2015年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)試卷

2015年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）2的相反數(shù)是（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣2．（3分）有一組數(shù)據(jù)：3，5，5，6，7，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）A．3 B．5 C．6 D．73．（3分）月球的半徑約為1738000m，1738000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．1.738×106 B．1.738×107 C．0.1738×107 D．17.38×1054．（3分）若m＝×（﹣2），則有（）A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣2＜m＜﹣1 D．﹣3＜m＜﹣25．（3分）小明統(tǒng)計(jì)了他家今年5月份打電話的次數(shù)及通話時(shí)間，并列出了頻數(shù)分布表：通話時(shí)間x/min0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤20頻數(shù)（通話次數(shù)）201695則通話時(shí)間不超過15min的頻率為（）A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.96．（3分）若點(diǎn)A（a，b）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則代數(shù)式ab﹣4的值為（）A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣67．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∠BAD＝35°，則∠C的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．60°8．（3分）若二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點(diǎn)（2，0）且平行于y軸的直線，則關(guān)于x的方程x2+bx＝5的解為（）A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝59．（3分）如圖，AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，連接AO，AO與⊙O交于點(diǎn)C，BD為⊙O的直徑，連接CD．若∠A＝30°，⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．﹣ B．﹣2 C．π﹣ D．﹣10．（3分）如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測站，AB＝2km、從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長）為（）A．4km B．（2+）km C．2km D．（4﹣）km二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上）11．（3分）計(jì)算：a?a2＝．12．（3分）如圖，直線a∥b，∠1＝125°，則∠2的度數(shù)為．13．（3分）某學(xué)?！澳阕钕矏鄣那蝾愡\(yùn)動”調(diào)查中，隨機(jī)調(diào)查了若干名學(xué)生（每個(gè)學(xué)生分別選了一項(xiàng)球類運(yùn)動），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖．已知其中最喜歡羽毛球的人數(shù)比最喜歡乒乓球的人數(shù)少6人，則該校被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為名．14．（3分）分解因式：a2﹣4b2＝．15．（3分）如圖，轉(zhuǎn)盤中8個(gè)扇形的面積都相等，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí)，指針指向大于6的數(shù)的概率為．16．（3分）若a﹣2b＝3，則9﹣2a+4b的值為．17．（3分）如圖，在△ABC中，CD是高，CE是中線，CE＝CB，點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)F對稱，過點(diǎn)F作FG∥CD，交AC邊于點(diǎn)G，連接GE．若AC＝18，BC＝12，則△CEG的周長為．18．（3分）如圖，四邊形ABCD為矩形，過點(diǎn)D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點(diǎn)E，取BE的中點(diǎn)F，連接DF，DF＝4．設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，則x2+（y﹣4）2的值為．三、答案題（本大題共10小題，滿分76分按答案過程寫在答題卡相應(yīng)位置上，答案時(shí)應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程，推演步驟或文字說明，作圖時(shí)用2B鉛筆會黑色墨水簽字筆）19．（5分）計(jì)算：+|﹣5|﹣（2﹣）0．20．（5分）解不等式組：．21．（6分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．22．（6分）甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)為校文化藝術(shù)節(jié)制作彩旗．已知甲每小時(shí)比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗與乙做50面彩旗所用時(shí)間相等，問：甲、乙每小時(shí)各做多少面彩旗？23．（8分）一個(gè)不透明的口袋中裝有2個(gè)紅球（記為紅球1、紅球2），1個(gè)白球、1個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻．（1）從中任意摸出1個(gè)球，恰好摸到紅球的概率是（2）先從中任意摸出一個(gè)球，再從余下的3個(gè)球中任意摸出1個(gè)球，請用列舉法（畫樹狀圖或列表），求兩次都摸到紅球的概率．24．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧．設(shè)兩弧交于點(diǎn)D，與AB、AC的延長線分別交于點(diǎn)E、F，連接AD、BD、CD（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若BC＝6，∠BAC＝50°，求弧DE、弧DF的長度之和（結(jié)果保留π）．25．（8分）如圖，已知函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）．過點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，AC與BD交于點(diǎn)F．一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、D，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)E（1）若AC＝OD，求a、b的值；（2）若BC∥AE，求BC的長．26．（10分）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)．過點(diǎn)B作BE∥AD，交⊙O于點(diǎn)E，連接ED（1）求證：ED∥AC；（2）若BD＝2CD，設(shè)△EBD的面積為S1，△ADC的面積為S2，且S12﹣16S2+4＝0，求△ABC的面積．27．（10分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線l．設(shè)P為對稱軸l上的點(diǎn)，連接PA、PC，PA＝PC（1）∠ABC的度數(shù)為；（2）求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在著點(diǎn)Q（與原點(diǎn)O不重合），使得以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最?。咳绻嬖?，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．28．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝acm，AB＝bcm（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切，現(xiàn)有動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)停止移動．⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動到與CD相切時(shí)立即沿原路按原速返回，當(dāng)⊙O回到出發(fā)時(shí)的位置（即再次與AB相切）時(shí)停止移動，已知點(diǎn)P與⊙O同時(shí)開始移動，同時(shí)停止移動（即同時(shí)到達(dá)各自的終止位置）．（1）如圖①，點(diǎn)P從A→B→C→D，全程共移動了cm（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）如圖①，已知點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，移動2s到達(dá)B點(diǎn)，繼續(xù)移動3s，到達(dá)BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P與⊙O的移動速度相等，求在這5s時(shí)間內(nèi)圓心O移動的距離；（3）如圖②，已知a＝20，b＝10，是否存在如下情形：當(dāng)⊙O到達(dá)⊙O1的位置時(shí)（此時(shí)圓心O1在矩形對角線BD上），DP與⊙O1恰好相切？請說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）2的相反數(shù)是（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣【答案】解：根據(jù)相反數(shù)的含義，可得2的相反數(shù)是：﹣2．故答案為：C．2．（3分）有一組數(shù)據(jù)：3，5，5，6，7，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】解：這組數(shù)據(jù)中5出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為5．故答案為：B．3．（3分）月球的半徑約為1738000m，1738000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．1.738×106 B．1.738×107 C．0.1738×107 D．17.38×105【答案】解：將1738000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.738×106．故答案為：A．4．（3分）若m＝×（﹣2），則有（）A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣2＜m＜﹣1 D．﹣3＜m＜﹣2【答案】解；m＝×（﹣2）＝，∵，∴，故答案為：C．5．（3分）小明統(tǒng)計(jì)了他家今年5月份打電話的次數(shù)及通話時(shí)間，并列出了頻數(shù)分布表：通話時(shí)間x/min0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤20頻數(shù)（通話次數(shù)）201695則通話時(shí)間不超過15min的頻率為（）A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9【答案】解：∵不超過15分鐘的通話次數(shù)為20+16+9＝45次，通話總次數(shù)為20+16+9+5＝50次，∴通話時(shí)間不超過15min的頻率為＝0.9，故答案為：D．6．（3分）若點(diǎn)A（a，b）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則代數(shù)式ab﹣4的值為（）A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6【答案】解：∵點(diǎn)（a，b）反比例函數(shù)y＝上，∴b＝，即ab＝2，∴原式＝2﹣4＝﹣2．故答案為：B．7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∠BAD＝35°，則∠C的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．60°【答案】解：AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD是∠BAC的平分線，∠B＝∠C，∵∠BAD＝35°，∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，∴∠C＝（180°﹣70°）＝55°．故答案為：C．8．（3分）若二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點(diǎn)（2，0）且平行于y軸的直線，則關(guān)于x的方程x2+bx＝5的解為（）A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝5【答案】解：∵對稱軸是經(jīng)過點(diǎn)（2，0）且平行于y軸的直線，∴﹣＝2，解得：b＝﹣4，∴關(guān)于x的方程為x2﹣4x＝5，解得x1＝﹣1，x2＝5，故答案為：D．9．（3分）如圖，AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，連接AO，AO與⊙O交于點(diǎn)C，BD為⊙O的直徑，連接CD．若∠A＝30°，⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．﹣ B．﹣2 C．π﹣ D．﹣【答案】解：過O點(diǎn)作OE⊥CD于E，∵AB為⊙O的切線，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，∵⊙O的半徑為2，∴OE＝1，CE＝DE＝，∴CD＝2，∴圖中陰影部分的面積為：﹣×2×1＝π﹣．故答案為：A．10．（3分）如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測站，AB＝2km、從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長）為（）A．4km B．（2+）km C．2km D．（4﹣）km【答案】解：方法一：在CD上取一點(diǎn)E，使BD＝DE，設(shè)BD＝DE＝xkm．∵BD＝DE，∴∠EBD＝45°，由題意可得∠CAD＝45°，∴AD＝DC，∵從B測得船C在北偏東22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC，∵AB＝AD﹣BD＝2km，∴EC＝BE＝DC﹣DE＝2km，∵BD＝DE＝x，∴CE＝BE＝x，∴2+x＝x+x，解得x＝．∴DC＝（2+）km．方法二：過點(diǎn)B作BE⊥AC，由題意可得，∠EAB＝45°，AB＝2km，故AE＝BE＝km，由題意可得∠CAD＝45°，∴AD＝DC，∵從B測得船C在北偏東22.5°的方向，∴∠BCE＝∠BCD＝22.5°，∴BE＝BD＝km，∴AD＝DC＝AB+BD＝（2+）km．故答案為：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上）11．（3分）計(jì)算：a?a2＝a3．【答案】解：a?a2＝a1+2＝a3．故答案為：a3．12．（3分）如圖，直線a∥b，∠1＝125°，則∠2的度數(shù)為55°．【答案】解：∵∠1＝125°，∴∠3＝∠1＝125°，∵a∥b，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣125°＝55°．故答案為：55°．13．（3分）某學(xué)校“你最喜愛的球類運(yùn)動”調(diào)查中，隨機(jī)調(diào)查了若干名學(xué)生（每個(gè)學(xué)生分別選了一項(xiàng)球類運(yùn)動），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖．已知其中最喜歡羽毛球的人數(shù)比最喜歡乒乓球的人數(shù)少6人，則該校被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為60名．【答案】解：設(shè)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是x人，則40%x﹣30%x＝6，解得：x＝60．故答案是：60．14．（3分）分解因式：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．【答案】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．故答案為：（a+2b）（a﹣2b）．15．（3分）如圖，轉(zhuǎn)盤中8個(gè)扇形的面積都相等，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí)，指針指向大于6的數(shù)的概率為．【答案】解：∵共8個(gè)數(shù)，大于6的有2個(gè)，∴P（大于6）＝＝，故答案為：．16．（3分）若a﹣2b＝3，則9﹣2a+4b的值為3．【答案】解：∵a﹣2b＝3，∴原式＝9﹣2（a﹣2b）＝9﹣6＝3，故答案為：3．17．（3分）如圖，在△ABC中，CD是高，CE是中線，CE＝CB，點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)F對稱，過點(diǎn)F作FG∥CD，交AC邊于點(diǎn)G，連接GE．若AC＝18，BC＝12，則△CEG的周長為27．【答案】解：∵點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)F對稱，∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)．∵CD⊥AB，F(xiàn)G∥CD，∴FG是△ACD的中位線，AC＝18，BC＝12，∴CG＝AC＝9．∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴GE是△ABC的中位線，∵CE＝CB＝12，∴GE＝BC＝6，∴△CEG的周長＝CG+GE+CE＝9+6+12＝27．故答案為：27．18．（3分）如圖，四邊形ABCD為矩形，過點(diǎn)D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點(diǎn)E，取BE的中點(diǎn)F，連接DF，DF＝4．設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，則x2+（y﹣4）2的值為16．【答案】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y(tǒng)，∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y(tǒng)，∠BCD＝90°．又∵BD⊥DE，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，DF＝4，∴BF＝DF＝EF＝4．∴CF＝4﹣BC＝4﹣y．∴在直角△DCF中，DC2+CF2＝DF2，即x2+（4﹣y）2＝42＝16，∴x2+（y﹣4）2＝x2+（4﹣y）2＝16．故答案是：16．三、答案題（本大題共10小題，滿分76分按答案過程寫在答題卡相應(yīng)位置上，答案時(shí)應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程，推演步驟或文字說明，作圖時(shí)用2B鉛筆會黑色墨水簽字筆）19．（5分）計(jì)算：+|﹣5|﹣（2﹣）0．【答案】解：原式＝3+5﹣1＝7．20．（5分）解不等式組：．【答案】解：，由①得，x≥1，由②得，x＞4，所以，不等式組的解集為x＞4．21．（6分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【答案】解：原式＝?＝，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝＝．22．（6分）甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)為校文化藝術(shù)節(jié)制作彩旗．已知甲每小時(shí)比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗與乙做50面彩旗所用時(shí)間相等，問：甲、乙每小時(shí)各做多少面彩旗？【答案】解：設(shè)乙每小時(shí)做x面彩旗，則甲每小時(shí)做（x+5）面彩旗，依題意有＝，解得：x＝25．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝25是原方程的解．x+5＝25+5＝30．故甲每小時(shí)做30面彩旗，乙每小時(shí)做25面彩旗．23．（8分）一個(gè)不透明的口袋中裝有2個(gè)紅球（記為紅球1、紅球2），1個(gè)白球、1個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻．（1）從中任意摸出1個(gè)球，恰好摸到紅球的概率是（2）先從中任意摸出一個(gè)球，再從余下的3個(gè)球中任意摸出1個(gè)球，請用列舉法（畫樹狀圖或列表），求兩次都摸到紅球的概率．【答案】解：（1）4個(gè)小球中有2個(gè)紅球，則任意摸出1個(gè)球，恰好摸到紅球的概率是；故答案為：；（2）列表如下：紅紅白黑紅﹣﹣﹣（紅，紅）（白，紅）（黑，紅）紅（紅，紅）﹣﹣﹣（白，紅）（黑，紅）白（紅，白）（紅，白）﹣﹣﹣（黑，白）黑（紅，黑）（紅，黑）（白，黑）﹣﹣﹣所有等可能的情況有12種，其中兩次都摸到紅球有2種可能，則P（兩次摸到紅球）＝＝．24．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧．設(shè)兩弧交于點(diǎn)D，與AB、AC的延長線分別交于點(diǎn)E、F，連接AD、BD、CD（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若BC＝6，∠BAC＝50°，求弧DE、弧DF的長度之和（結(jié)果保留π）．【答案】（1）證明：根據(jù)題意得：BD＝CD＝BC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∵BD＝CD＝BC，∴△BDC為等邊三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝60°，∴∠DBE＝∠DCF＝55°，∵BC＝6，∴BD＝CD＝6，∴的長度＝的長度＝＝；∴、的長度之和為+＝．25．（8分）如圖，已知函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）．過點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，AC與BD交于點(diǎn)F．一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、D，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)E（1）若AC＝OD，求a、b的值；（2）若BC∥AE，求BC的長．【答案】解：（1）∵點(diǎn)B（2，2）在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝4，則y＝，∵BD⊥y軸，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，2），OD＝2，∵AC⊥x軸，AC＝OD，∴AC＝3，即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：3，∵點(diǎn)A在y＝的圖象上，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，3），∵一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、D，∴，解得：；（2）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，0），∵BD∥CE，且BC∥DE，∴四邊形BCED為平行四邊形，∴CE＝BD＝2，∵BD∥CE，∴∠ADF＝∠AEC，∴在Rt△AFD中，tan∠ADF＝＝，在Rt△ACE中，tan∠AEC＝＝，∴＝，解得：m＝1，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，0），則BC＝．26．（10分）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)．過點(diǎn)B作BE∥AD，交⊙O于點(diǎn)E，連接ED（1）求證：ED∥AC；（2）若BD＝2CD，設(shè)△EBD的面積為S1，△ADC的面積為S2，且S12﹣16S2+4＝0，求△ABC的面積．【答案】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠E＝∠BAD，∴∠E＝∠DAC，∵BE∥AD，∴∠E＝∠EDA，∴∠EDA＝∠DAC，∴ED∥AC；（2）解：∵BE∥AD，∴∠EBD＝∠ADC，∵∠E＝∠DAC，∴△EBD∽△ADC，且相似比k＝，∴＝k2＝4，即s1＝4s2，∵﹣16S2+4＝0，∴16﹣16S2+4＝0，即＝0，∴S2＝，∵＝＝＝＝3，∴S△ABC＝．27．（10分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線l．設(shè)P為對稱軸l上的點(diǎn)，連接PA、PC，PA＝PC（1）∠ABC的度數(shù)為45°；（2）求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在著點(diǎn)Q（與原點(diǎn)O不重合），使得以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最小？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】解：（1）令x＝0，則y＝﹣m，C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，﹣m），令y＝0，則x2+（1﹣m）x﹣m＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝m，∵0＜m＜1，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，0），∴OB＝OC＝m，∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°；故答案為：45°；（2）如圖1，作PD⊥y軸，垂足為D，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)E，由題意得，拋物線的對稱軸為：x＝，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（，n），∵PA＝PC，∴PA2＝PC2，即AE2+PE2＝CD2+PD2，∴（+1）2+n2＝（n+m）2+（）2，解得：n＝，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，）；（3）存在點(diǎn)Q滿足題意，∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，），∴PA2+PC2＝AE2+PE2+CD2+PD2，＝（+1）2+（）2+（+m）2+（）2＝1+m2，∵AC2＝1+m2，∴PA2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴△PAC是等腰直角三角形，∵以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形，∴由題意可得滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣m，0）或（0，m），①如圖1，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣m，0）時(shí)，若PQ與x軸垂直，則＝﹣m，解得：m＝，PQ＝，若PQ與x軸不垂直，則PQ2＝PE2+EQ2＝（）2+（+m）2＝m2﹣2m+＝（m﹣）2+∵0＜m＜1，∴當(dāng)m＝時(shí)，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵＜，∴當(dāng)m＝，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣，0）時(shí)，PQ的長度最小，②如圖2，當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，m）時(shí)，若PQ與y軸垂直，則＝m，解得：m＝，PQ＝，若PQ與y軸不垂直，則PQ2＝PD2+DQ2＝（）2+（m﹣）2＝m2﹣2m+＝（m﹣）2+，∵0＜m＜1，∴當(dāng)m＝時(shí)，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵＜，∴當(dāng)m＝，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，）時(shí)，PQ的長度最小，綜上所述：當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣，0）或（0，）時(shí)，PQ的長度最?。?8．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝acm，AB＝bcm（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切，現(xiàn)有動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→