人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章學(xué)科特色規(guī)范解答系列(一)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題學(xué)案_第1頁
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(12分)(2023·新高考全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)a＞0時，f(x)＞2lna＋32思維拆解規(guī)范解答閱卷細則第一步：求導(dǎo)．第二步：對a分類討論，判斷f′(x)的符號，得函數(shù)f(x)的單調(diào)性．第三步：利用(1)的結(jié)論，求函數(shù)f(x)的最值．第四步：構(gòu)造函數(shù)g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－32第五步：求函數(shù)g(a)的最小值，得結(jié)論．(1)解：f′(x)＝aex－1，1分當(dāng)a≤0時，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減．2分當(dāng)a＞0時，令f′(x)＞0，得x＞－lna；令f′(x)＜0，得x＜－lna，3分所以函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．4分綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．5分(2)證明：由(1)可得當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值為f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna．6分令g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－32＝a2－lna－12，a所以g′(a)＝2a－1a令g′(a)＞0，得a＞22；令g′(a)＜0，得0＜a＜22所以函數(shù)g(a)在0，22所以函數(shù)g(a)的極小值也是最小值為g22＝222－ln22－12＝所以當(dāng)a＞0時，f(x)＞2lna＋32(1)正確求導(dǎo)得1分．(2)寫出a≤0時的單調(diào)性得1分．(3)a＞0時，正確解不等式得1分．(4)寫出a＞0時的單調(diào)性得1分．(5)綜述單調(diào)性得1分．(6)求出a＞0時f(x)的最小值得1分．(7)構(gòu)造函數(shù)g(x)得1分．(8)研究g(a)的單調(diào)性得2分．(9)寫

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