高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)探究與題型突破第18講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(原卷版+解析)

第18講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f′(x0)＝0x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0圖象極值f(x0)為極大值f(x0)為極小值極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn)[提醒](1)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能稱為極值點(diǎn)．(2)在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)，極值不一定是唯一的，有可能有多個(gè)極大值或極小值．(3)極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系．2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題[名師點(diǎn)睛]1.由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性，兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．2.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)；(5)求出極值．[典例]1．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，取得最小值C．當(dāng)時(shí)，取得極大值 D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)2．(2023·江蘇江蘇·高三期末）已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x的圖象在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y＝4x－3，則函數(shù)y＝f(x)的極大值為（

）A．1 B． C． D．－13．(2023·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期末）已知函數(shù)的極小值為a，則a的值為_(kāi)_____.4．（2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．[舉一反三]1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．沒(méi)有極大值C．時(shí)，有極大值 D．時(shí)，有極小值3．(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取極小值，且的極大值為4，則（

）A．-1 B．2 C．-3 D．44．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值，則的取值范圍是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，） D．（0，]5．（2023·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間[0，π)內(nèi)有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（多選）（2023·福建·永安市第三中學(xué)高中校高三期中）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 B．為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極大值7．（多選）(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的（

）A．在時(shí)取極小值 B．在時(shí)取極大值C．是極小值點(diǎn) D．是極小值點(diǎn)8．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)的一個(gè)極大值：__________．9．(2023·山東煙臺(tái)·高三期末）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極大值為_(kāi)_____．10．(2023·天津河西·二模）若函數(shù)在處取得極值，則____________．11．(2023·重慶·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________.12．(2023·湖南常德·一模）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的極值.14．(2023·北京房山·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若在區(qū)間（0，e]存在極小值，求a的取值范圍.考點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值[名師點(diǎn)睛]求函數(shù)f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值．(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，要先求出[a，b]上的極值，與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到．[典例]1．(2023·江蘇·徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)滿足：對(duì)，都有，則函數(shù)的最小值為（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．02．(2023·福建莆田·三模）已知函數(shù)的最小值是4．則（

）A．3 B．4 C．5 D．63．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上的最小值是，求實(shí)數(shù)的值.[舉一反三]1．(2023·廣東·福田外國(guó)語(yǔ)高中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間(0，1)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．2．(2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若函數(shù)在上的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．3．(2023·遼寧丹東·一模）設(shè)，若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4（多選）(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題（

）A．是函數(shù)的極值點(diǎn)B．是函數(shù)的最小值點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在處切線的斜率小于零5．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)若函數(shù)的最小值為0，則的取值范圍是___________；若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則的值是___________.6．(2023·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）已知函數(shù)，則的最小值為_(kāi)___________．7．(2023·湖北·二模）已知函數(shù)，若，則的最大值為_(kāi)________．8．(2023·遼寧·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)已知，且，若的最小值為，則的值為_(kāi)_________．9．(2023·浙江湖州·高三期末）若函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.10．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.第18講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f′(x0)＝0x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0圖象極值f(x0)為極大值f(x0)為極小值極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn)[提醒](1)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能稱為極值點(diǎn)．(2)在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)，極值不一定是唯一的，有可能有多個(gè)極大值或極小值．(3)極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系．2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題[名師點(diǎn)睛]1.由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性，兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．2.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)；(5)求出極值．[典例]1．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，取得最小值C．當(dāng)時(shí)，取得極大值 D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)答案：D【解析】根據(jù)圖象知：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)D正確；故當(dāng)時(shí)，取得極小值，選項(xiàng)C不正確；當(dāng)時(shí)，不是取得最小值，選項(xiàng)B不正確；故選：D.2．(2023·江蘇江蘇·高三期末）已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x的圖象在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y＝4x－3，則函數(shù)y＝f(x)的極大值為（

）A．1 B． C． D．－1答案：A【解析】由由題意得,故，則，所以，令，則，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在時(shí)取得極大值為，故選：A.3．(2023·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期末）已知函數(shù)的極小值為a，則a的值為_(kāi)_____.答案：e【解析】，若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)不存在極值，不符合題意，所以，易知在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以存在唯一的，使得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以的極小值，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，從而.故答案為：4．（2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解】(1)當(dāng)時(shí)，，，令，解得；令，解得或；故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故的極小值為，極大值為．(2)由題可知：，則．要討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，令，先討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，令，則，故，令則.故在上單調(diào)遞增，又，故時(shí)，，此時(shí)，則在上單調(diào)遞減，又，，①當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)解，在沒(méi)有實(shí)根，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，只有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，且時(shí)，此時(shí)的實(shí)數(shù)解為2，且在單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；③當(dāng)且時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)，有一個(gè)實(shí)數(shù)解，且，此時(shí)有兩個(gè)不等的實(shí)根．若在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，此時(shí)有2個(gè)極值點(diǎn)；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在上有2個(gè)極值點(diǎn)．綜上：當(dāng)時(shí)，在上只有個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，在上有2個(gè)極值點(diǎn)．[舉一反三]1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)答案：A【解析】由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象可知，函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個(gè)公共點(diǎn)，在從左到右第一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，在從左到右第二個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，在從左到右第三個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，在從左到右第四個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，所以函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)有個(gè)，故選：A.2．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．沒(méi)有極大值C．時(shí)，有極大值 D．時(shí)，有極小值答案：D【解析】解：如圖所示，設(shè)函數(shù)的圖象在原點(diǎn)與之間的交點(diǎn)為．由圖象可知：.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．可得：是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)．不是函數(shù)的極值點(diǎn)，不一定成立．且由圖知，有極大值.故選：D．3．(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取極小值，且的極大值為4，則（

）A．-1 B．2 C．-3 D．4答案：B【解析】解：，所以因?yàn)楹瘮?shù)在處取極小值，所以，所以，，，令，得或，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以在處有極大值為，解得，所以.故選：B4．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值，則的取值范圍是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，） D．（0，]答案：A【解析】由已知條件得，∵函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，∴或在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，在此范圍內(nèi)不成立；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，即，解得，則的取值范圍是，故選：.5．（2023·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間[0，π)內(nèi)有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)樵谟?個(gè)極值點(diǎn)，也即在區(qū)間取得一次最大值，一次最小值；又，則當(dāng)，，要使得滿足題意，只需，解得.故選：C.6．（多選）（2023·福建·永安市第三中學(xué)高中校高三期中）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 B．為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極大值答案：ABC【解析】由題意，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為：，，遞增區(qū)間為，，且函數(shù)在和取得極小值，在取得極大值.故選：ABC．7．（多選）(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的（

）A．在時(shí)取極小值 B．在時(shí)取極大值C．是極小值點(diǎn) D．是極小值點(diǎn)答案：AC【解析】解：由導(dǎo)函數(shù)的圖像可得，當(dāng)時(shí)，其左邊的導(dǎo)數(shù)小于零，右邊的導(dǎo)數(shù)大于零，所以在時(shí)取極小值，所以A正確，當(dāng)時(shí)，其左邊的導(dǎo)數(shù)小于零，右邊的導(dǎo)數(shù)大于零，所以是極小值點(diǎn)，所以C正確，而和，左右兩邊的導(dǎo)數(shù)值同號(hào)，所以和不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以BD錯(cuò)誤，故選：AC8．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)的一個(gè)極大值：__________．答案：形如即可（答案不唯一）【解析】解：因?yàn)槎x域?yàn)?，且，令即，解得，令即，解得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在處取得極大值，所以，，故答案為：，（答案不唯一）9．(2023·山東煙臺(tái)·高三期末）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極大值為_(kāi)_____．答案：【解析】由，得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，解得，所以，，令，則，得，，和變化情況如下表：100遞減極小值遞增極大值遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，故答案為：10．(2023·天津河西·二模）若函數(shù)在處取得極值，則____________．答案：【解析】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，，解得，此時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，函數(shù)在處取得極小值，滿足題意，所以，所以故答案為：11．(2023·重慶·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________.答案：【解析】函數(shù)，由于，所以，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，以及在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以且，所以．故的取值范圍是.故答案為：.12．(2023·湖南常德·一模）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.答案：【解析】解：，，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，所以為函數(shù)的兩零點(diǎn)，恒成立，，，因?yàn)?，所以，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的極值.【解】當(dāng)時(shí),，，的兩個(gè)零點(diǎn)為0，；當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以無(wú)極值；當(dāng)，即時(shí)，在上，在上，所以在上有極小值為，無(wú)極大值；當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以無(wú)極值；綜上：當(dāng)時(shí)，在無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，在上有極小值為,無(wú)極大值.14．(2023·北京房山·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若在區(qū)間（0，e]存在極小值，求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以曲線在處的切線方程為；(2)，令，，則，解，得，與的變化情況如下：x（0，1）1（1，e）－0+↘極小值↗所以函數(shù)在區(qū)間（0，e]上的最小值為，方法1：①當(dāng)時(shí)，.所以恒成立，即恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間（0，e]上是增函數(shù)，無(wú)極值，不符合要求，②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以存在，使得x（1，）（，e）－0+↘極小值↗所以函數(shù)在區(qū)間（1，e）上存在極小值，符合要求，③當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗院瘮?shù)在區(qū)間（1，e）上無(wú)極值.取，則所以存在，使得易知，為函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的極大值點(diǎn).所以函數(shù)在區(qū)間（0，e）上有極大值，無(wú)極小值，不符合要求綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.方法2：“在區(qū)間（0，e]上存在極小值”，當(dāng)且僅當(dāng)，解得.證明如下：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以存在，使得x（1，）（，e）－0+↘極小值↗所以函數(shù)在區(qū)間（1，e）上存在極小值.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.考點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值[名師點(diǎn)睛]求函數(shù)f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值．(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，要先求出[a，b]上的極值，與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到．[典例]1．(2023·江蘇·徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)滿足：對(duì)，都有，則函數(shù)的最小值為（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．0答案：B【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)滿足：對(duì)，都有，所以，即，解得，所以，則，，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，故選：B2．(2023·福建莆田·三模）已知函數(shù)的最小值是4．則（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A【解析】由題，，，所以單調(diào)遞增，又，所以，，故為最小值點(diǎn)，即，解得，故選：A3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上的最小值是，求實(shí)數(shù)的值.【解】(1)解：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.(2)由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，可得，即（舍去）；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，若時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得（舍去）若時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，解得（舍去），若時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，即，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的值為.[舉一反三]1．(2023·廣東·福田外國(guó)語(yǔ)高中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間(0，1)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．答案：A【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增，由題意只需，這時(shí)存在，使得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)在區(qū)間上有極小值也即是最小值．所以的取值范圍是.故選：A2．(2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若函數(shù)在上的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，又，在上單調(diào)遞增，在上存在最小值，，使得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，…①，由得：…②，②①得：，，，；①②得：；又，.故選：B.3．(2023·遼寧丹東·一模）設(shè)，若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】若，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，不符合題意.若，最小值為.若，當(dāng)時(shí)，的最小值為.當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，在在，在上遞增，故的最小值為.由，，，設(shè)，它在上是增函數(shù)，且，所以的解是．可得綜上，常數(shù)的取值范圍為.故選：B．4（多選）(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題（

）A．是函數(shù)的極值點(diǎn)B．是函數(shù)的最小值點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在處切線的斜率小于零答案：AC【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)x∈（﹣∞,﹣3）時(shí)，，在時(shí)，，∴函數(shù)y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C正確；則﹣3是函數(shù)y＝f（x）的極小值點(diǎn)，故A正確；∵在上單調(diào)遞增，∴﹣1不是函數(shù)y＝f（x）的最小值點(diǎn)，故B不正確；∵函數(shù)y＝f（x）在x＝0處的導(dǎo)數(shù)大于0，∴切線的斜率大于零，故D不正確；故選：AC5．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)若函數(shù)的最小值為0，則的取值范圍是___________；若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則的值是___________.答案：

；

.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以有，因此要使的最小值為0，則當(dāng)時(shí)，有解，即有解，，所以.（2）當(dāng)時(shí)，的解為；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)