第6章 第1課時(shí)　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．常考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)與求和．以解答題為主，常以數(shù)列遞推關(guān)系為載體，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法、數(shù)列求和的方法以及與不等式的交匯等．2．輪考點(diǎn)：等差(比)數(shù)列的性質(zhì)、基本量的運(yùn)算．以小題為主，主要是借助等差(比)數(shù)列的定義、公式考查通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的方法．第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法[考試要求]1．了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表法、圖象法、函數(shù)解析式法).2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).1．?dāng)?shù)列的定義一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．提醒：數(shù)列是特殊的函數(shù)，其自變量為正整數(shù)集N*或{1，2，…，n}．2．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an遞減數(shù)列an＋1＜an其中n∈N*常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3．?dāng)?shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和函數(shù)解析式法．4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．5．?dāng)?shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．6．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和(1)表示：在數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．(2)an與Sn的關(guān)系：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝S提醒：若a1滿足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，則不需要分段．[常用結(jié)論]在數(shù)列{an}中，若an最大，則an≥an?1，a一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)數(shù)列1，2，3與數(shù)列3，2，1是相同數(shù)列． ()(2)1，1，1，1，…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列． ()(3)任何一個(gè)數(shù)列都有唯一的通項(xiàng)公式． ()(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P5例2改編)數(shù)列－1，12，－13，14A．a(chǎn)n＝±1n B．a(chǎn)n＝(－1)n·C．a(chǎn)n＝(－1)n+1·1n D．a(chǎn)n＝B[由a1＝－1，代入檢驗(yàn)可知選B.]2．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P8練習(xí)T3改編)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋1an，則aA．2 B．32C．53 D．D[由題意，令n＝1，可得a2＝1＋1a令n＝2，可得a3＝1＋1a2＝1＋12令n＝3，可得a4＝1＋1a3＝1＋13令n＝4，可得a5＝1＋1a4＝1＋153．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P8練習(xí)T4改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則an＝________．2，n=1，2n?1，n≥2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1.顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式，故an＝2，4．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P8練習(xí)T1改編)下列從左到右排列的圖形中，小正方形個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝________．n2[由題圖可知，從中間一行向上、向下每經(jīng)過(guò)一行，小正方形數(shù)量減少1個(gè)，直至減少到1，所以an＝n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1，所以an＝n＋2·1+n?1n?12＝考點(diǎn)一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式[典例1](1)(2024·山東菏澤模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若滿足Sn＝4an－3，則Sn＝()A．425n?1C．343n?1 (2)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________．(1)C(2)2，n=1，2n?1n，n≥2，n∈N?[(1)當(dāng)n當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝4(Sn－Sn－1)－3，3Sn＝4Sn－1＋3，Sn＝43Sn－1Sn＋3＝43(Sn－1＋3)，又S1所以{Sn＋3}是首項(xiàng)為4，公比為43所以Sn＋3＝4×43n?1，Sn＝4×43(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，②由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，∴an＝2n?1n(n≥2，n∈N顯然當(dāng)n＝1時(shí)不滿足上式，∴an＝2，1．已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)利用a1＝S1求出a1.(2)當(dāng)n≥2時(shí)，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表達(dá)式．(3)看a1是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)，否則應(yīng)寫(xiě)成分段的形式，即an＝S2．Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的條件是n≥2，轉(zhuǎn)化后往往能構(gòu)造等差或等比數(shù)列或用累加、累乘等方法求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(多選)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)n＝1nn?1 B．a(chǎn)nC．Sn＝－1n D．?dāng)?shù)列1(2)若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，且a1+a2＋…＋an＝n2＋n，則a1＋a(1)BCD(2)2n2＋2n[(1)∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，兩邊同除以Sn＋1·Sn，得1Sn∴1S即1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－1n+1又a1＝－1不適合上式，∴an＝?1，(2)由題意得當(dāng)n≥2時(shí)，an＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2，∴a1＝4，符合上式，∴an＝4n2，an∴a1＋a22＋…＋ann＝12n(4＋4n)＝2【教師備選資源】1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，則an＝________．4n－5[a1＝S1＝2－3＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5．]2．已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．－2n-1[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1．②①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首項(xiàng)a1＝－1，公比q＝2的等比數(shù)列．∴an＝a1·qn-1＝－2n-1．]考點(diǎn)二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式[典例2](1)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝n?1nan－1(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________(3)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．(4)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2anan+2(n∈N*)，則數(shù)列{(1)n2+n2(2)1n(3)2·3n-1－1(4)2n[(1)由題意得a2－a1＝2，a3∴an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n?12+n∵a1＝1，∴an＝n2+n2∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式，∴an＝n2(2)∵an＝n?1nan－1(n≥∴an－1＝n?2n?1an－2，an－2＝n?3n?2an－3，…，a2＝12以上(n－1)個(gè)式子相乘得，an＝a1·12·23·…·n?1n當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，符合上式，∴an＝1n(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n-1，∴an＝2·3n-1－1.(4)∵an＋1＝2anan+2，a1∴1an+1＝1a又a1＝2，則1a1＝∴1an是以12∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn+1，則數(shù)列{an(2)已知a1＝2，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．(3)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．(1)4－1n(2)2n2?n+22(3)n?12·2n[(1)∵an∴當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝1n?1an－1－an－2＝1n?2…，a2－a1＝1－12∴以上各式相加得an－a1＝1－1n，又a1∴an＝4－1n(n≥2)，a1＝3適合上式，∴an＝4－1(2)∵an+1∴當(dāng)n≥2時(shí)，anan?1＝2n-1，an?1…，a3a2＝22∴an＝anan?1·a＝2n-1·2n-2·…·22·2·2＝21+2+3+…＋(n-1)·2＝2(又a1＝2滿足上式，∴an＝2n(3)∵an＋1＝2an＋2n+1，∴兩邊同除以2n+1，得an+12又a1＝1，∴an2n∴an2n＝12＋(n－1)×1＝即an＝n?12·2n考點(diǎn)三數(shù)列的函數(shù)特性數(shù)列的周期性[典例3]在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝3+an1?3an，Sn是數(shù)列{a3[因?yàn)閍1＝0，an＋1＝3+所以a2＝31＝3a3＝3+31?3×a4＝3?所以數(shù)列{an}的取值具有周期性，且周期為3，又a1＋a2＋a3＝0，所以S2024＝S3×674＋2＝a1＋a2＝3.]數(shù)列的單調(diào)性[典例4]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n+k2n，若數(shù)列{aA．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)D[因?yàn)閍n＋1－an＝3n＝3?3n?k2n+1對(duì)任意n∈N*，an＋1－an＝3?3n?k2n+1<0，所以k>3－3n對(duì)任意n∈N*恒成立，所以k點(diǎn)撥：{an}是遞增數(shù)列?an＋1＞an，{an}是遞減數(shù)列?an＋1＜an.數(shù)列的最值[典例5]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋1)·1011n，則數(shù)列{aA．a(chǎn)8或a9 B．a(chǎn)9或a10C．a(chǎn)10或a11 D．a(chǎn)11或a12B[結(jié)合f(x)＝(x＋1)1011設(shè)數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為an，則a所以n解不等式組可得9≤n≤10.所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a9或a10．]1．解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求解．2．判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法(1)作差(商)法．(2)目標(biāo)函數(shù)法：寫(xiě)出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去．3．求數(shù)列中最大(小)項(xiàng)的兩種方法(1)根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解．(2)利用不等式組an≥an?1，a[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝1+an1?anA．2B．－3C．－12D．(2)(2024·湖北武漢模擬)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝2n3n?49，則使得Sn取得最小值的n(1)D(2)16[(1)因?yàn)閍1＝2，an＋1＝1+an1?an，所以a2＝1+a11?a1＝－3，同理可得a3＝－12，a4＝13，a5＝2，a6＝－3，a7＝－12，a8＝13，…，可得an＋4＝(2)由an＝2n3n?49得an＝23+983×13n?49，當(dāng)n≤16時(shí)，13n?49單調(diào)遞減，且13n?49<0，當(dāng)n＝1時(shí)，a1<0，故當(dāng)n≤16時(shí)，an<0，當(dāng)n≥17時(shí)，【教師備選資源】1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n3nA．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 D．常數(shù)列A[∵an＋1－an＝n+13n+4?n3n+1＝2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝28，an+1485[由an＋1－an＝2n，a1＝28，可得an＝n2－n＋28，∴ann＝n設(shè)f(x)＝x＋28x，可知f(x)在(0，27)上單調(diào)遞減，在(27，＋∞)上單調(diào)遞增，又n∈N*，且a55＝485<故ann的最小值為課時(shí)分層作業(yè)(三十六)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法一、單項(xiàng)選擇題1．已知數(shù)列2，5，22，…，則2A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng)C．第7項(xiàng) D．第8項(xiàng)C[由數(shù)列2，5，22，…的前三項(xiàng)2，5，8可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2+3n?1＝3n?12．(2023·北京豐臺(tái)二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝n2－1，則a3＝()A．－5 B．5C．7 D．8B[因?yàn)镾n＝n2－1，所以a3＝S3－S2＝(32－1)－(22－1)＝5.故選B.]3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an+2，n為偶數(shù)，an+3，nA．18 B．16C．11 D．6B[b4＝a7＝a6＋2＝(a5＋3)＋2＝a5＋5＝(a4＋2)＋5＝a4＋7＝(a3＋3)＋7＝a3＋10＝(a2＋2)＋10＝a2＋12＝(a1＋3)＋12＝1＋15＝16.故選B.]4．(2024·廣西防城港模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝11?an，若a1＝12A．－2 B．－1C．12 D[a1＝12，則a2＝11?a1＝11?12＝2，a3＝11?a2＝11?2＝－1，故{an}為周期為3的數(shù)列，因?yàn)?024＝674×3＋2，所以a2024＝a2＝2.故選D.]5．(2024·江西吉安模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝()A．2n B．nC．n2＋1 D．n＋1A[由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，則anan?1＝nn?1，a由累乘法可得ana1＝n，所以an＝2n(又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.故選A.]6．已知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋2n＋m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)A[當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋2n＋m－[－(n－1)2＋2(n－1)＋m]＝－2n＋3，故可知當(dāng)n≥2時(shí)，{an}單調(diào)遞減，故{an}為遞減數(shù)列，只需滿足a2<a1，即－1<1＋m?m>－2.故選A.]7．已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2n－11，且a1＝10，則an的最小值是()A．－15 B．－14C．－11 D．－6A[∵an＋1－an＝2n－11，∴當(dāng)n≤5時(shí)，an＋1－an<0，當(dāng)n>5時(shí)，an＋1－an>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6<a7<a8<…，顯然an的最小值是a6.又an＋1－an＝2n－11，∴a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝10＋(－9)＋(－7)＋(－5)＋(－3)＋(－1)＝－15，即an的最小值是－15.故選A.]8．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，數(shù)列an+n2A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C．先遞增后遞減 D．先遞減后遞增A[設(shè)an+n2n＝k(k為常數(shù))，∴an＝k·∵an>0，∴k>n2n，易得k>an－an－1＝k·2n－n－k·2n-1＋n－1＝k·2n-1－1>12×21－1＝0(n≥∴an－an－1>0，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．故選A.]二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·廣東惠州模擬)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，且an＋1＝2an＋1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)3＝7B．?dāng)?shù)列{an＋1}是等比數(shù)列C．a(chǎn)n＝2n－1D．Sn＝2n+1－n－1AB[∵an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，B正確；an＋1＝2n，∴an＝2n－1，C錯(cuò)誤；a3＝7，A正確；Sn＝21?2n1?2－n＝2n故選AB.]10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2)·67A．?dāng)?shù)列{an}的最小項(xiàng)是a1B．?dāng)?shù)列{an}的最大項(xiàng)是a4C．?dāng)?shù)列{an}的最大項(xiàng)是a5D．當(dāng)n≥5時(shí)，數(shù)列{an}遞減BCD[假設(shè)第n項(xiàng)為{an}的最大項(xiàng)，則a即n所以n≤5，n≥4，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故數(shù)列{an}中a4與a5均為最大項(xiàng)，且a4＝a5＝6三、填空題11．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．2，n=1，6n?5，n≥2，n∈N?[當(dāng)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式．故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2，12．已知數(shù)列{an}滿足下列條件：①是無(wú)窮數(shù)列；②是遞減數(shù)列；③每一項(xiàng)都是正數(shù)．寫(xiě)出一個(gè)符合條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：an＝________．1n(答案不唯一)[符合條件的數(shù)列有1n，四、解答題13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，從①an＝n－Sn；②bn＝an－1；③Tn＝12[證明]選①②作為條件證明③.因?yàn)閍n＝n－Sn，所以當(dāng)n＝1