第07講 空間向量的應(yīng)用（七大題型）（教師版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第第頁第07講空間向量的應(yīng)用【題型歸納目錄】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問題題型三：利用向量研究垂直問題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問題【知識點梳理】知識點一：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達式.知識點詮釋：(1)在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．(2)在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運算或向量的坐標(biāo)運算．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當(dāng)取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：(1)幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；(2)幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：(i)設(shè)出平面的法向量為；(ii)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)，；(iii)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；(iv)解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．(1)線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．(2)線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．(3)面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．(1)線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．(2)線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．(3)面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角(1)求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角．(2)求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．(3)求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的大?。诋?dāng)法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的補角的大?。R點五、用向量方法求空間距離1、求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3、點線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離.【典例例題】題型一：求平面的法向量例1．如圖，在棱長為3的正方體中，點在棱上，且．以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求平面的一個法向量.

【解析】因為正方體的棱長為3，，所以，，，則，，設(shè)是平面的法向量，則，，所以，取，則，，故，于是是平面的一個法向量(答案不唯一)．例2．在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：(1)平面的一個法向量；(2)平面的一個法向量.【解析】(1)由題意，可得,連接AC，因為底面為正方形，所以,又因為平面，平面，所以，且，則AC⊥平面，∴為平面的一個法向量.(答案不唯一).(2)設(shè)平面的一個法向量為，則令，得∴即為平面的一個法向量.(答案不唯一).例3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面PCD的一個法向量.【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即為直線PC的一個方向向量.設(shè)平面PCD的一個法向量為＝(x，y，z).因為D(0，，0)，所以＝(0，，－1).則,即令y＝1，則z＝，，則所以平面PCD的一個法向量為.題型二：利用向量研究平行問題例4．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點.分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.

(1)求點E、F的坐標(biāo)；(2)求證：EF∥平面ACD1.【解析】(1)由題意，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點，∴，(2)，，，，∴，∴AC∥EF，∵EF?平面ACD1，AC?平面ACD1，∴EF∥平面ACD1．例5．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.【解析】如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，若，則，，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面平面的其中一個法向量為，所以，即，又因為平面，所以平面.例6．如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．求證：平面平面.【解析】因為，是棱的中點，所以，所以為正三角形.因為為等腰梯形，，所以.取的中點，連接，則，所以.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因為平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面例7．已知棱長為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點，求證：.【解析】因為正方體的棱長為1，分別為棱的中點，所以有，，，，所以，，則有，所以.題型三：利用向量研究垂直問題例8．如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.(1)求證：.(2)求證：平面.【解析】(1)因為四邊形為矩形，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又四邊形為正方形，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，，，，，.所以，，所以，所以，所以(2)由(1)知，，，.設(shè)是平面的法向量，則，，所以，得，取，得，，則.因為，所以，即與共線.所以平面.例9．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.【解析】由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點B為坐標(biāo)原點，分別以BA，BC，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，故＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，，設(shè)平面AA1C1C的法向量為＝(x，y，z)，則，即令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)．設(shè)平面AEC1的法向量為＝(a，b，c)，則，即,令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)．因為＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.例10．如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：平面DEA⊥平面ECA.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz，不妨設(shè)CA＝2，則CE＝2，BD＝1，則，所以，設(shè)平面ECA的一個法向量是，則，取，則，即，設(shè)平面DEA的一個法向量是，則，取，則，即，因為，所以，所以平面DEA⊥平面ECA.例11．如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.【解析】(1)由題意知AD⊥BC，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以過O點且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則，可得，∵∴，即AP⊥BC.(2)由(1)可得，∵M是AP上一點，且AM＝3，∴，可得，設(shè)平面BMC的法向量為，則，令b＝1，則，即，顯然，故∥，∴AM⊥平面BMC.例12．如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.【解析】如圖所示，取BC的中點O，連接AO，因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC，因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，平面ABC，則，，平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1，取B1C1的中點O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則，可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，BA1∩BD＝B，平面，所以AB1⊥平面A1BD.例13．如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明：．

【解析】證明：以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因為正方體棱長為1，分別是的中點，所以，所以，所以，由，所以，即.題型四：異面直線所成的角例14．已知正四棱柱中，，，點，分別是和的中點，是線段的中點，則直線和所成角的余弦值為(

)

A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，則，所以異面直線和所成角的余弦值為.故選：D.例15．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，則，，所以，，所以，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.例16．如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為，則，，，，所以，，設(shè)和所成的角為，則，因為，所以.故選：B例17．在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】過B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，.所以,.設(shè)直線與夾角為，則.故選：C.例18．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．(1)求證：AB⊥A1C；(2)在棱AA1上是否存在一點F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長；若不存在，請說明理由．【解析】(1)證明：因為AA1C1C是邊長為4的正方形，所以AC＝4，又AB＝3，BC＝5，所以BC2＝AB2+AC2，所以AB⊥AC，因為平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，AB?平面ABC，所以AB⊥平面AA1C1C，因為A1C?面AA1C1C，所以AB⊥A1C．(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點，AC，AB，AA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，C1(4，0，4)，B(0，3，0)，設(shè)F(0，0，a)，則(4，0，4)，(0，﹣3，a)，0＜a≤4，因為異面直線AC1與BF所成角為60°，所以|cos，|，解得a＝3，所以F(0，0，3)，則AF＝3，所以在棱AA1上存在一點F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，此時AF＝3．例19．如圖：在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.(1)求證：平面；(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.【解析】(1)證明：取中點，連接?，∵為中點，∴，∵平面，平面，∴平面.∵為中點，∴，又?分別為?的中點，∴，則.∵平面，平面，∴平面.又，?平面.∴平面平面，∵平面∴平面；(3)因為底面，平面，平面，所以，因為，所以以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，依題意，設(shè)，則，進而可得，.由已知，得，整理得，解得或，所以線段的長為或.題型五：線面角例20．如圖，在四棱錐中，底面，，底面為直角梯形，，，，點在棱上，且．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】(1)因為底面，底面，所以，因為，面，所以面，因為面，所以，因為底面為直角梯形，，，，所以在中，，,在中，，，連接，，設(shè)，則，所以，所以，又因為平面，平面，所以平面.(2)因為底面，底面，所以，因為底面為直角梯形，所以，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以,所以，設(shè)平面的一個法向量，所以，取，則，設(shè)直線與平面所成角大小為，因為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.例21．如圖，在長方體中，，，，交于點E.(1)證明：直線平面；(2)求AD與平面所成角的正弦值.【解析】(1)證明：如圖，連接，，長方體中，且，四邊形為平行四邊形，則有，又平面，平面，平面，同理可證，平面，又，平面，平面平面，又平面，直線平面；(2)以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖：得，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，令，得，可得平面的一個法向量為，設(shè)AD與平面所成角大小為，則，與平面所成角的正弦值為.例22．如圖所示，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，.(1)求證：平面；(2)若E為PC的中點，求與平面所成角的正弦值.【解析】(1)作，垂足為，易證，四邊形為正方形.所以，.又，因為，所以.因為平面，平面，所以.

又，平面，平面，所以平面.

(2)以點為坐標(biāo)原點，以所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.

則，，.設(shè)平面的法向量為，由，得，令，可得平面的一個法向量為.

設(shè)與平面所成角為，則.例23．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，M為PC中點．(1)求證：平面MBD；(2)若，求直線BM與平面AMD所成角的正弦值．【解析】(1)連接AC交BD于點O，連接OM，由四邊形ABCD為矩形，可知O為AC中點，M為PC中點，所以，又平面，平面，所以平面MBD.(2)以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．例24．四棱錐中，底面，四邊形是正方形，.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)點為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，則、、、，設(shè)平面的法向量為，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，所以，所以平面平面.(2)因為點為棱的中點，所以，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.例25．在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是的中點.(1)求證：平面；(2)點P在線段上(異于點，)，與平面所成角為，求的值.【解析】(1)因為四邊形為菱形，所以，又因為，，平面，，所以平面.(2)取的中點O，連接，四邊形為菱形，且，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，又因為，與相交，所以平面.取中點D，連結(jié)，以O(shè)為原點，，，為空間基底建立直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，.設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，則，，所以.設(shè)，可得點，.由題意解得或(舍)，即.題型六：二面角例26．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點.

(1)證明：平面平面；(2)求銳二面角的余弦值.【解析】(1)因為直三棱柱，所以平面，因為平面，所以；因為是等邊三角形，是棱的中點，所以；因為平面，且，所以平面，因為平面，所以平面平面(2)分別取的中點為，連接，因為是等邊三角形，是中點，所以，因為直三棱柱，所以平面，因為平面，所以，因為為的中點，所以，所以即兩兩垂直，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，取，則，平面的一個法向量為；則，所以銳二面角的余弦值為例27．如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；(2)當(dāng)時，求二面角的余弦值．【解析】(1)因為底面，平面，所以．因為，，所以．所以，所以．又因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面EAC，所以平面平面PBC．(2)解法一：以點C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．設(shè)點E的坐標(biāo)為，因為，所以，即，，，所以．所以，．設(shè)平面ACE的一個法向量為，則．所以，取，則，．所以平面ACE的一個法向量為．又因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為．設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為．解法二：取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．設(shè)點E的坐標(biāo)為，因為，所以，即，，，所以．所以，．設(shè)平面ACE的一個法向量為，則．所以，取，則，．所以，平面ACE的一個法向量為．又因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為．設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為例28．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，且直線PB與CD所成角的大小為．

(1)求BC的長；(2)求二面角的余弦值．【解析】(1)由于平面ABCD，，所以兩兩垂直，故分別以,,所在直線為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，,0,，,0,，,1,，,0,．設(shè),,，則,0,，,,．直線與所成角大小為，，即，解得或(舍，,2,，則的長為2；(2)設(shè)平面的一個法向量為,,．,0,，,1,，,，令，則，，,1,．平面的一個法向量為，，令，則，，,，由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．

例29．如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，．(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值．【解析】(1)連接，，則和都為正三角形．取中點，連，，則，，又因為平面，所以平面，因為平面，所以.(2)由(1)知，，又因為，所以．如圖所示，分別以，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，因為，，所以取，則

同理，面的一個法向量為，

設(shè)二面角的大小為

，則，所以，平面與平面所成的二面角的正弦值為.例30．如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦.【解析】(1)證明：依題意，平面．如圖，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．依題意，可得，，，，，，．取的中點，連接．因為，，，所以，所以．又因為平面，平面，所以平面．(2)因為,所以，又因為平面，平面，所以，且,,所以平面，又因為平面，所以，且平面,所以平面,平面,所以，，，平面，所以平面，故為平面的一個法向量．設(shè)平面的法向量為，因為所以即，令，得，，故．所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.例31．在四棱錐中，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值．【解析】(1)證明：取BD中點O，連接PO，AO．因為，O為BD中點，所以．在、中，因為，，，，所以，又在中，，所以．又，，所以，又，AO，平面ABCD，所以面ABCD，又面PBD，所以面面ABCD．(2)由于為等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點，所以，由(1)知面ABCD，以O(shè)為原點，OA，OB，OP為x軸，y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面PAD與平面PBC的法向量分別為，，由，和得和令，，則，，設(shè)法向量，所成的角為，則，所以平面PAD與平面PBC所成角的余弦值為．例32．如圖，在三棱錐中，底面．，D為中點，且．(1)求的長；(2)求銳二面角的余弦值．【解析】(1)因為底面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，，所以，即，解得或(舍去)，所以，所以，所以，即的長為.(2)因為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，由(1)可知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，即銳二面角的余弦值為.例33．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱BC的中點，AB=4，AA1=3.(1)證明：A1D⊥B1C1；(2)若E為棱AB上一點，且滿足A1E⊥DE，求二面角A-A1E-C的正弦值【解析】(1)由題易知，為正三角形，連接，由于為的中點，故.平面，平面，.又，，平面，平面.∵在正三棱柱中，，所以平面.又平面，；(2)因為平面，平面，所以．又，，，平面，故平面．又平面，所以．因為為正三角形，為中點，所以點為線段上靠近點的四等分點，則．如圖，取為的中點，以為坐標(biāo)原點，分別以，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則平面的一個法向量為．又，，設(shè)平面的法向量為．則，即，令，則，，故．設(shè)二面角的平面角為，則，則二面角的正弦值為．例34．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，，，點F為PB中點，點E在邊BC上移動．(1)求證：平面AFC；(2)若二面角的大小為60°，則CE為何值時，三棱錐的體積為．【解析】(1)連接，設(shè)，如下圖所示:四邊形ABCD是矩形，所以是的中點，F(xiàn)為PB中點，所以有，而平面，平面，由直線與平面平行的判定定理可知:平面AFC；(2)建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，，則有，而PA⊥平面，所以是平面的法向量，所以有，，設(shè)，，三棱錐的體積為，解得，所以當(dāng)時，三棱錐的體積為．例35．如圖，在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，M，N分別為和的中點，為棱上的點.(1)證明：；(2)是否存在點D，使得平面與平面夾角的余弦值為？如果不存在，請說明理由；如果存在，求線段的長.【解析】(1)證明：由題意，，，兩兩垂直，以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，所以，因為，所以.(2)由題意，平面，所以平面的一個法向量為，因為，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，整理得，，解得，所以存在點，滿足條件.例36．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點E為棱PC的中點，．(1)證明：平面PAD；(2)在棱PC上是否存在點F，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【解析】(1)在PD上找中點G，連接AG，EG，如圖：∵G和E分別為PD和PC的中點，∴，且，又∵底面ABCD是直角梯形，，，∴且．即四邊形ABEG為平行四邊形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；(2)因為平面，平面，所以，又，以A為原點，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，由F為棱PC上一點，設(shè)，，設(shè)平面FAD的法向量為，由可得，解得：，令，則，則，取平面ADC的法向量為，則二面角的平面角滿足：,解得：，解得：或(舍去)，故存在滿足條件的點F，此時．題型七：距離問題例37．如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線，交于點，，，，底面，設(shè)點是的中點．

(1)直線與平面所成角的正弦值；(2)點到平面的距離.【解析】(1)因為四邊形為菱形，所以，又面，故以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，因為，，，且為中點，則，，，，，，故，，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，，故，所以，故直線與平面所成角的正弦值為；(2)由(1)可知，面的一個法向量為，所以點到平面的距離，故點到平面的距離為．例38．如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點到平面AEF的距離．【解析】(1)在直三棱柱中，，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以異面直線所成角的余弦值為．(2)設(shè)平面AEF的一個法向量為，而，則，令，得，又，于是．所以點到平面AEF的距離為．例39．在棱長為4的正方體中，點P在棱上，且．(1)求直線與平面所成的角的正弦值大??；(2)求點P到平面的距離．【解析】(1)連接，由正方體的結(jié)構(gòu)特點易知面，為垂足，所以即為所求的線面角，∵，∴，由勾股定理知，，∴．(2)以D為坐標(biāo)原點，以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，，，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，故有，令，則，故，故點P到平面的距離．例40．如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．(1)求點到平面的距離為；(2)求到平面的距離．【解析】(1)以為原點，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，

設(shè)平面的一個法向量為，則，令，所以平面所的法向量為，又所以點到平面的距離.(2)由(1)可得平面的法向量為，∵，∴，，，∴平面，

所以到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，由，所以到平面的距離為.例41．如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．【解析】(1)圖①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在圖②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，故，則異面直線與所成的角的余弦值為；(2)由(1)得，設(shè)是異面直線與公垂線的方向向量，所以，令，則所以異面直線與之間的距離為.例42．已知點，若點和點在直線上，則點到直線的距離為___________.【答案】/【解析】由題意知，點，，，可得，則，所以，可得，所以點到直線的距離為.故答案為：.例43．已知點，若，兩點在直線l上，則點A到直線l的距離為______.【答案】3【解析】依題意，而，故與方向相同的單位向量為，則所求距離.故答案為:3例44．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中點，M是棱CC1上的點，且CC1=3CM，則直線BM與B1N之間的距離為____.【答案】【解析】正方體的棱長為1，如圖，以D為坐標(biāo)原點，所在方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，.設(shè)直線BM與B1N的公垂線方向上的向量，由，，得，令x=2，則z=6，y=-7，∴，設(shè)直線BM與B1N之間的距離為d，則d===.故答案為：.例45．正方體中，棱長為，則直線與的距離為__________．【答案】【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)和的公共法向量，則，取，得，直線與的距離為：．故直線與的距離為．故答案為：．【過關(guān)測試】一、單選題1．已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則＝()A．﹣3 B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】因為，所以，解得，所以.故選：B2.正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由正方體的性質(zhì)：∥,∥，，，且平面，平面，平面，平面，所以平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面的距離．以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由正方體的棱長為1，所以，，，，，所以，，，．連接，由，，所以，且，可知平面，得平面的一個法向量為，則兩平面間的距離：．故選：D.3．如圖，已知正方體的棱長為a，設(shè)，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，正方體中，棱長為，且，可得，可得，且，則，因為，所以.故選：D.4．已知平面α的一個法向量，點在α內(nèi)，則到α的距離為(

)A．10 B．3C． D．【答案】D【解析】由題意，得，又知平面的一個法向量，則到平面的距離，故選：D.5．下列說法正確的是(

)A．若向量、共線，則向量、所在的直線平行；B．若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線；C．若直線l的方向向量為，平面的法向量，則l；D．若、、是空間三個向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.【答案】B【解析】對選項A，若向量、共線，則向量、所在的直線平行或重合，故A錯誤.對選項B，因為向量、所在的直線是異面直線，所以向量、一定不共線，故B正確.對選項C，因為無法判斷直線是否在平面內(nèi)，故C錯誤.對選項D，只有、、三個向量不共面時，才有，故D錯誤.故選：B6．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，=λ，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則異面直線A1F與BE所成角θ的余弦值為(

)

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為正方體的棱長為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以，又所以，整理得到，解得(舍去),所以，,所以，故cosθ=，故選：B.7．在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，為線段EF上的一動點，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，且，則，，所以，當(dāng)，夾角余弦值最小為，當(dāng)，夾角余弦值最大為，所以直線與所成角的余弦值的取值范圍是.故選：C8．如圖，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面，則(

)A． B． C． D．1【答案】C【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得,，則,所以，設(shè)平面EFC的法向量為，則，解得，令，則，所以平面EFC的一個法向量為.因為平面EFC，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，即.故選：C二、多選題9．下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是(

)A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【解析】對于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對于，兩個不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故正確；對于，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故錯誤；對于，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故錯誤．故選：．10．下列命題是真命題的有(

)A．A，B，M，N是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過三點，是平面α的法向量，則u+t＝1【答案】ABD【解析】對于A，A，B，M，N是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則共面，可得A，B，M，N共面，故A正確；對于B，，故，可得l與m垂直，故B正確；對于C，，故，可得在α內(nèi)或l∥α，故C錯誤；對于D，，易知，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正確．故選：ABD．11．點P在正方體的側(cè)面及其邊界上運動，并保持，若正方體邊長為，則的可能取值是(

)A． B． C． D．【答案】BC【解析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點、、，設(shè)點，，，因為，則，所以，，所以，.故選：BC.12．如圖，為正方體，邊長為1，下列說法正確的是(

)

A．平面 B．到面的距離為C．異面直線與的距離為 D．異面直線與的夾角為【答案】ABC【解析】選項A：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，，，，，，，，，，，，所以，又因平面，平面，，所以平面，A正確；B選項：由A知為平面的法向量，，所以到面的距離為，故B正確，C選項：，，，設(shè)異面直線與的公共法向量為，則，，令，則，，,則異面直線與的距離為，故C正確，D選項：，，，所以異面直線與的夾角的余弦值為，夾角為故D錯誤，故選：ABC三、填空題13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，若點在軸上，且，則M的坐標(biāo)是_____________.【答案】【解析】依題意，設(shè)，因為，，，所以，解得，所以．故答案為：.14．矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．【答案】【解析】方法一：如圖，因為平面,平面,所以,又因為是矩形，所以,因為,所以平面,因為平面，所以,所以為到的距離.在矩形中，因為，所以,在直角三角形中，由勾股定理得,所以到的距離為.故答案為：.方法二：建立如圖所示坐標(biāo)系，在矩形中，，所以，所以,所以,所以為到的距離.,所以到的距離為.故答案為：15．如圖，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】依題意，以為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，，，則，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，，所以是平面的一個法向量.設(shè)與平面所成的角為，.因為，，，則，所以.因為，所以，所以與平面所成角的余弦值為.故答案為：.16．已知空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為_______.【答案】【解析】平面的方程為，所以平面的法向量為，平面與平面的法向量分別為，，設(shè)直線的方向向量為，則，即，取設(shè)直線與平面所成的角為，則.故答案為：.四、解答題17．如圖，在直三棱柱