2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第02講 立體幾何中的角度、體積、距離問題（學(xué)生版）

第第頁第02講立體幾何中的角度、體積、距離問題【題型歸納目錄】題型一：異面直線所成的角題型二：線面角題型三：二面角題型四：距離問題題型五：體積問題【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)1、求點(diǎn)線、點(diǎn)面、線面距離的方法(1)若P是平面外一點(diǎn)，a是平面內(nèi)的一條直線，過P作平面的垂線PO，O為垂足，過O作OA⊥a，連接PA，則以PA⊥a．則線段PA的長即為P點(diǎn)到直線a的距離(如圖所示)．(2)一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離叫直線與平面的距離．(3)求點(diǎn)面距離的常用方法：①直接過點(diǎn)作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個(gè)直角三角形來求解．②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點(diǎn)轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點(diǎn)到平面的距離來求解．③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解．知識點(diǎn)2、異面直線所成角的常用方法求異面直線所成角的一般步驟：(1)找(或作出)異面直線所成的角——用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線．(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．(3)結(jié)論——設(shè)(2)所求角大小為θ．若，則θ即為所求；若，則即為所求．知識點(diǎn)3、直線與平面所成角的常用方法求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟(1)確定斜線與平面的交點(diǎn)(斜足)；(2)通過斜線上除斜足以外的某一點(diǎn)作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形．知識點(diǎn)4、作二面角的三種常用方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖①，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角．(2)垂直法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．(3)垂線法：過二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線，垂足為B，由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則為二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖③，為二面角的平面角．知識點(diǎn)5、求體積的常用方法選擇合適的底面，再利用體積公式求解．【典例例題】題型一：異面直線所成的角例1．如圖，在長方體中，，且為的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小為(

)

A． B． C． D．題型二：線面角例2．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．題型三：二面角例3．如圖，在四棱錐中，底面是菱形．

(1)若點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．例4．四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．題型四：距離問題例5．在四棱錐中，，，，，為等邊三角形，．(1)證明：平面平面PBC；(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離．例6．在直角梯形中(如圖一)，，，.將沿折起，使(如圖二).

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.題型五：體積問題例7．如圖，在正四棱錐中，，，、、分別為中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)三棱錐的體積.【過關(guān)測試】一、單選題1．在二面角中，，，，，且，，若，，，則二面角的余弦值為(

)

A． B． C． D．2．如圖，矩形ABCD中，，正方形ADEF的邊長為1，且平面平面ADEF，則異面直線BD與FC所成角的余弦值為(

)

A． B． C． D．3．在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．4．如圖所示，四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A．B．平面SCDC．直線SA與平面SBD所成的角等于D．直線SA與平面SBD所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.二、填空題5．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)A到平面距離是______．

6．在四棱錐中，所有側(cè)棱長都為，底面是邊長為的正方形，O是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點(diǎn)，則異面直線OP與BM所成角為___________7．如圖，在直三棱柱中，，，直線與平面所成的角_________．

三、解答題8．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．

(1)求證：//平面；(2)求證：平面平面；(3)求點(diǎn)到面的距離．9．如圖，在三棱臺中，AB=BC=CA=2DF=2，F(xiàn)C=1，∠ACF=∠BCF=90°，G為線段AC中點(diǎn)，H為線段BC上的點(diǎn)，平面FGH．

(1)求證：點(diǎn)H為線