人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章第2節(jié)微專題構(gòu)造法解f(x)與f′(x)共存問題課件

第三章

導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用微專題構(gòu)造法解f(x)與f′(x)共存問題以抽象函數(shù)為背景，題設(shè)條件或所求結(jié)論中具有f(x)與f′(x)共存的不等式，旨在考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的逆向、變形應(yīng)用能力的客觀題，是近幾年高考中的一個(gè)熱點(diǎn)．解答這類問題的策略是將f(x)與f′(x)共存的不等式與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合起來，合理構(gòu)造出相關(guān)的可導(dǎo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題．類型一構(gòu)造和、差型可導(dǎo)函數(shù)【例1】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)＝20，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)＞6x2＋2，則不等式f(x)＞2x3＋2x的解集為(

)A．{x|x＞－2}B．{x|x＞2}C．{x|x＜2}D．{x|x＜－2或x＞2}√B

解析：令函數(shù)F(x)＝f(x)－2x3－2x，則F′(x)＝f′(x)－6x2－2.由題可知f′(x)＞6x2＋2，所以f′(x)－6x2－2＞0，即F′(x)＞0，所以F(x)在R上單調(diào)遞增．因?yàn)镕(2)＝f(2)－2×23－2×2＝0，故f(x)＞2x3＋2x等價(jià)于F(x)＞F(2)，所以所求不等式的解集為{x|x＞2}．思維建模若已知f′(x)＞G(x)，解不等式f(x)＞g(x)，其中g(shù)(x)，G(x)都是具體函數(shù)，且g′(x)＝G(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)．類型二構(gòu)造積、商型可導(dǎo)函數(shù)【例2】已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．若對任意實(shí)數(shù)x，有f(x)＞f′(x)，且f(x)＋2024為奇函數(shù)，則不等式f(x)＋2024ex＜0的解集為(

)A．(－∞，0) B．(－∞，ln2024)C．(0，＋∞) D．(2024，＋∞)√

【例3】已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，2f(x)＋xf′(x)＞0，且f(2)＝0，則不等式f(x)＞0的解集為________________．(－2，0)∪(2，＋∞)

解析：設(shè)g(x)＝x2f(x)(x∈R)，因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以易得g(x)為R上的奇函數(shù)．因?yàn)間′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，又當(dāng)x＞0時(shí)，2f(x)＋xf′(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又因?yàn)間(x)為R上的奇函數(shù)，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，g(0)＝0.因?yàn)間(2)＝4f(2)＝0，所以g(－2)＝－g(2)＝0，作出g(x)的簡圖如圖．?dāng)?shù)形結(jié)合可得g(x)＝x2f(x)