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文檔簡(jiǎn)介
雙曲型方程的差分解法
一階線性雙曲型方程最簡(jiǎn)單的形式為(10.4.1)當(dāng)給定初始條件(10.4.2)以后,容易驗(yàn)證,雙曲型方程(10.4.1)的解為:(10.4.3)也就是說(shuō),在平面
xt上,沿著(k
是常數(shù))
這樣的直線,u的值保持不變。這種直線叫做特征線。0xta>00xta<0這是個(gè)單向的傳播波,a>0時(shí),波形
(x)沿x軸方向傳播,為右傳播波,a<0時(shí),為左傳播波,在傳播過(guò)程中,波形均不發(fā)生變化。在物理上常見(jiàn)的雙曲型偏微分方程最簡(jiǎn)單模型是波動(dòng)方程其中,如果引進(jìn)變量則得到與波動(dòng)方程等價(jià)的方程組(10.4.4)(10.4.6)(10.4.5)10.4.1矩形網(wǎng)格用兩組平行直線族xj=jh,
tn=n
(j=0,
1,…,n=0,1,2…)構(gòu)成的矩形網(wǎng)覆蓋了xt平面,網(wǎng)格點(diǎn)(xj,tn)稱為結(jié)點(diǎn),簡(jiǎn)記為(j,n),h、
為常數(shù),分別稱為空間步長(zhǎng)及時(shí)間步長(zhǎng),或稱h為沿x方向的步長(zhǎng),稱
為沿t方向的步長(zhǎng),,N為正整數(shù)。在t=0上的結(jié)點(diǎn)稱為邊界結(jié)點(diǎn),其余所有屬于
內(nèi)的結(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。txoh
(xj,tn)a)迎風(fēng)格式
ut(xj,tn)用向前差商代替,ux(xj,tn)用向前或向后差商代替,得10.4.2一階雙曲方程的差分法或令r=
/h,得截?cái)嗾`差均為節(jié)點(diǎn)分布圖:
*
***
(j,n)(10.4.7)(10.4.8)穩(wěn)定性的討論:令代入(10.4.7)得傳播因子當(dāng)a>0時(shí),恒有,格式(10.4.7)不穩(wěn)定;當(dāng)a<0且ar
1時(shí),,格式(10.4.7)穩(wěn)定。
格式(10.4.8)在a<0時(shí)不穩(wěn)定,在a>0且ar
1時(shí)穩(wěn)定。
將迎風(fēng)格式寫為統(tǒng)一形式:穩(wěn)定性條件為:(10.4.9)b)Lax-Friedrichs格式該格式構(gòu)造于1954年,用到
的技巧,截?cái)嗾`差為:節(jié)點(diǎn)分布圖:
*
***
(j,n)(10.4.10)傳播因子時(shí)穩(wěn)定。當(dāng)
時(shí),,即格式(10.4.10)在c)Lax-Wendroff格式截?cái)嗾`差為節(jié)點(diǎn)分布圖:
*
***
(j,n)傳播因子當(dāng)時(shí)有,即格式在條件下穩(wěn)定。d)古典隱式格式ut用向后差商代替,ux用中心差商代替得截?cái)嗾`差為:傳播因子:對(duì)任意的網(wǎng)格比,均有,故古典隱格式絕對(duì)穩(wěn)定。e)Grank-Nicholson格式在()處展開(kāi),由及中心差商以式而得到:截?cái)嗾`差為:絕對(duì)穩(wěn)定10.4.3二階雙曲型方程的差分格式直接構(gòu)造方程的差分格式utt,uxx均用中心差商代替之,得其中網(wǎng)格比:截?cái)嗾`差b)隱格式利用關(guān)系可得三層隱式格式:截?cái)嗾`差:絕對(duì)穩(wěn)定期末考試上機(jī)實(shí)習(xí):1.
列主元高斯消元法解方程組Ax=b2.
平方根法解方程組Ax=b3.
雅可比迭代法和高斯-賽德?tīng)柕ń夥匠探MAx=b4.
乘冪法求矩陣A的最大特征值和特征向量
6.
樣條函數(shù)方法8.
龍貝格積分7.
最小二乘法(Excel)9.
龍格-庫(kù)塔方法5.
雅可比方法求矩陣A的全部特征值和特征向量
(可用軟件做)期末考試筆試題:2.第二章非線性方程求根:二分法、迭代法、牛頓法和弦截法要求:根的存在,公式,收斂性定理,收斂條件的判別3.第三章解線性方程組的直接法:掌握Gauss消元法進(jìn)行到底的條件,矩陣三角分解定理的條件和結(jié)論,向量和矩陣的范數(shù),方程組的條件數(shù)與病態(tài)方程組的求解4.第四章解線性方程組的迭代法:雅可比迭代法,高斯-賽德?tīng)柕?;要求:求解公式,收斂條件。1.概念題和思考題5.函數(shù)插值:拉格朗日插值,牛頓插值,埃米爾特插值要求:插值公式,余項(xiàng)公式6.數(shù)值積分:插值型求積公式(矩形、梯形、辛普生、龍貝格)。公式和誤差,代數(shù)精確度的概念。7.
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