴，∴，，∵，∴.又∵平面，∴，∴四棱維的側(cè)面積等于【典例5】【北京市豐臺(tái)區(qū)2019屆高三模擬】在菱形中，，為線段的中點(diǎn)（如圖1）．將沿折起到的位置，使得平面平面，為線段的中點(diǎn)（如圖2）．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）當(dāng)四棱錐的體積為時(shí)，求的值．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）證明OD'⊥AO．推出OD'⊥平面ABCO．然后證明OD'⊥BC．（Ⅱ）取P為線段AD'的中點(diǎn)，連接OP，PM；證明四邊形OCMP為平行四邊形，然后證明CM∥平面AOD'；（Ⅲ）說(shuō)明OD'是四棱錐D'﹣ABCO的高．通過(guò)體積公式求解即可．【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)樵诹庑沃校?，為線段的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫嫫矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．（Ⅱ）證明：如圖，取為線段的中點(diǎn)，連接OP,PM；因?yàn)樵谥?，，分別是線段，的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，菱形中，，，所以．所以，．所以，．所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面．所以是四棱錐的高，又S=,因?yàn)?，所以．【針?duì)訓(xùn)練】1.【湖南省郴州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)】如圖，在多面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，四邊形是等腰梯形，且，.（1）證明：平面平面.（2）求該多面體的體積.【思路引導(dǎo)】（1）先證平面，從而可得結(jié)論；（2）把幾何體分割為兩個(gè)錐體求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑危?又因?yàn)?，且，所以平?又平面，故平面平面.（2）解：梯形的高為，.多面體體積，所以.2.【遼寧省撫順市2020屆高三模擬考試】如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，由三角形性質(zhì)得且，結(jié)合已知得到且，則四邊形為平行四邊形，可得，再由線面平行的判定可得平面；（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)，由已知得到平面，然后利用等積法求三棱錐的體積．【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，在中，∵、分別為，的中點(diǎn)，∴且，又為的中點(diǎn)，，∴且，即且，故四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；（Ⅱ）解：設(shè)為的中點(diǎn)，∵棱柱底面是正三角形，，∴有，又因?yàn)闉檎切?，且為的中點(diǎn)，所以,又由正三棱柱，所以平面平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，即三棱錐的高為，所以．3.【江西省臨川第一中學(xué)等九校2019屆高三3月聯(lián)考】已知斜三棱柱的側(cè)面與底面垂直，側(cè)棱與底面所成的角為，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【思路引導(dǎo)】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得，平面，由此得，結(jié)合利用線面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而可得結(jié)果；（2）結(jié)合（1），側(cè)棱與底面所成的角為，，利用直角三角形的性質(zhì)可得，，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半為1，結(jié)合“等積變換”，利用錐體的體積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）平面平面平面平面，平面，，又，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）可知，平面平面，則平面，又側(cè)棱與底面所成的角為，，，，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半為1，則，.4.【2020屆安徽蚌埠二中期中考試】如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，（I）證明：平面AEC⊥平面BED；（II）若∠ABC=120°，AE⊥EC,三棱錐E?ACD的體積為【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由四邊形ABCD為菱形知AC⊥BD，由BE⊥平面ABCD知AC⊥BE，由線面垂直判定定理知AC⊥平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）設(shè)AB=x，通過(guò)解直角三角形將AG、GC、GB、GD用x表示出來(lái)，在RtΔAEC中，用x表示EG，在RtΔEBG中，用x表示EB，根據(jù)條件三棱錐E?ACD的體積為63求出x，即可求出三棱錐E?ACD解：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED（Ⅱ）設(shè)AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=32x,GB=GD=x因?yàn)锳E⊥EC，所以在RtΔAEC中，可得EG=32x由BE⊥平面ABCD，知ΔEBG為直角三角形，可得BE=22由已知得，三棱錐E-ACD的體積VE?ACD=1從而可得AE=EC=ED=6.所以ΔEAC的面積為3，ΔEAD的面積與ΔECD的面積均為5.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+5.【2020屆上海市普陀區(qū)高考一模】如圖所示的三棱