高考數(shù)學微專題集專題01同構法初探(原卷版+解析)

專題01同構法初探專題01同構法初探一、同構的前半生同構式源于指對跨階的問題，如與屬于跨階函數(shù)，可通過指對跨階函數(shù)進行同構，即，通常選取這三個函數(shù)為母函數(shù)，進行同構式的構造．下面借助一道例題來闡釋如何以上述母函數(shù)構造同構式：【例1】已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)a的最小值．【解析】觀察不等式可知，原不等式中有類似于與的形式，屬于跨階函數(shù)，∴，同構，等價于，∵，在上單調(diào)遞增，∴，∴．【點評】該題原不等式中既含有指數(shù)又含有對數(shù)，屬于指對數(shù)混合型不等式．一般解法是求導根據(jù)函數(shù)單凋性求范圍，但本解法將不等式變形，將形如“”的對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如“”的指數(shù)函數(shù)，使得不等式兩邊都為結(jié)構，構造新函數(shù)再根據(jù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍．二、同構的概念通過前面兩個例題的同構過程，可得同構過程，先通過觀察原不等式的結(jié)構，再對不等式進行變形轉(zhuǎn)化，最后找到這個函數(shù)的模型，即找到不等式兩邊對應的同一個函數(shù)，將問題化繁為簡．像這種找到函數(shù)模型的方法，我們就稱為同構法．同構思路可表示為：若能等價變形為，然后判斷的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性去掉外函數(shù)f，轉(zhuǎn)化為解不等式．簡單地說：同構的兩個特征：一個是，一個式子中出現(xiàn)兩個變量；另一個是，適當變形后，兩邊式子結(jié)構相同．【例2】若，則（）A．B．C．D．【解析】原不等式等價變形為同構函數(shù)，可知在定義域上單調(diào)遞增∴∴對于有正有負，所以C、D錯誤；∵，故A正確，B錯誤．【點評】該不等式兩邊都是含xy的指數(shù)，且兩邊底數(shù)不相同．符合同構法的特征，將不等式變形，使得兩邊各含一個變量，變形后發(fā)現(xiàn)，不等式兩邊的結(jié)構相同且都為“”的形式，因此找到這個函數(shù)的原型，同構函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷出含x與y的大小關系．專題強化訓練1．對下列不等式或方程進行同構變形，并寫出相應的同構函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．2．完成下列各問（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（4）已知不等式對任意正數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實數(shù)a與b的大小關系是_______；（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（8）已知不等式，對恒成立，則k的最大值為_______；（9）若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；3．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.A． B． C． D．4．已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知不等式，對恒成立，則a的取值范圍是______．6．已知是函數(shù)的零點，則_______．7．已知方程有3個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是：______．8．已知實數(shù)a，b(0，2)，且滿足，則a＋b的值為_______．9．已知實數(shù)，滿足，，則______.10．如果，那么的取值范圍是_______．11．比較．12．已知函數(shù),其中．求證：．13．證明：．14．設實數(shù)，若對任意的，關于x的不等式恒成立，證明的最小值為．15．若a是方程的根，證明：a也是方程的根．16．已知函數(shù)，，設，其中，若恒成立，求的取值范圍．專題01同構法初探專題01同構法初探一、同構的前半生同構式源于指對跨階的問題，如與屬于跨階函數(shù)，可通過指對跨階函數(shù)進行同構，即，通常選取這三個函數(shù)為母函數(shù)，進行同構式的構造．下面借助一道例題來闡釋如何以上述母函數(shù)構造同構式：【例1】已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)a的最小值．【解析】觀察不等式可知，原不等式中有類似于與的形式，屬于跨階函數(shù)，∴，同構，等價于，∵，在上單調(diào)遞增，∴，∴．【點評】該題原不等式中既含有指數(shù)又含有對數(shù)，屬于指對數(shù)混合型不等式．一般解法是求導根據(jù)函數(shù)單凋性求范圍，但本解法將不等式變形，將形如“”的對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如“”的指數(shù)函數(shù)，使得不等式兩邊都為結(jié)構，構造新函數(shù)再根據(jù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍．二、同構的概念通過前面兩個例題的同構過程，可得同構過程，先通過觀察原不等式的結(jié)構，再對不等式進行變形轉(zhuǎn)化，最后找到這個函數(shù)的模型，即找到不等式兩邊對應的同一個函數(shù)，將問題化繁為簡．像這種找到函數(shù)模型的方法，我們就稱為同構法．同構思路可表示為：若能等價變形為，然后判斷的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性去掉外函數(shù)f，轉(zhuǎn)化為解不等式．簡單地說：同構的兩個特征：一個是，一個式子中出現(xiàn)兩個變量；另一個是，適當變形后，兩邊式子結(jié)構相同．【例2】若，則（）A．B．C．D．【解析】原不等式等價變形為同構函數(shù)，可知在定義域上單調(diào)遞增∴∴對于有正有負，所以C、D錯誤；∵，故A正確，B錯誤．【點評】該不等式兩邊都是含xy的指數(shù)，且兩邊底數(shù)不相同．符合同構法的特征，將不等式變形，使得兩邊各含一個變量，變形后發(fā)現(xiàn)，不等式兩邊的結(jié)構相同且都為“”的形式，因此找到這個函數(shù)的原型，同構函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷出含x與y的大小關系．專題強化訓練1．對下列不等式或方程進行同構變形，并寫出相應的同構函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．2．完成下列各問（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（4）已知不等式對任意正數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實數(shù)a與b的大小關系是_______；（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（8）已知不等式，對恒成立，則k的最大值為_______；（9）若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；3．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.A． B． C． D．4．已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知不等式，對恒成立，則a的取值范圍是______．6．已知是函數(shù)的零點，則_______．7．已知方程有3個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是：______．8．已知實數(shù)a，b(0，2)，且滿足，則a＋b的值為_______．9．已知實數(shù)，滿足，，則______.10．如果，那么的取值范圍是_______．11．比較．12．已知函數(shù),其中．求證：．13．證明：．14．設實數(shù)，若對任意的，關于x的不等式恒成立，證明的最小值為．15．若a是方程的根，證明：a也是方程的根．16．已知函數(shù)，，設，其中，若恒成立，求的取值范圍．參考答案：1．(1)，.(2)，.(3)，.(4)，.(5)，.(6)，.(7)，.(8)，.分析：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根據(jù)給定的不等式或等式，利用等式不等式性質(zhì)、指對數(shù)式互化變形成不等號或等號兩邊結(jié)構相同的形式，再構建函數(shù)作答.(1)顯然，則，.(2)顯然，則，.(3)顯然，則，.(4)顯然，則，.(5)，.(6)，，.(7)，.(8)，.2．

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.分析：（1）根據(jù)不等式的結(jié)構特征構造函數(shù),轉(zhuǎn)化成恒成立問題，利用參數(shù)分離進行求解.（2）（3）（4）（5）（9）利用，構造不等式形式，以及利用放縮法，采用參數(shù)分離的方式進行求解.（5）（6）（7）（8）分離參數(shù)后利用進行進行求解.【詳解】解析：（1），．又，，令，得或，令，得，所以在，遞減，在遞增，所以，當時，，時，（2），當時，原不等式恒成立；當時，，由于，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以．?），當時，原不等式恒成立；當時，，由（1）中可得，當時，等號成立，所以，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ裕?），由于，所以．（5）．由于，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以．?），由于，兩者都是當且僅當?shù)忍柍闪?，則，所以．（7），由于，兩者都是當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ瑒t，所以．（8），由于，兩者都是當且僅當?shù)忍柍闪?，所以，則，所以．（9），當且僅當，即時等號成立．由有解，，，易知在上遞增，在遞減，所以故答案為:；；；；；；；；【點睛】考查不等式恒成立問題的解法，運用導數(shù)求單調(diào)性以及最值，以及運用，這些常用不等式，適當放縮.考查運算能力和靈活構造處理函數(shù)以及不等式等做題能力.3．C分析：將不等式變形后，構造函數(shù)g(x)，結(jié)合選項對m討論，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值的分布情況，對選項排除驗證即可．【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為>0在上恒成立，記g(x)＝，由基本初等函數(shù)的圖象及導數(shù)的幾何意義可知，y=x+1與y=x-1分別為y=與y=的切線，即,(x=0時等號成立)，（x=1時等號成立），可得(x=0時等號成立)，∴m時，在上恒成立，又在上恒成立，∴在上恒成立，∴m時符合題意，排除A、B；當m>0時，驗證C選項是否符合，只需代入m=3，此時g(x)＝，則，此時0，令)在上單調(diào)遞增，且，∴在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，而0，∴在上恒成立，∴g(x)在上單調(diào)遞增,又g(0)=0，∴g(x)在上恒成立，即m=3符合題意，排除D,故選C.【點睛】本題考查了導數(shù)的應用，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查了分類討論思想，注意小題小做的技巧，是一道綜合題．4．C分析：先利用同構變形得到，構造函數(shù)，，結(jié)合其單調(diào)性和求解的是a的最小值，考慮兩種情況，進行求解，最終求得實數(shù)a的最小值.【詳解】因為，所以，即，構造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，與1的大小不定，但當實數(shù)a最小時，只需考慮其為負數(shù)的情況，此時因為當時，單調(diào)遞減，故，兩邊取對數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．故選：C【點睛】同構法針對與不等式或者等式中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)時，要將兩邊變形得到結(jié)構相同，再構造函數(shù)進行求解.5．分析：由題意可得，，即，構造函數(shù)，由其在上為增函數(shù)，，則，再構造函數(shù)，利用導數(shù)求出其最大值即可【詳解】因為，對恒成立，所以，，所以，所以，所以，令，則因為在上為增函數(shù)，所以，所以，令，則，當時，，當時，，所以當時，取得最大值，即，所以，所以，所以a的取值范圍是故答案為：6．2分析：根據(jù)零點定義可得，整理可得，根據(jù)此時可得成立，代入化簡即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，整理可得，可得當，即成立，又，代入可得.故答案為：.7．分析：令，則由零點的個數(shù)可得導數(shù)有兩個不同的零點，利用導數(shù)討論導函數(shù)的單調(diào)性后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】令，，因為有三個不同的零點，故有兩個不同的零點，，令，則，當時，；當時，；故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故即.當，因為且，故在上有一個零點，而且，，而，故在為減函數(shù)，故，故在上有且只有一個零點，又時，，當時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，其中，而，故，而，因為，，所以，故，而，故在上有且只有一個零點，而，因為，故在上有且只有一個零點，結(jié)合可得當時，有三個不同的零點，故答案為：.【點睛】思路點睛：含參數(shù)的零點問題，注意利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，同時要結(jié)合零點存在定理來判斷函數(shù)值的符號.8．2分析：由，且a，b(0，2)，化簡為：，設，則在上遞增，由，得a＋b的值.【詳解】由，化簡為：，即，設，則在上遞增，因為a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，且，所以，即.故答案為2【點睛】本題考查了等式的化簡，構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求值的問題，屬于中檔題.9．分析：由已知條件考慮將兩個等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)構形式，令，得到，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出關系，即可求解.【詳解】實數(shù)，滿足，，，，則，，所以在單調(diào)遞增，而，.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性應用，換元法是解題的關鍵，構造函數(shù)是難點，屬于中檔題.10．分析：將不等式化簡，構造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求解【詳解】，即，令，在上單調(diào)遞減，則可化為，解得．故答案為：11．分析：比較的兩個數(shù)的結(jié)構為，同時取自然對數(shù)即比較，等價于比較，構造函數(shù)求解．【詳解】解：令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，得，所以．12．證明見解析分析：構造函數(shù)，換元后得到，，利用導函數(shù)求得單調(diào)性和極值，最值，證明出不等式.【詳解】證明：，令，，則，因為，所以令得：，令得：，在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值，也是最小值，易知，故．13．證明見解析分析：根據(jù)對數(shù)恒等式及不等式（取等號）進行放縮即可證明.【詳解】設，則.令，即，解得，當時，；當時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時，取得極小值，也為最小值.，即（當時取等號），由，得，由（當時取等號），得所以（當時取等號）所以，即證．【點睛】解決此類問題的關鍵就是利用對數(shù)恒等式及不等式式（取等號）進行放縮即可.14．證明見解析分析：根據(jù)對數(shù)恒等式及函數(shù)的單調(diào)性得在上恒成立，利用分離參數(shù)法得在恒成立，再利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解.【詳解】令，，，所以在上單調(diào)遞增；，即令，，則當時，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)取的最大值為，即，即證，實數(shù)的最小值為．【點睛】解決此類問題運用同構原理，根據(jù)對數(shù)恒等式及單調(diào)性，再結(jié)合解決函數(shù)橫成立的問題的方法即可.15．證明見解析分析：利用指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，使等式兩邊達