人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用(原卷版+解析)

4．5．3函數(shù)模型的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對(duì)數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：知識(shí)點(diǎn)二、解答應(yīng)用問(wèn)題的基本思想和步驟1、解應(yīng)用題的基本思想2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)一般按以下幾步進(jìn)行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．第二步：建模在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將問(wèn)題的非數(shù)學(xué)語(yǔ)言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型．這時(shí)，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題的要求．第三步：求模運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識(shí)進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果．第四步：還原把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題作出解答，對(duì)于解出的結(jié)果要代入原問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，使其符合實(shí)際背景．上述四步可概括為以下流程：實(shí)際問(wèn)題（文字語(yǔ)言）數(shù)學(xué)問(wèn)題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）建模（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）求模（求解數(shù)學(xué)問(wèn)題）反饋（還原成實(shí)際問(wèn)題的解答）．知識(shí)點(diǎn)三、解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題首先，要認(rèn)真閱讀理解材料．應(yīng)用題所用的數(shù)學(xué)語(yǔ)言多為“文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言”并用，往往篇幅較長(zhǎng)，立意有創(chuàng)新脫俗之感．閱讀理解材料要達(dá)到的目標(biāo)是讀懂題目所敘述的實(shí)際問(wèn)題的意義，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時(shí)性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立解體思路和下一步的努力方向，對(duì)于有些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜、較模糊的問(wèn)題，可以借助畫(huà)圖和列表來(lái)理清它．其次，建立函數(shù)關(guān)系．根據(jù)前面審題及分析，把實(shí)際問(wèn)題“用字母符號(hào)、關(guān)系符號(hào)”表達(dá)出來(lái)，建立函數(shù)關(guān)系．其中，認(rèn)真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵．在閱讀這一過(guò)程中應(yīng)像解答語(yǔ)文和外語(yǔ)中的閱讀問(wèn)題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因?yàn)橐话愕膽?yīng)用問(wèn)題，一方面為了描述的問(wèn)題與客觀實(shí)際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時(shí)為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量關(guān)系的語(yǔ)言來(lái)敘述，而我們解決問(wèn)題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對(duì)那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過(guò)來(lái)，對(duì)那些刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系等與數(shù)學(xué)有關(guān)的問(wèn)題的部分，則應(yīng)“精讀”，一遍不行再來(lái)一遍，直到透徹地理解為止，此時(shí)切忌草率．【題型歸納目錄】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題題型五：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型【典型例題】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用例1．（2022·江蘇·宿遷中學(xué)高一期中）黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國(guó)有企業(yè)改革，發(fā)展混合所有制經(jīng)濟(jì)，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè)，這為我們深入推進(jìn)公司改革發(fā)展指明了方向，提供了根本遵循．某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，且當(dāng)投資2萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)為1萬(wàn)元；產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，且當(dāng)投資4萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)為4萬(wàn)元．(1)分別求出，兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入到，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？例2．（2022·貴州貴陽(yáng)·高一階段練習(xí)）某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本，若提價(jià)后定價(jià)為x（單位：元），銷售總收入y（單位：萬(wàn)元）(1)提價(jià)后如何定價(jià)才能使銷售總收入最大？銷售總收入最大值是多少？（精確到0.1）(2)如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬(wàn)元？例3．（2022·湖北·孝感魯迅高級(jí)中學(xué)有限公司高一階段練習(xí)）某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為（萬(wàn)元），其中固定成本為2.8萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入（萬(wàn)元）滿足：，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題．(1)寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)的解析式（利潤(rùn)=銷售收入-總成本）；(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少?變式1．（2022·寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量件（）與貨價(jià)p元/件之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為元.(1)若該廠某日的銷貨量是30件，求該廠當(dāng)日的獲利是多少元？(2)若該廠日獲利不少于1300元，求該廠日產(chǎn)量的取值范圍.變式2．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高一階段練習(xí)）2022年8月9日，美國(guó)總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學(xué)法案》．對(duì)中國(guó)的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來(lái)說(shuō)，短期內(nèi)可能會(huì)受到“芯片法案”負(fù)面影響，但它不是決定性的，因?yàn)樗鼘⒓ぐl(fā)中國(guó)自主創(chuàng)新的更強(qiáng)爆發(fā)力和持久動(dòng)力．某企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入萬(wàn)元，現(xiàn)為加大對(duì)研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬(wàn)元．(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人？(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；②技術(shù)人員的年人均投入始終不減少．請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．【方法技巧與總結(jié)】1、一次函數(shù)模型的應(yīng)用利用一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式（或）．解答時(shí)，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來(lái)求最值．2、二次函數(shù)模型的應(yīng)用構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問(wèn)題時(shí)，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域的對(duì)應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意自變量的取值范圍．題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用例4．（2022·江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)高一期末）我國(guó)某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測(cè)算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬(wàn)元，每生產(chǎn)（千臺(tái)）電腦需要另投成本萬(wàn)元，且另外每臺(tái)平板電腦售價(jià)為0.6萬(wàn)元，假設(shè)每年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺(tái)平板電腦，企業(yè)獲得年利潤(rùn)為1650萬(wàn)元.(1)求該企業(yè)獲得年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大?并求最大年利潤(rùn).例5．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高一期中）某公司為使產(chǎn)品能在市場(chǎng)有更大的份額占比，制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，當(dāng)銷售利潤(rùn)不超過(guò)10萬(wàn)元時(shí)按銷售利潤(rùn)的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，當(dāng)銷售利潤(rùn)超過(guò)10萬(wàn)元時(shí)，前10萬(wàn)元按銷售利潤(rùn)的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，若超出部分為A萬(wàn)元，則超出部分按進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．記獎(jiǎng)金為y（單位：萬(wàn)元），銷售利潤(rùn)為x（單位：萬(wàn)元）．(1)寫(xiě)出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利潤(rùn)x的關(guān)系式；(2)如果某業(yè)務(wù)員要得到7.5萬(wàn)元的獎(jiǎng)金，那么他的銷售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？例6．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）濟(jì)南市地鐵項(xiàng)目正在加火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出行帶來(lái)便利，已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，記列車載客量為.(1)求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量；(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.變式3．（2022·山東·淄博職業(yè)學(xué)院高一階段練習(xí)）某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，采用階梯電價(jià)的收費(fèi)方式，當(dāng)月用電量不超過(guò)100度的部分，按0.4元/度收費(fèi)；超過(guò)100度的部分，按0.8元/度收費(fèi).(1)若某戶居民用電量為120度，則該月電費(fèi)為多少元？(2)若某戶居民某月電費(fèi)為60元，則其用電量為多少度？變式4．（2022·福建省寧德第一中學(xué)高一階段練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬(wàn)眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入波動(dòng)成本萬(wàn)元，已知在年產(chǎn)量不足萬(wàn)件時(shí)，，在年產(chǎn)量不小于萬(wàn)件時(shí)，，每件產(chǎn)品售價(jià)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式（年利潤(rùn)年銷售收入固定成本波動(dòng)成本．）(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？變式5．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）麗水市某工廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品的年固定成本為200萬(wàn)元，若甲產(chǎn)品的年產(chǎn)量為萬(wàn)件，則需另投入成本萬(wàn)元）．已知甲產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過(guò)100萬(wàn)件時(shí)，；甲產(chǎn)品年產(chǎn)量大于100萬(wàn)件時(shí)，．因設(shè)備限制，甲產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過(guò)200萬(wàn)件．現(xiàn)已知甲產(chǎn)品的售價(jià)為50元/件，且年內(nèi)生產(chǎn)的甲產(chǎn)品能全部銷售完．設(shè)該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品的年利潤(rùn)為（萬(wàn)元）．(1)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品所獲的利潤(rùn)最大？變式6．（2022·湖南師大附中高一階段練習(xí)）黨的十八大以來(lái)，精準(zhǔn)扶貧取得了歷史性成就，其中產(chǎn)業(yè)扶貧是扶貧工作的一項(xiàng)重要舉措，長(zhǎng)沙某駐村扶貧小組在湘西某貧困村實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧，計(jì)劃幫助該村進(jìn)行獼猴桃的種植與銷售，為了迎合大眾需求，提高銷售量，將以裝盒售賣的方式銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若要提高銷售量，則獼猴桃的售價(jià)需要相應(yīng)的降低，已知獼猴桃的種植與包裝成本為24元/盒，且每萬(wàn)盒獼猴桃的銷售收入（單位：萬(wàn)元）與售價(jià)量x（單位：萬(wàn)盒）之間滿足關(guān)系式．(1)寫(xiě)出利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于銷售量x（單位：萬(wàn)盒）的關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷售收入－成本）(2)當(dāng)銷售量為多少萬(wàn)盒時(shí)，該村能夠獲得最大利潤(rùn)？此時(shí)最大利潤(rùn)是多少？【方法技巧與總結(jié)】1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏．2、分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集．3、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論．題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例7．（2022·山東·德州市陵城區(qū)翔龍高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）水葫蘆原產(chǎn)于巴西能凈化水質(zhì)蔓延速度極快，在巴西由于受生物天敵的鉗制，僅以一種觀賞性的植物分布于水體.某市2018年底，為了凈化某水庫(kù)的水質(zhì)引入了水葫蘆，這些水葫蘆在水中蔓延速度越來(lái)越快2019年一月底，水葫蘆覆蓋面積為，到了四月底測(cè)得水葫蘆覆蓋面積為，水葫蘆覆蓋面積（單位：），與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型且與可供選擇.(1)分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式(2)今測(cè)得2019年5月底水葫蘆的覆蓋面積約為，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型求水葫蘆覆蓋面積達(dá)到的最小月份.參考數(shù)據(jù)：，例8．（2022·福建·莆田第五中學(xué)高一階段練習(xí)）美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金千萬(wàn)元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬(wàn)元，公司獲得毛收入千萬(wàn)元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．(1)試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時(shí)生產(chǎn)兩種芯片，求分別對(duì)兩種芯片投入多少資金時(shí)，該公司可以獲得最大凈利潤(rùn)，并求出最大凈利潤(rùn)．（凈利潤(rùn)芯片的毛收入芯片的毛收入研發(fā)耗費(fèi)資金）例9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）中國(guó)茶文化博大精深．茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，在25℃室溫下，設(shè)茶水溫度從85℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)x分鐘后的溫度為y℃，則滿足（，，）．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)經(jīng)過(guò)測(cè)試知，求在25℃室溫下，剛泡好的85℃的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能產(chǎn)生最佳飲用口感（結(jié)果精確到1分鐘）．（參考數(shù)據(jù)：，，）變式7．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）某同學(xué)對(duì)航天知識(shí)有著濃厚的興趣，通過(guò)查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動(dòng)阻力和地球引力等造成的影響時(shí)，火箭是目前唯一能使物體達(dá)到宇宙速度，克服或擺脫地球引力，進(jìn)入宇宙空間的運(yùn)載工具．早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出火箭的最大理想速度公式：，被稱為齊奧爾科夫斯基公式，其中為噴流相對(duì)火箭的速度，和分別是火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動(dòng)機(jī)熄火（推進(jìn)劑用完）時(shí)的質(zhì)量，被稱為火箭的質(zhì)量比．(1)某火箭的初始質(zhì)量為160噸，噴流相對(duì)火箭的速度為2千米/秒，發(fā)動(dòng)機(jī)熄火時(shí)的火箭質(zhì)量為40噸，求該火箭的最大理想速度（保留2位有效數(shù)字）；(2)根據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)水平，通常火箭的質(zhì)量比不超過(guò)10．如果噴流相對(duì)火箭的速度為2千米/秒，請(qǐng)判斷該火箭的最大理想速度能否超過(guò)第一宇宙速度7.9千米/秒，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）變式8．（2022·云南玉溪·高一期末）某集團(tuán)公司為鼓勵(lì)下屬企業(yè)創(chuàng)業(yè)，擬對(duì)年產(chǎn)值在50萬(wàn)元到500萬(wàn)元的新增小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案遵循以下原則：獎(jiǎng)金（單位：萬(wàn)元）隨年產(chǎn)值（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金不低于7萬(wàn)元，且不超過(guò)年產(chǎn)值的.(1)若某下屬企業(yè)年產(chǎn)值100萬(wàn)元，核定可得9萬(wàn)元獎(jiǎng)金.試分析函數(shù)模型（為常數(shù)）是否為符合集團(tuán)的獎(jiǎng)勵(lì)原則，并說(shuō)明原因；(2)設(shè)，若函數(shù)模型符合獎(jiǎng)勵(lì)原則，試求的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：.【方法技巧與總結(jié)】1、涉及平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題，求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示，通常可以表示為（其中N為原來(lái)的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間）的形式．2、在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題，都常用到指數(shù)型函數(shù)模型．題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題例10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點(diǎn)對(duì)中國(guó)游客（含港、澳、臺(tái)同胞、海外僑胞）施行門(mén)票免費(fèi)，去三峽大壩旅游的游客人數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越快，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)2017年三峽大壩游客總量約為200萬(wàn)人，2018年約為240萬(wàn)人，2019年約為288萬(wàn)人，三峽大壩的年游客人數(shù)y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為，2018年年份代碼為，依此類推）有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適（不需計(jì)算，簡(jiǎn)述理由即可），并求出該模型的函數(shù)解析式；(2)問(wèn)大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍．（參考數(shù)據(jù)：，，，）例11．（2022·廣東珠?！じ咭黄谀┕麍@A占地約3000畝，擬選用果樹(shù)B進(jìn)行種植，在相同種植條件下，果樹(shù)B每畝最多可種植40棵，種植成本（萬(wàn)元）與果樹(shù)數(shù)量（百棵）之間的關(guān)系如下表所示.149161(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個(gè)更適合作為與的函數(shù)模型；(2)已知該果園的年利潤(rùn)（萬(wàn)元）與的關(guān)系為，則果樹(shù)數(shù)量為多少時(shí)年利潤(rùn)最大？例12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，決定近期投放市場(chǎng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：上市時(shí)間x（天）2620市場(chǎng)價(jià)y（元）10278120(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說(shuō)明理由：①，②，③，④；(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低市場(chǎng)價(jià)；(3)利用你選取的函數(shù)，若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．變式9．（2022·湖南·株洲二中高一階段練習(xí)）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多國(guó)家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強(qiáng)的“德?tīng)査薄ⅰ袄愤_(dá)”、“奧密克戎”變異毒株，盡管我國(guó)抗疫取得了很大的成績(jī)，疫情也得到了很好的遏制，但由于整個(gè)國(guó)際環(huán)境的影響，時(shí)而也會(huì)出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢(shì)依然艱巨，日常防護(hù)依然不能有絲毫放松．某科研機(jī)構(gòu)對(duì)變異毒株在一特定環(huán)境下進(jìn)行觀測(cè)，每隔單位時(shí)間T進(jìn)行一次記錄，用x表示經(jīng)過(guò)單位時(shí)間的個(gè)數(shù)，用y表示此變異毒株的數(shù)量，單位為萬(wàn)個(gè)，得到如下觀測(cè)數(shù)據(jù)：123456…y(萬(wàn)個(gè))…10…50…150…若該變異毒株的數(shù)量y(單位：萬(wàn)個(gè))與經(jīng)過(guò)個(gè)單位時(shí)間T的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)求至少經(jīng)過(guò)多少個(gè)單位時(shí)間該病毒的數(shù)量不少于1億個(gè)．(參考數(shù)據(jù)：，)變式10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某商人計(jì)劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為萬(wàn)元時(shí)，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別是，，已知投資額為0時(shí)，收益為0.(1)求a，b的值;(2)若該商人投入萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，試建立該商人所獲收益的函數(shù)模型；(3)如果該商人準(zhǔn)備投入5萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收益的最大值.變式11．（2022·福建廈門(mén)·高一期末）在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢．在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系為：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖如下：為了描述從第小時(shí)開(kāi)始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：①，②，③．(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；(2)利用和這兩組數(shù)據(jù)求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測(cè)從第小時(shí)開(kāi)始，至少再經(jīng)過(guò)多少個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到百萬(wàn)個(gè)．變式12．（2022·福建南平·高一期末）在國(guó)家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策下，我國(guó)新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長(zhǎng)．某地區(qū)年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試從（，且），，（，且），三種函數(shù)模型中選擇一個(gè)最恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠?lái)刻畫(huà)新能源汽車保有量的增長(zhǎng)趨勢(shì)（不必說(shuō)明理由），設(shè)從年底起經(jīng)過(guò)年后新能源汽車保有量為輛，求出新能源汽車保有量關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)假設(shè)每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長(zhǎng)，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比相同，年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為輛，預(yù)計(jì)到年底傳統(tǒng)能源汽車保有量將下降．試估計(jì)到哪一年底新能源汽車保有量將超過(guò)傳統(tǒng)能源汽車保有量．（參考數(shù)據(jù)：，）變式13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時(shí)間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每天得分與當(dāng)天鍛煉時(shí)間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過(guò)6分.現(xiàn)有三個(gè)函數(shù)模型①，②，③供選擇.(1)請(qǐng)你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型并說(shuō)明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）【方法技巧與總結(jié)】在沒(méi)有給出具體模型的問(wèn)題中，首先要由已知數(shù)據(jù)描繪出函數(shù)草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象，通過(guò)檢測(cè)所求函數(shù)模型與實(shí)際誤差的大小，探求相近的數(shù)學(xué)關(guān)系，預(yù)測(cè)函數(shù)的可能模型．題型五：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型例13．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期中）某地西紅柿從2月1日起開(kāi)始上市.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本單位：元與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間50120150種植成本26005002600由表知，體現(xiàn)與數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．例14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若三個(gè)變量，，隨著變量x的變化情況如下表.x135791152545658510552924521891968517714956.106.616.957.27.6則關(guān)于x分別呈函數(shù)模型：，，變化的變量依次是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，例15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：－2－101230.240.5112.023.988.02則，的函數(shù)關(guān)系與下列各類函數(shù)最接近的是（其中，為待定系數(shù)）（

）A． B． C． D．變式14．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢．在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間（單位：時(shí)）的關(guān)系如下表，為了描述從第2小時(shí)開(kāi)始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇，則最符合實(shí)際的函數(shù)模型為（

）2345683.53.844.164.34.5A． B．C． D．變式15．（2022·四川自貢·高一期末）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）A． B． C． D．變式16．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若三個(gè)變量、、，隨著變量的變化情況如下表.2則關(guān)于分別呈函數(shù)模型：、、變化的變量依次是（

）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高一期末）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，（為時(shí)間，單位分鐘，為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開(kāi)水溫度℃，環(huán)境溫度℃，常數(shù)，大約經(jīng)過(guò)多少分鐘水溫降為40℃（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）（

）A．9 B．8 C．7 D．53．（2022·四川瀘州·高一期末）在型病毒疫情初始階段，可以用指數(shù)函數(shù)模型描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律.指數(shù)增長(zhǎng)率與、近似滿足，其中為病毒基本再生數(shù)，為兩代間傳染所需的平均時(shí)間，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，.據(jù)此，在型病毒疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加至的4倍，至少需要（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）考古科學(xué)家在測(cè)定良渚古城遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過(guò)測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來(lái)的至，據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在______年到5730年之間，則“______”為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4011 B．3438 C．2865 D．22925．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，假設(shè)所有聲音的聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）滿足，若火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來(lái)了一定的危害．為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入資金200萬(wàn)元，搭建甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入資金40萬(wàn)元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜．根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P（單位：萬(wàn)元）、種黃瓜的年收入Q（單位：萬(wàn)元）與各自的投入資金，（單位：萬(wàn)元）滿足，．設(shè)甲大棚的投入資金為x（單位：萬(wàn)元），每年兩個(gè)大棚的總收入為（單位：萬(wàn)元），則總收入的最大值為（

）A．282萬(wàn)元 B．228萬(wàn)元 C．283萬(wàn)元 D．229萬(wàn)元7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）把長(zhǎng)為的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越千山萬(wàn)水來(lái)到美麗的昆明過(guò)冬，科學(xué)家經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥(niǎo)的飛行速度可以表示為函數(shù)（單位：），其中表示候鳥(niǎo)每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)表示測(cè)量過(guò)程中候鳥(niǎo)每分鐘的耗氧偏差．若雄鳥(niǎo)的飛行速度為，雌鳥(niǎo)的飛行速度為，則此時(shí)雄鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量是雌鳥(niǎo)每分鐘耗氧量的（

）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍二、多選題9．（2022·江西·于都縣新長(zhǎng)征中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為千米，它的橫坐標(biāo)為.則下列結(jié)論正確的是（

）A．炮的最大射程為10千米B．炮的最大射程為20千米C．當(dāng)飛行物的橫坐標(biāo)超過(guò)6時(shí)，炮彈可以擊中飛行物D．當(dāng)飛行物的橫坐標(biāo)不超過(guò)6時(shí)，炮彈可以擊中飛行物10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）三個(gè)變量，，隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：0510152025305130505113020053130450559016202916052488094478401700611205305580105130155則下列說(shuō)法合理的是（

）A．關(guān)于呈指數(shù)增長(zhǎng) B．關(guān)于呈指數(shù)增長(zhǎng)C．關(guān)于呈直線上升 D．的增長(zhǎng)速度最快11．（2022·山東德州·高一期末）如圖，某池塘里浮萍的面積（單位）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系為，下列說(shuō)法正確的是（

）A．浮萍每月的增長(zhǎng)率均相等B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過(guò)C．浮萍從蔓延到需經(jīng)過(guò)1.5個(gè)月D．若浮萍蔓延到，，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，，，則12．（2022·全國(guó)·高一）甲、乙兩位股民以相同的資金進(jìn)行股票投資，在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，甲購(gòu)買(mǎi)的股票先經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），又經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），乙購(gòu)買(mǎi)的股票先經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），又經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），則甲，乙的盈虧情況（不考慮其他費(fèi)用）為（

）A．甲、乙都虧損 B．甲盈利，乙虧損 C．甲虧損，乙盈利 D．甲、乙虧損的一樣多三、填空題13．（2022·北京·牛欄山一中高一期中）20世紀(jì)30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí).震級(jí)計(jì)算公式為，其中是被測(cè)地震的最大振幅，是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅，5級(jí)地震給人的震感已經(jīng)比較明顯，8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的___________倍.14．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）牛奶中細(xì)菌的標(biāo)準(zhǔn)新國(guó)標(biāo)將最低門(mén)檻（允許的最大值）調(diào)整為200萬(wàn)個(gè)/毫升，牛奶中的細(xì)菌常溫狀態(tài)下大約20分鐘就會(huì)繁殖一代，現(xiàn)將一袋細(xì)菌含量為3000個(gè)/毫升的牛奶常溫放置于空氣中，經(jīng)過(guò)________分鐘就不宜再飲用．（參考數(shù)據(jù)：，）15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某商場(chǎng)為了實(shí)現(xiàn)100萬(wàn)元的利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制訂一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元后，獎(jiǎng)金（單位：萬(wàn)元）隨利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的20%，現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：①，②，③，則該符合該商場(chǎng)要求的模型為_(kāi)_____（填序號(hào)）.16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）2021年8月30日第九屆未來(lái)信息通信技術(shù)國(guó)際研討會(huì)在北京開(kāi)幕．研討會(huì)聚焦于5G的持續(xù)創(chuàng)新和演進(jìn)、信息通信的未來(lái)技術(shù)前瞻與發(fā)展、信息通信技術(shù)與其他前沿科技的融合創(chuàng)新．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比．若不改變信道帶寬W，而將信噪比從11提升至499，則最大信息傳遞速率C大約會(huì)提升到原來(lái)的______倍（結(jié)果保留1位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，）四、解答題17．（2022·甘肅·慶陽(yáng)第六中學(xué)高一階段練習(xí)）要挖一個(gè)面積為的矩形魚(yú)池，周圍兩側(cè)額外要留出寬分別為3m，4m的堤堰，求占地總面積最小時(shí)魚(yú)池的長(zhǎng)和寬.18．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，有一塊半徑為2的半圓形紙片，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上，設(shè)CD=2x，梯形ABCD的周長(zhǎng)為y.(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)的解析式；(2)若周長(zhǎng)y大于9，求上底CD長(zhǎng)的取值范圍.19．（2022·四川·樹(shù)德中學(xué)高一階段練習(xí)）為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計(jì)劃在該村廣場(chǎng)旁一矩形空地進(jìn)行綠化如圖所示，兩塊完全相同的長(zhǎng)方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均擺滿寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為400平方米.(1)若矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多9米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周及中間的花壇寬度均為2米，求草坪的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，整個(gè)綠化面積最小，并求出最小值.20．（2022·廣東·東莞松山湖未來(lái)學(xué)校高一階段練習(xí)）全國(guó)文明城市，簡(jiǎn)稱文明城市，是指在全面建設(shè)小康社會(huì)中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市.全國(guó)文明城市稱號(hào)是反映中國(guó)大陸城市整體文明水平的最高榮譽(yù)稱號(hào).連云港市黃海路社區(qū)響應(yīng)號(hào)召，在全面開(kāi)展“創(chuàng)文”的基礎(chǔ)上，對(duì)一塊空閑地進(jìn)行改造，計(jì)劃建一面積為的矩形市民休閑廣場(chǎng).為此社區(qū)黨委開(kāi)會(huì)討論確定方針：既要占地最少，又要美觀實(shí)用.初步?jīng)Q定在休閑廣場(chǎng)的東西邊緣都留有寬為的草坪，南北邊緣都留有的空地栽植花木.(1)設(shè)占用空地的面積為（單位：），矩形休閑廣場(chǎng)東西距離為（單位：，），試用表示的函數(shù)；(2)當(dāng)為多少時(shí)，占用空地的面積最少？并求最小值.21．（2022·山東·梁山縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，直角三角形是一個(gè)展覽廳的俯視圖，矩形是中心舞臺(tái)，已知，．(1)要使中心舞臺(tái)的面積大于，求的取值范圍．(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，中心舞臺(tái)的面積最大？并求出最大的面積．22．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高一階段練習(xí)）某品牌電動(dòng)汽車在某路段以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛240千米．該路段限速（單位：千米/時(shí)）．充電費(fèi)為1.5元/千瓦時(shí)，電動(dòng)汽車行駛時(shí)每小時(shí)耗電千瓦時(shí)，輪胎磨損費(fèi)為元/千米，道路通行費(fèi)為0.2元/千米．(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)行車速度x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值．4．5．3函數(shù)模型的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對(duì)數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：知識(shí)點(diǎn)二、解答應(yīng)用問(wèn)題的基本思想和步驟1、解應(yīng)用題的基本思想2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)一般按以下幾步進(jìn)行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．第二步：建模在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將問(wèn)題的非數(shù)學(xué)語(yǔ)言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型．這時(shí)，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題的要求．第三步：求模運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識(shí)進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果．第四步：還原把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題作出解答，對(duì)于解出的結(jié)果要代入原問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，使其符合實(shí)際背景．上述四步可概括為以下流程：實(shí)際問(wèn)題（文字語(yǔ)言）數(shù)學(xué)問(wèn)題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）建模（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）求模（求解數(shù)學(xué)問(wèn)題）反饋（還原成實(shí)際問(wèn)題的解答）．知識(shí)點(diǎn)三、解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題首先，要認(rèn)真閱讀理解材料．應(yīng)用題所用的數(shù)學(xué)語(yǔ)言多為“文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言”并用，往往篇幅較長(zhǎng)，立意有創(chuàng)新脫俗之感．閱讀理解材料要達(dá)到的目標(biāo)是讀懂題目所敘述的實(shí)際問(wèn)題的意義，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時(shí)性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立解體思路和下一步的努力方向，對(duì)于有些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜、較模糊的問(wèn)題，可以借助畫(huà)圖和列表來(lái)理清它．其次，建立函數(shù)關(guān)系．根據(jù)前面審題及分析，把實(shí)際問(wèn)題“用字母符號(hào)、關(guān)系符號(hào)”表達(dá)出來(lái)，建立函數(shù)關(guān)系．其中，認(rèn)真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵．在閱讀這一過(guò)程中應(yīng)像解答語(yǔ)文和外語(yǔ)中的閱讀問(wèn)題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因?yàn)橐话愕膽?yīng)用問(wèn)題，一方面為了描述的問(wèn)題與客觀實(shí)際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時(shí)為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量關(guān)系的語(yǔ)言來(lái)敘述，而我們解決問(wèn)題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對(duì)那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過(guò)來(lái)，對(duì)那些刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系等與數(shù)學(xué)有關(guān)的問(wèn)題的部分，則應(yīng)“精讀”，一遍不行再來(lái)一遍，直到透徹地理解為止，此時(shí)切忌草率．【題型歸納目錄】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題題型五：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型【典型例題】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用例1．（2022·江蘇·宿遷中學(xué)高一期中）黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國(guó)有企業(yè)改革，發(fā)展混合所有制經(jīng)濟(jì)，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè)，這為我們深入推進(jìn)公司改革發(fā)展指明了方向，提供了根本遵循．某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，且當(dāng)投資2萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)為1萬(wàn)元；產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，且當(dāng)投資4萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)為4萬(wàn)元．(1)分別求出，兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入到，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）設(shè)投資為萬(wàn)元，則產(chǎn)品的利潤(rùn)，產(chǎn)品的利潤(rùn)，由題意得，，，解得，，所以產(chǎn)品的利潤(rùn)，產(chǎn)品的利潤(rùn)．（2）設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為，分配給產(chǎn)品的投資為萬(wàn)元，則分配給產(chǎn)品的投資為萬(wàn)元，所以，故當(dāng)，即時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)取得最大值，所以這10萬(wàn)元資金中有6萬(wàn)元投資給產(chǎn)品，4萬(wàn)元投資給產(chǎn)品，可使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，且最大利潤(rùn)為7萬(wàn)元．例2．（2022·貴州貴陽(yáng)·高一階段練習(xí)）某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本，若提價(jià)后定價(jià)為x（單位：元），銷售總收入y（單位：萬(wàn)元）(1)提價(jià)后如何定價(jià)才能使銷售總收入最大？銷售總收入最大值是多少？（精確到0.1）(2)如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬(wàn)元？【解析】（1）由題意可得當(dāng)（元）時(shí)，（萬(wàn)元）.即定價(jià)為每本元可使銷售總收入最大，銷售總收入最大值約為萬(wàn)元.（2）由題意可得所以，當(dāng)每本雜志的定價(jià)不低于元且不超過(guò)4元時(shí)，提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬(wàn)元.例3．（2022·湖北·孝感魯迅高級(jí)中學(xué)有限公司高一階段練習(xí)）某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為（萬(wàn)元），其中固定成本為2.8萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入（萬(wàn)元）滿足：，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題．(1)寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)的解析式（利潤(rùn)=銷售收入-總成本）；(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少?【解析】（1）由題意可得：，，（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，（萬(wàn)元），當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值為（萬(wàn)元），綜上：當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最大為3.6萬(wàn)元.變式1．（2022·寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量件（）與貨價(jià)p元/件之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為元.(1)若該廠某日的銷貨量是30件，求該廠當(dāng)日的獲利是多少元？(2)若該廠日獲利不少于1300元，求該廠日產(chǎn)量的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以該廠當(dāng)日的獲利是(元)；（2）設(shè)該廠日獲利為，則由題意得，由，得，所以，即，解得，所以當(dāng)日產(chǎn)量在20到45件之間（含20件和45件）時(shí)，日獲利不少于1300元.變式2．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高一階段練習(xí)）2022年8月9日，美國(guó)總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學(xué)法案》．對(duì)中國(guó)的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來(lái)說(shuō)，短期內(nèi)可能會(huì)受到“芯片法案”負(fù)面影響，但它不是決定性的，因?yàn)樗鼘⒓ぐl(fā)中國(guó)自主創(chuàng)新的更強(qiáng)爆發(fā)力和持久動(dòng)力．某企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入萬(wàn)元，現(xiàn)為加大對(duì)研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬(wàn)元．(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人？(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；②技術(shù)人員的年人均投入始終不減少．請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入為萬(wàn)元，則，整理得，解得，因?yàn)榍?，所以，故，所以要使這名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為125人.（2）由條件①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入，得，上式兩邊同除以得，整理得；由條件②由技術(shù)人員年人均投入不減少，得，解得；假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù),使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，滿足以上兩個(gè)條件，即恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立,所以，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最大值，所以，所以，即，即存在這樣的滿足條件，其范圍為.【方法技巧與總結(jié)】1、一次函數(shù)模型的應(yīng)用利用一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式（或）．解答時(shí)，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來(lái)求最值．2、二次函數(shù)模型的應(yīng)用構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問(wèn)題時(shí)，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域的對(duì)應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意自變量的取值范圍．題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用例4．（2022·江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)高一期末）我國(guó)某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測(cè)算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬(wàn)元，每生產(chǎn)（千臺(tái)）電腦需要另投成本萬(wàn)元，且另外每臺(tái)平板電腦售價(jià)為0.6萬(wàn)元，假設(shè)每年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺(tái)平板電腦，企業(yè)獲得年利潤(rùn)為1650萬(wàn)元.(1)求該企業(yè)獲得年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大?并求最大年利潤(rùn).【解析】（1）10000臺(tái)=10千臺(tái),則，根據(jù)題意得：，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故?dāng)年產(chǎn)量為100千臺(tái)時(shí),該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大,最大年利潤(rùn)為5900萬(wàn)元.例5．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高一期中）某公司為使產(chǎn)品能在市場(chǎng)有更大的份額占比，制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，當(dāng)銷售利潤(rùn)不超過(guò)10萬(wàn)元時(shí)按銷售利潤(rùn)的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，當(dāng)銷售利潤(rùn)超過(guò)10萬(wàn)元時(shí)，前10萬(wàn)元按銷售利潤(rùn)的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，若超出部分為A萬(wàn)元，則超出部分按進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．記獎(jiǎng)金為y（單位：萬(wàn)元），銷售利潤(rùn)為x（單位：萬(wàn)元）．(1)寫(xiě)出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利潤(rùn)x的關(guān)系式；(2)如果某業(yè)務(wù)員要得到7.5萬(wàn)元的獎(jiǎng)金，那么他的銷售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？【解析】（1）由題意知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；（2）由題意，則，所以，解得，所以該業(yè)務(wù)員的銷售利潤(rùn)為18萬(wàn)元時(shí)，才可獲得7.5萬(wàn)元獎(jiǎng)金．例6．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）濟(jì)南市地鐵項(xiàng)目正在加火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出行帶來(lái)便利，已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，記列車載客量為.(1)求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量；(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.【解析】（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，令，又發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，∴，解得.∴，故時(shí)，，所以當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量為人.（2）由（1）知：，∵時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，∴上，而上，單調(diào)遞減，則，綜上，時(shí)間間隔為4分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為132元.變式3．（2022·山東·淄博職業(yè)學(xué)院高一階段練習(xí)）某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，采用階梯電價(jià)的收費(fèi)方式，當(dāng)月用電量不超過(guò)100度的部分，按0.4元/度收費(fèi)；超過(guò)100度的部分，按0.8元/度收費(fèi).(1)若某戶居民用電量為120度，則該月電費(fèi)為多少元？(2)若某戶居民某月電費(fèi)為60元，則其用電量為多少度？【解析】（1）設(shè)用電量為度，對(duì)應(yīng)電費(fèi)為元，由題意得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以該月電費(fèi)為56元；（2）因?yàn)闀r(shí)，，所以該戶用電量超過(guò)了100度，令，解得：，故其用電量為125度.變式4．（2022·福建省寧德第一中學(xué)高一階段練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬(wàn)眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入波動(dòng)成本萬(wàn)元，已知在年產(chǎn)量不足萬(wàn)件時(shí)，，在年產(chǎn)量不小于萬(wàn)件時(shí)，，每件產(chǎn)品售價(jià)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式（年利潤(rùn)年銷售收入固定成本波動(dòng)成本．）(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故年利潤(rùn)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)年產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元．變式5．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）麗水市某工廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品的年固定成本為200萬(wàn)元，若甲產(chǎn)品的年產(chǎn)量為萬(wàn)件，則需另投入成本萬(wàn)元）．已知甲產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過(guò)100萬(wàn)件時(shí)，；甲產(chǎn)品年產(chǎn)量大于100萬(wàn)件時(shí)，．因設(shè)備限制，甲產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過(guò)200萬(wàn)件．現(xiàn)已知甲產(chǎn)品的售價(jià)為50元/件，且年內(nèi)生產(chǎn)的甲產(chǎn)品能全部銷售完．設(shè)該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品的年利潤(rùn)為（萬(wàn)元）．(1)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品所獲的利潤(rùn)最大？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.（2）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.②當(dāng)時(shí)，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)椋裕穑寒?dāng)年產(chǎn)量為72萬(wàn)件時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1096變式6．（2022·湖南師大附中高一階段練習(xí)）黨的十八大以來(lái)，精準(zhǔn)扶貧取得了歷史性成就，其中產(chǎn)業(yè)扶貧是扶貧工作的一項(xiàng)重要舉措，長(zhǎng)沙某駐村扶貧小組在湘西某貧困村實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧，計(jì)劃幫助該村進(jìn)行獼猴桃的種植與銷售，為了迎合大眾需求，提高銷售量，將以裝盒售賣的方式銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若要提高銷售量，則獼猴桃的售價(jià)需要相應(yīng)的降低，已知獼猴桃的種植與包裝成本為24元/盒，且每萬(wàn)盒獼猴桃的銷售收入（單位：萬(wàn)元）與售價(jià)量x（單位：萬(wàn)盒）之間滿足關(guān)系式．(1)寫(xiě)出利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于銷售量x（單位：萬(wàn)盒）的關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷售收入－成本）(2)當(dāng)銷售量為多少萬(wàn)盒時(shí)，該村能夠獲得最大利潤(rùn)？此時(shí)最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故．（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為128，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即（負(fù)值舍去）時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，且最大值為136，由于，所以銷售量為15萬(wàn)盒時(shí)，該村的獲利最大，此時(shí)的最大利潤(rùn)為136萬(wàn)元．【方法技巧與總結(jié)】1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏．2、分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集．3、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論．題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例7．（2022·山東·德州市陵城區(qū)翔龍高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）水葫蘆原產(chǎn)于巴西能凈化水質(zhì)蔓延速度極快，在巴西由于受生物天敵的鉗制，僅以一種觀賞性的植物分布于水體.某市2018年底，為了凈化某水庫(kù)的水質(zhì)引入了水葫蘆，這些水葫蘆在水中蔓延速度越來(lái)越快2019年一月底，水葫蘆覆蓋面積為，到了四月底測(cè)得水葫蘆覆蓋面積為，水葫蘆覆蓋面積（單位：），與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型且與可供選擇.(1)分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式(2)今測(cè)得2019年5月底水葫蘆的覆蓋面積約為，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型求水葫蘆覆蓋面積達(dá)到的最小月份.參考數(shù)據(jù)：，【解析】（1）依題意函數(shù)過(guò)點(diǎn)和，若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為．若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為．（2）若選擇模型，即，當(dāng)時(shí)，若選擇模型，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以更合適，令，則，兩邊取對(duì)數(shù)可得，則，所以水葫蘆覆蓋面積達(dá)到的最小月份是月份.例8．（2022·福建·莆田第五中學(xué)高一階段練習(xí)）美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金千萬(wàn)元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬(wàn)元，公司獲得毛收入千萬(wàn)元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．(1)試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時(shí)生產(chǎn)兩種芯片，求分別對(duì)兩種芯片投入多少資金時(shí)，該公司可以獲得最大凈利潤(rùn)，并求出最大凈利潤(rùn)．（凈利潤(rùn)芯片的毛收入芯片的毛收入研發(fā)耗費(fèi)資金）【解析】（1）生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，可設(shè)，每投入千萬(wàn)元，公司獲得毛收入千萬(wàn)元，，生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式為：；由圖象可知：，解得：，生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式為：.（2）設(shè)對(duì)芯片投入的資金為千萬(wàn)元，則對(duì)芯片投入的資金為千萬(wàn)元，設(shè)凈利潤(rùn)為千萬(wàn)元，則，令，則，則當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)對(duì)芯片投入億元，對(duì)芯片投入億元時(shí)，該公司可以獲得最大的凈利潤(rùn)，最大凈利潤(rùn)為千萬(wàn)元.例9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）中國(guó)茶文化博大精深．茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，在25℃室溫下，設(shè)茶水溫度從85℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)x分鐘后的溫度為y℃，則滿足（，，）．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)經(jīng)過(guò)測(cè)試知，求在25℃室溫下，剛泡好的85℃的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能產(chǎn)生最佳飲用口感（結(jié)果精確到1分鐘）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【解析】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以實(shí)數(shù)k的值是60．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，兩邊取對(duì)數(shù)，得，所以．所以剛泡好的85℃的茶水大約需要放置7分鐘才能產(chǎn)生最佳飲用口感．變式7．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）某同學(xué)對(duì)航天知識(shí)有著濃厚的興趣，通過(guò)查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動(dòng)阻力和地球引力等造成的影響時(shí)，火箭是目前唯一能使物體達(dá)到宇宙速度，克服或擺脫地球引力，進(jìn)入宇宙空間的運(yùn)載工具．早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出火箭的最大理想速度公式：，被稱為齊奧爾科夫斯基公式，其中為噴流相對(duì)火箭的速度，和分別是火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動(dòng)機(jī)熄火（推進(jìn)劑用完）時(shí)的質(zhì)量，被稱為火箭的質(zhì)量比．(1)某火箭的初始質(zhì)量為160噸，噴流相對(duì)火箭的速度為2千米/秒，發(fā)動(dòng)機(jī)熄火時(shí)的火箭質(zhì)量為40噸，求該火箭的最大理想速度（保留2位有效數(shù)字）；(2)根據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)水平，通?；鸺馁|(zhì)量比不超過(guò)10．如果噴流相對(duì)火箭的速度為2千米/秒，請(qǐng)判斷該火箭的最大理想速度能否超過(guò)第一宇宙速度7.9千米/秒，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題意，，，，∴，∴該火箭的最大理想速度為2.8千米/秒．（2）∵，，∴．∵，∴，即．∴該火箭的最大理想速度不能超過(guò)第一宇宙速度7.9千米/秒．變式8．（2022·云南玉溪·高一期末）某集團(tuán)公司為鼓勵(lì)下屬企業(yè)創(chuàng)業(yè)，擬對(duì)年產(chǎn)值在50萬(wàn)元到500萬(wàn)元的新增小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案遵循以下原則：獎(jiǎng)金（單位：萬(wàn)元）隨年產(chǎn)值（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金不低于7萬(wàn)元，且不超過(guò)年產(chǎn)值的.(1)若某下屬企業(yè)年產(chǎn)值100萬(wàn)元，核定可得9萬(wàn)元獎(jiǎng)金.試分析函數(shù)模型（為常數(shù)）是否為符合集團(tuán)的獎(jiǎng)勵(lì)原則，并說(shuō)明原因；(2)設(shè)，若函數(shù)模型符合獎(jiǎng)勵(lì)原則，試求的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：.【解析】(1)對(duì)于函數(shù)模型（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，，代入模型解得，所以，獎(jiǎng)勵(lì)原則為：①在區(qū)間上遞增；②恒成立，當(dāng)時(shí)，模型是增函數(shù)，符合獎(jiǎng)勵(lì)原則①；當(dāng)時(shí)，；，所以，模型不符合獎(jiǎng)勵(lì)原則②，故該函數(shù)模型不符合獎(jiǎng)勵(lì)原則.(2)對(duì)于函數(shù)模型，可得，因?yàn)?，故函?shù)在遞增，則在遞增，符合獎(jiǎng)勵(lì)原則①；由獎(jiǎng)勵(lì)原則②得，即，解得；又由獎(jiǎng)勵(lì)原則②得，即在恒成立，即，，設(shè)，則拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，，由得，綜上，.所以的取值范圍是.【方法技巧與總結(jié)】1、涉及平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題，求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示，通常可以表示為（其中N為原來(lái)的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間）的形式．2、在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題，都常用到指數(shù)型函數(shù)模型．題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題例10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點(diǎn)對(duì)中國(guó)游客（含港、澳、臺(tái)同胞、海外僑胞）施行門(mén)票免費(fèi)，去三峽大壩旅游的游客人數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越快，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)2017年三峽大壩游客總量約為200萬(wàn)人，2018年約為240萬(wàn)人，2019年約為288萬(wàn)人，三峽大壩的年游客人數(shù)y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為，2018年年份代碼為，依此類推）有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適（不需計(jì)算，簡(jiǎn)述理由即可），并求出該模型的函數(shù)解析式；(2)問(wèn)大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)中，隨的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，而函數(shù)，隨的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢，故由題意應(yīng)選；則有，解得，∴；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍，則，即，∴，∴，故大約在2022年三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍．例11．（2022·廣東珠海·高一期末）果園A占地約3000畝，擬選用果樹(shù)B進(jìn)行種植，在相同種植條件下，果樹(shù)B每畝最多可種植40棵，種植成本（萬(wàn)元）與果樹(shù)數(shù)量（百棵）之間的關(guān)系如下表所示.149161(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個(gè)更適合作為與的函數(shù)模型；(2)已知該果園的年利潤(rùn)（萬(wàn)元）與的關(guān)系為，則果樹(shù)數(shù)量為多少時(shí)年利潤(rùn)最大？【解析】(1)①若選擇作為與的函數(shù)模型，將的坐標(biāo)分別帶入，得解得此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，與表格中的和相差較大，所以不適合作為與的函數(shù)模型.②若選擇作為與的函數(shù)模型，將的坐標(biāo)分別帶入，得解得此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，剛好與表格中的和相符合，所以更適合作為與的函數(shù)模型.(2)由題可知，該果園最多120000棵該呂種果樹(shù)，所以確定的取值范圍為，令，則經(jīng)計(jì)算，當(dāng)時(shí)，取最大值（萬(wàn)元），即，時(shí)（每畝約38棵），利潤(rùn)最大.例12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，決定近期投放市場(chǎng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：上市時(shí)間x（天）2620市場(chǎng)價(jià)y（元）10278120(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說(shuō)明理由：①，②，③，④；(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低市場(chǎng)價(jià)；(3)利用你選取的函數(shù)，若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解析】（1）由題表知，隨著時(shí)間x的增大，y的值隨的增大，先減小后增大，而所給的函數(shù)，和在上顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，故選擇．（2）把，，分別代入，得解得，，∴，．∴當(dāng)時(shí)，y有最小值，且．故當(dāng)該紀(jì)念章上市10天時(shí)，市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為每枚70元．（3）令，因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，則．又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，∴．變式9．（2022·湖南·株洲二中高一階段練習(xí)）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多國(guó)家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強(qiáng)的“德?tīng)査薄ⅰ袄愤_(dá)”、“奧密克戎”變異毒株，盡管我國(guó)抗疫取得了很大的成績(jī)，疫情也得到了很好的遏制，但由于整個(gè)國(guó)際環(huán)境的影響，時(shí)而也會(huì)出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢(shì)依然艱巨，日常防護(hù)依然不能有絲毫放松．某科研機(jī)構(gòu)對(duì)變異毒株在一特定環(huán)境下進(jìn)行觀測(cè)，每隔單位時(shí)間T進(jìn)行一次記錄，用x表示經(jīng)過(guò)單位時(shí)間的個(gè)數(shù)，用y表示此變異毒株的數(shù)量，單位為萬(wàn)個(gè)，得到如下觀測(cè)數(shù)據(jù)：123456…y(萬(wàn)個(gè))…10…50…150…若該變異毒株的數(shù)量y(單位：萬(wàn)個(gè))與經(jīng)過(guò)個(gè)單位時(shí)間T的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)求至少經(jīng)過(guò)多少個(gè)單位時(shí)間該病毒的數(shù)量不少于1億個(gè)．(參考數(shù)據(jù)：，)【解析】（1）若選，將，和，代入可得，，解得，故，將代入，；若選，將，和，代入可得，，解得，故，將代入可得，；所以選擇函數(shù)更合適，解析式為．（2）設(shè)至少需要個(gè)單位時(shí)間，則，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，，則，，的最小值為11，故至少經(jīng)過(guò)11個(gè)單位時(shí)間該病毒的數(shù)量不少于1億個(gè)．變式10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某商人計(jì)劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為萬(wàn)元時(shí)，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別是，，已知投資額為0時(shí)，收益為0.(1)求a，b的值;(2)若該商人投入萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，試建立該商人所獲收益的函數(shù)模型；(3)如果該商人準(zhǔn)備投入5萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收益的最大值.【解析】（1）由題可知：（2）由（1）可知：，設(shè)投入商品投入萬(wàn)元，投入商品萬(wàn)元?jiǎng)t收益為：（3）由題可知：令，則所以所以當(dāng)，即時(shí)，（萬(wàn)元）所以投入A商品4萬(wàn)元，B商品1萬(wàn)元，最大收益12萬(wàn)元變式11．（2022·福建廈門(mén)·高一期末）在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢．在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系為：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖如下：為了描述從第小時(shí)開(kāi)始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：①，②，③．(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；(2)利用和這兩組數(shù)據(jù)求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測(cè)從第小時(shí)開(kāi)始，至少再經(jīng)過(guò)多少個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到百萬(wàn)個(gè)．【解析】（1）依題意，所選函數(shù)必須滿足三個(gè)條件：（ⅰ）定義域包含；（ⅱ）增函數(shù)；（ⅲ）隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變?。?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑫r(shí)無(wú)意義；函數(shù)隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變大．函數(shù)可以同時(shí)符合上述條件，所以應(yīng)該選擇函數(shù)．（2）依題意知，解得，所以．令，解得．所以，至少再經(jīng)過(guò)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到百萬(wàn)個(gè)．變式12．（2022·福建南平·高一期末）在國(guó)家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策下，我國(guó)新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長(zhǎng)．某地區(qū)年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試從（，且），，（，且），三種函數(shù)模型中選擇一個(gè)最恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠?lái)刻畫(huà)新能源汽車保有量的增長(zhǎng)趨勢(shì)（不必說(shuō)明理由），設(shè)從年底起經(jīng)過(guò)年后新能源汽車保有量為輛，求出新能源汽車保有量關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)假設(shè)每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長(zhǎng)，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比相同，年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為輛，預(yù)計(jì)到年底傳統(tǒng)能源汽車保有量將下降．試估計(jì)到哪一年底新能源汽車保有量將超過(guò)傳統(tǒng)能源汽車保有量．（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1）根據(jù)該地區(qū)新能源汽車保有量的增長(zhǎng)趨勢(shì)知，應(yīng)選擇的函數(shù)模型是（，且），由題意得，解得，所以.（2）設(shè)傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比為，依題意得，，解得，設(shè)從年底起經(jīng)過(guò)年后的傳統(tǒng)能源汽車保有量為輛，則有，設(shè)從年底起經(jīng)過(guò)年后新能源汽車的數(shù)量將超過(guò)傳統(tǒng)能源汽車，則有化簡(jiǎn)得，所以，解得，故從年底起經(jīng)過(guò)年后，即年底新能源汽車的數(shù)量將超過(guò)傳統(tǒng)能源汽車.變式13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時(shí)間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每天得分與當(dāng)天鍛煉時(shí)間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過(guò)6分.現(xiàn)有三個(gè)函數(shù)模型①，②，③供選擇.(1)請(qǐng)你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型并說(shuō)明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）【解析】（1）第一步：分析題中每個(gè)模型的特點(diǎn)對(duì)于模型一，當(dāng)時(shí)，勻速增長(zhǎng)；對(duì)于模型二，當(dāng)時(shí)，先慢后快增長(zhǎng)；對(duì)于模型三，當(dāng)時(shí)，先快后慢增長(zhǎng).第二步：根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型從題圖看應(yīng)選擇先快后慢增長(zhǎng)的函數(shù)模型，故選.第三步：把題圖中的兩點(diǎn)代入選好的模型中，得到函數(shù)解析式將（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，解得，即.第四步：驗(yàn)證模型是否合適當(dāng)時(shí)，，滿足每天得分最高不超過(guò)6分的條件.所以函數(shù)的解析式為.（2）由，得，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要運(yùn)動(dòng)55分鐘.【方法技巧與總結(jié)】在沒(méi)有給出具體模型的問(wèn)題中，首先要由已知數(shù)據(jù)描繪出函數(shù)草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象，通過(guò)檢測(cè)所求函數(shù)模型與實(shí)際誤差的大小，探求相近的數(shù)學(xué)關(guān)系，預(yù)測(cè)函數(shù)的可能模型．題型五：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型例13．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期中）某地西紅柿從2月1日起開(kāi)始上市.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本單位：元與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間50120150種植成本26005002600由表知，體現(xiàn)與數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由提供的數(shù)據(jù)知，描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，也不是單調(diào)函數(shù)；而A，C，D對(duì)應(yīng)的函數(shù)，在時(shí)，均為單調(diào)函數(shù)，這與表格提供的數(shù)據(jù)不吻合，所以，選取B，故選：B．例14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若三個(gè)變量，，隨著變量x的變化情況如下表.x135791152545658510552924521891968517714956.106.616.957.27.6則關(guān)于x分別呈函數(shù)模型：，，變化的變量依次是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】由題表可知，隨著x的增大而迅速增大，是指數(shù)型函數(shù)的變化；隨著x的增大而增大，但是變化緩慢，是對(duì)數(shù)型函數(shù)的變化；相對(duì)于的變化要慢一些，是冪函數(shù)型的變化.故選:B.例15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：－2－101230.240.5112.023.988.02則，的函數(shù)關(guān)系與下列各類函數(shù)最接近的是（其中，為待定系數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)如圖所示．∵對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)顯示該函數(shù)是增函數(shù)，且增幅越來(lái)越快，∴A不成立；∵C是偶函數(shù)，∴的函數(shù)值應(yīng)該相等，∴C不成立；∵時(shí)，無(wú)意義，∴D不成立；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證它與各數(shù)據(jù)比較接近.故選：B.變式14．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢．在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間（單位：時(shí)）的關(guān)系如下表，為了描述從第2小時(shí)開(kāi)始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇，則最符合實(shí)際的函數(shù)模型為（

）2345683.53.844.164.34.5A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)條件畫(huà)出散點(diǎn)圖，依題意，所選函數(shù)必須滿足三個(gè)條件：①定義域包含；②是增函數(shù)；③隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變?。?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)無(wú)意義，故排除B；函數(shù)隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變大，故排除C；在上隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變大，故排除D．函數(shù)可以同時(shí)符合上述條件.故選：A．變式15．（2022·四川自貢·高一期末）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，如圖所示，根據(jù)散點(diǎn)圖可知，隨著的增大，的值增大，并且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，結(jié)合選項(xiàng)：函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越緩慢，不符合題意；函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，符合題意；函數(shù)，增長(zhǎng)速度不變，不符合題意；而函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)與真實(shí)數(shù)據(jù)誤差較大，所以最接近的一個(gè)函數(shù)是.故選：B.變式16．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若三個(gè)變量、、，隨著變量的變化情況如下表.2則關(guān)于分別呈函數(shù)模型：、、變化的變量依次是（

）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】B【解析】由表可知，隨著的增大而迅速的增大，是指數(shù)函數(shù)型的變化，隨著的增大而增大，但是變化緩慢，是對(duì)數(shù)函數(shù)型的變化，相對(duì)于的變化要慢一些，是冪函數(shù)型的變化.故選：B.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由題意日銷量x件時(shí)，利潤(rùn)是，，，．故選：B．2．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高一期末）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，（為時(shí)間，單位分鐘，為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開(kāi)水溫度℃，環(huán)境溫度℃，常數(shù)，大約經(jīng)過(guò)多少分鐘水溫降為40℃（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）（

）A．9 B．8 C．7 D．5【答案】C【解析】由題意可知所以所以故選：C3．（2022·四川瀘州·高一期末）在型病毒疫情初始階段，可以用指數(shù)函數(shù)模型描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律.指數(shù)增長(zhǎng)率與、近似滿足，其中為病毒基本再生數(shù)，為兩代間傳染所需的平均時(shí)間，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，.據(jù)此，在型病毒疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加至的4倍，至少需要（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】B【解析】由，，可得，所以，則，設(shè)題中所求病例增加至倍所需天數(shù)為天，所以，，即，所以，所以累計(jì)感染病例數(shù)增加至的4倍，至少需要天；故選：B．4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）考古科學(xué)家在測(cè)定良渚古城遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過(guò)測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來(lái)的至，據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在______年到5730年之間，則“______”為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4011 B．3438 C．2865 D．2292【答案】A【解析】由題可得，兩邊同取以2為底的對(duì)數(shù)，得，所以，則推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在4011年到5730年之間.故選：A.5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，假設(shè)所有聲音的聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）滿足，若火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，得．因?yàn)榛鸺l(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，所以火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)約為，人交談時(shí)的聲強(qiáng)約為，所以火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為．故選：A.6．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來(lái)了一定的危害．為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入資金200萬(wàn)元，搭建甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入資金40萬(wàn)元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種