初中數學面試題

北大學子教育數學數學

一.選擇題（1-10小題每小題3分，11-16小題每小題3分，共42分每小題的四個選項中只

有一個是正確的）

1.（3分）（2015?河北）計算：3-2x（-1）=（）

A.5B.1C.-1D.6

2.（3分）（2015?河北）下列說法正確的是（）

A.1的相反數是-1B.1的倒數是-1

C.1的立方根是±1D.-1是無理數

3.（3分）（2015?河北）一張菱形紙片按如圖1、圖2依次對折后，再按如圖3打出一個圓

形小孔，則展開鋪平后的圖案是（）

4.（3分）（2015?河北）下列運算正確的是（）

A.zK11B.6X107=6000000

22

C.（2a）2=2a2D.a3?a2=a5

5.（3分）（2015?河北）如圖所示的三視圖所對應的幾何體是（）

6.（3分）（2015?河北）如圖，AC,BE是。O的直徑，弦AD與BE交于點F,下列三角

形中，外心不是點O的是（）

A

B

A.AABEB.AACFC.AABDD.AADS

7.（3分）（2015?河北）在數軸上標注了四段范圍，如圖，則表示證的點落在（）

:、'?，’>

16~~2728—祗V

A.段①B.段②C.段③D.段④

8.（3分）（2015?河北）如圖，AB〃EF,CD-LEF,ZBAC=50°,貝!|/ACD=()

C.140°D.150°

9.（3分）（2015?河北）已知：島P位于島Q的正西方，由島P,Q分別測得船R位于南偏

東30。和南偏西45。方向上，符合條件的示意圖是（）

10.（3分）（2015?河北）一臺印刷機每年可印刷的書本數量y（萬冊）與它的使用時間x（年）

成反比例關系，當x=2時，y=20.則y與x的函數圖象大致是（）

11.（2分）（2015?河北）利用加減消元法解方程組，,下列做法正確的是

5x-3y=6②

(）

A.要消去y,可以將①x5+②x2B.要消去x,可以將①x3+②x(-5)

C.要消去y,可以將①x5+②x3D.要消去x,可以將①x(-5)+②x2

12.（2分）（2015?河北）若關于x的方程x2+2x+a=0不存在實數根，則a的取值范圍是（）

A.a<lB.a>lC.a<lD.a>l

13.（2分）（2015?河北）將一質地均勻的正方體骰子擲一次，觀察向上一面的點數，與點

數3相差2的概率是（）

A.1B.1C.1D.1

2356

14.（2分）（2015?河北）如圖，直線1：y=-&-3與直線y=a（a為常數）的交點在第四

A.l<a<2B.-2<a<0C.-3<a<-2D.-10<a<-4

15.（2分）（2015?河北）如圖，點A,B為定點，定直線1〃AB,P是1上一動點，點M,

N分別為PA,PB的中點，對下列各值:

①線段MN的長；②^PAB的周長；③△PMN的面積；④直線MN,AB之間的距離;

⑤NAPB的大小.

其中會隨點P的移動而變化的是（）

C.①③④D.④⑤

16.（2分）（2015?河北）如圖是甲、乙兩張不同的矩形紙片，將它們分別沿著虛線剪開后,

各自要拼一個與原來面積相等的正方形，則（）

甲乙

A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以

C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以

二.填空題（4個小題，每小題3分，共12分）

17.（3分）（2015?河北）若|a|=2015°,則a=.

18.（3分）（2015?河北）若a=2bx0,則蟲——匕的值為

2

a-ab

19.（3分）（2015?河北）平面上，將邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形

的一邊重合并疊在一起，如圖，則N3+N1-N2=.

20.（3分）（2015?河北）如圖，ZBOC=9°,點A在OB上，且OA=1,按下列要求畫圖:

以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點Ai，得第1條線段AAi；

再以Ai為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點A2,得第2條線段A1A2；

再以A?為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3,得第3條線段A2A3；...

這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=—.

三.解答題（共6個小題，共66分）

21.（10分）（2015?河北）老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程隨后用手掌捂住了如圖

所示的一個二次三項式，形式如圖：

（1）求所捂的二次三項式；

（2）若x=J^+l,求所捂二次三項式的值.

-3x=）c-5x+1

22.（10分）（2015?河北）嘉淇同學要證明命題"兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形"

是正確的，她先用尺規(guī)作出了如圖1的四邊形ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.

已知：如圖1,在四邊形ABCD中，BC=AD,AB=CD

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

（1）在方框中填空，以補全已知和求證；

（2）按嘉淇的想法寫出證明；

（3）用文字敘述所證命題的逆命題為平行四邊形兩組對邊分別相等.

我的想法是：利用三角形

全等，依據??兩組對邊分

別平行的四邊形是平行四

邊形”來證明

B

圖1圖2嘉淇

23.(10分)(2015?河北)水平放置的容器內原有210毫米高的水，如圖，將若干個球逐一

放入該容器中，每放入一個大球水面就上升4毫米，每放入一個小球水面就上升3毫米，假

定放入容器中的所有球完全浸沒水中且水不溢出.設水面高為y毫米.

(1)只放入大球，且個數為x大，求y與x大的函數關系式(不必寫出x大的范圍)；

(2)僅放入6個大球后，開始放入小球，且小球個數為x小

①求y與x小的函數關系式(不必寫出x小范圍)；

②限定水面高不超過260毫米，最多能放入幾個小球？

24.(11分)(2015?河北)某廠生產A,B兩種產品，其單價隨市場變化而做相應調整.營

銷人員根據前三次單價變化的情況，繪制了如表統(tǒng)計表及不完整的折線圖.

A,B產品單價變化統(tǒng)計年

第一次第二次第三次

A產品單價(元/件)65.2_6.5

B產品單價(元/件)3.543________

并求得了A產品三次單價的平均數和方差：

2222

~=5.9,SA=A[(6-5.9)+(5.2-5.9)+(6.5-5.9)]=-H

XA3150

(1)補全如圖中B產品單價變化的折線圖.B產品第三次的單價比上一次的單價降低了—

25%

(2)求B產品三次單價的方差，并比較哪種產品的單價波動小；

(3)該廠決定第四次調價，A產品的單價仍為6.5元/件，B產品的單價比3元/件上調m%

(m>0),使得A產品這四次單價的中位數是B產品四次單價中位數的2倍少1,求m的

值.

25.(11分)(2015?河北)如圖,已知點O(0,0),A(-5,0),B(2,1),拋物線1：

y=-(x-h)2+1(h為常數)與y軸的交點為C.

(1)1經過點B,求它的解析式，并寫出此時1的對稱軸及頂點坐標；

(2)設點C的縱坐標為yc，求yc的最大值，此時1上有兩點(xi，yi),(x2,y2),其中

xi>x2>0,比較yi與y2的大??；

(3)當線段OA被1只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4時，求h的值.

26.(14分)(2015?河北)平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延

長DA和QP交于點O,且/DOQ=60°,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.讓線段OD及矩形

ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向開始旋轉，設旋轉

角為a(0°<a<60°).

發(fā)現：

(1)當a=0。，即初始位置時，點P直線AB上.(填"在"或"不在")求當a是多少時,

OQ經過點B.

(2)在OQ旋轉過程中，簡要說明a是多少時，點P,A間的距離最??？并指出這個最小

值；

(3)如圖2,當點P恰好落在BC邊上時，求a及S陰影

拓展：

如圖3,當線段OQ與CB邊交于點M,與BA邊交于點N時，設BM=x(x>0),用含x

的代數式表示BN的長，并求x的取值范圍.

探究：當半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sina的值.

2015年河北省中考數學試卷

一.選擇題（1-10小題每小題3分，1L16小題每小題3分，共42分每小題的四個選項中只

有一個是正確的）

1.（3分）（2015?河北）計算：3-2x（-1）=（）

A.5B.1C.-1D.6

考點：有理數的混合運算.

分析：先算乘法，再算減法，由此順序計算即可.

解答：解：原式=3-（-2）

=3+2

=5.

故選：A.

點評：此題考查有理數的混合運算，掌握運算順序與符號的判定是解決問題的關鍵.

2.（3分）（2015?河北）下列說法正確的是（）

A.1的相反數是7B.1的倒數是7

C.1的立方根是±1D.-1是無理數

考點：立方根；相反數；倒數；無理數.

分析：根據相反數、倒數、立方根，即可解答.

解答：解：A、1的相反數是-1,正確；

B、1的倒數是1,故錯誤；

C、1的立方根是1,故錯誤；

D、-1是有理數，故錯誤；

故選：A.

點評：本題考查了相反數、倒數、立方根，解決本題的關鍵是熟記相反數、倒數、立方根的

定義.

3.（3分）（2015?河北）一張菱形紙片按如圖1、圖2依次對折后，再按如圖3打出一個圓

考點：剪紙問題.

分析：對于此類問題，學生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現.

解答：解：嚴格按照圖中的順序向右翻折，向右上角翻折，打出一個圓形小孔，展開得到結

論.

故選C.

點評：此題主要考查了剪紙問題；學生的動手能力及空間想象能力是非常重要的，做題時，

要注意培養(yǎng).

4.（3分）（2015?河北）下列運算正確的是（）

A.（1）i__1B.6x1（）7=6000000

2~2

C.（2a）2=2a2D.a3*a2=a5

考點：累的乘方與積的乘方；科學記數法一原數；同底數塞的乘法；負整數指數累.

分析：A：根據負整數指數累的運算方法判斷即可.

B：科學記數法axlO11表示的數，，還原，，成通常表示的數，就是把a的小數點向右移動n

位所得到的數，據此判斷即可.

C：根據積的乘方的運算方法判斷即可.

D：根據同底數幕的乘法法則判斷即可.

解答：解」.內工2,

2

二?選項A不正確；

V6X107=60000000,

.,?選項B不正確；

,**（2a）2=4a2,

二?選項C不正確；

..325

?a=a,

???選項D正確.

故選：D.

點評：（1）此題主要考查了事的乘方和積的乘方，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：

①（am）（m,n是正整數）；②（ab）Ja%11（n是正整數）.

（2）此題還考查了負整數指數塞的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：

①a-P=_L（axO,p為正整數）；②計算負整數指數塞時，一定要根據負整數指數募

ap

的意義計算；③當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變?yōu)檎笖?

（3）此題還考查了同底數塞的乘法法則：同底數哥相乘，底數不變，指數相加，要

熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①底數必須相同；②按照運算性質，只有相

乘時才是底數不變，指數相加.

（4）此題還考查了科學計數法-原數，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：科

學記數法axlO11表示的數"還原”成通常表示的數，就是把a的小數點向右移動n位所

得到的數.若科學記數法表示較小的數axlO：還原為原來的數，需要把a的小數點

向左移動n位得到原數.

5.（3分）（2015?河北）如圖所示的三視圖所對應的幾何體是（)

主視圖左視圖

考點：由三視圖判斷幾何體.

分析：對所給四個幾何體，分別從主視圖和俯視圖進行判斷.

解答：解：從主視圖可判斷A錯誤；從俯視圖可判斷C、D錯誤.

故選B.

點評：本題考查了由三視圖判斷幾何體：由三視圖想象幾何體的形狀，首先應分別根據主視

圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，然后綜合起來考慮整

體形狀.

6.（3分）（2015?河北）如圖，AC,BE是。O的直徑，弦AD與BE交于點F,下列三角

形中，外心不是點O的是（）

A.AABEB.AAGEC.AABDD.AADE

考點：三角形的外接圓與外心.

分析：利用外心的定義，外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫

做三角形的外心，進而判斷得出即可.

解答：解：如圖所小：只有AAGE的三個頂點不都在圓上，故外心不是點O的是aACF.

故選：B.

點評：此題主要考查了三角形外心的定義，正確把握外心的定義是解題關鍵.

7.（3分）（2015?河北）在數軸上標注了四段范圍，如圖，則表示加的點落在（）

:、>

F-2728~Z9V

A.段①B.段②C.段③D.段④

考點：估算無理數的大??；實數與數軸.

分析：根據數的平方，即可解答.

解答:解：2.62=6.76,2.72=7.29,2.82=7.84,2.92=8.41,32=9,

V7.84<8<8.41,

：.2.8<9,

二企的點落在段③，

故選：C.

點評：本題考查了估算無理數的大小，解決本題的關鍵是計算出各數的平方.

8.（3分）（2015?河北）如圖，AB〃EF,CD±EF,ZBAC=50°,貝!|/ACD=（）

考點：平行線的性質；垂線.

分析：如圖，作輔助線；首先運用平行線的性質求出NDGC的度數，借助三角形外角的性

質求出NACD即可解決問題.

解答：解：如圖，延長AC交EF于點G；

VAB/7EF,

ZDGC=ZBAC=50°；

VCD1EF,

ZCDG=90°,

ZACD=90°+50o=140",

點評：該題主要考查了垂線的定義、平行線的性質、三角形的外角性質等幾何知識點及其應

用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關鍵是靈活運用平行線

的性質、三角形的外角性質等幾何知識點來分析、判斷、解答.

9.（3分）（2015?河北）已知：島P位于島Q的正西方，由島P,Q分別測得船R位于南偏

東30。和南偏西45。方向上，符合條件的示意圖是（）

ABCD

考點：方向角.

分析：根據方向角的定義，即可解答.

解答：解：根據島P,Q分別測得船R位于南偏東30。和南偏西45。方向上，故D符合.

故選：D.

點評：本題考查了方向角，解決本題的關鍵是熟記方向角的定義.

10.（3分）（2015?河北）一臺印刷機每年可印刷的書本數量y（萬冊）與它的使用時間x（年）

成反比例關系，當x=2時，y=20.則y與x的函數圖象大致是（）

考點：反比例函數的應用；反比例函數的圖象.

分析：設y=K（kxO）,根據當x=2時，y=20,求出k,即可得出y與x的函數圖象.

X

解答：解：設y=X（kwO）,

x

"當x=2時，y=20,

/.k=40,

則y與x的函數圖象大致是C,

故選：C.

點評：此題考查了反比例函數的應用，關鍵是根據題意設出解析式，根據函數的解析式得出

函數的圖象.

⑵+5廠-10①

11.（2分）（2015?河北）利用加減消元法解方程組y,下列做法正確的是

5x-3尸6②

(

A.要消去y,可以將①x5+②x2B.要消去x,可以將①x3+②x(-5)

C.要消去y,可以將①x5+②x3D.要消去x,可以將①x(-5)+②x2

考點：解二元一次方程組.

專題：計算題.

分析：方程組利用加減消元法求出解即可.

解答：（9X+5V=-10（5）

解：利用加減消元法解方程組-，要消去x,可以將①x（-5）+②x2.

5x-3產6②'

故選D

點評：此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加

減消元法.

12.（2分）（2015?河北）若關于x的方程x2+2x+a=0不存在實數根,則a的取值范圍是（）

A.a<lB.a>lC.a<lD.a>l

考點：根的判別式.

分析：根據根的判別式得出b?-4ac<0,代入求出不等式的解集即可得到答案.

解答：解：???關于x的方程x2+2x+a=0不存在實數根，

?'.b2-4ac=22-4xlxa<0,

解得：a>l.

故選B.

點評：此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式，關鍵是掌握一元二次方程根的情況

與判別式△的關系：

（1）△>（）=方程有兩個不相等的實數根；

（2）△=（）=方程有兩個相等的實數根；

（3）△<0。方程沒有實數根.

13.（2分）（2015?河北）將一質地均勻的正方體骰子擲一次，觀察向上一面的點數，與點

數3相差2的概率是（）

A.1B.1C.1D.1

2356

考點：概率公式.

分析：由一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，擲一次這枚骰子，

向上的一面的點數為與點數3相差2的有2種情況，直接利用概率公式求解即可求得

答案.

解答：解：..?一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，擲一次這枚骰

子，向上的一面的點數為點數3相差2的有2種情況，

擲一次這枚骰子，向上的一面的點數為點數3相差2的概率是：芻工

63

故選B.

點評：此題考查了概率公式的應用.注意用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之

比.

14.（2分）（2015?河北）如圖，直線1：y=--3與直線y=a（a為常數）的交點在第四

3

象限，則a可能在（）

-2<a<0C.-3<a<-2D.-10<a<-4

考點：兩條直線相交或平行問題.

專題：計算題.

分析：先求出直線y=-4-3與y軸的交點，則根據題意得到a<-3時，直線y=-4-3

33

與直線y=a（a為常數）的交點在第四象限，而四個選項中，只有-10<aV-4滿足

條件，故選D.

解答：解：?.?直線y=-_|x-3與y軸的交點為（0,-3）,

而直線y=--3與直線y=a（a為常數）的交點在第四象限，

?'?aV-3.

故選D.

點評：本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應

的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么它

們的自變量系數相同，即k值相同.

15.（2分）（2015?河北）如圖，點A,B為定點，定直線1〃AB,P是1上一動點，點M,

N分別為PA,PB的中點，對下列各值：

①線段MN的長；②^PAB的周長；③△PMN的面積；④直線MN,AB之間的距離;

⑤NAPB的大小.

其中會隨點P的移動而變化的是（）

C.①③④D.④⑤

考點：三角形中位線定理；平行線之間的距離.

分析：根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MN=』AB,從而判斷

2

出①不變；再根據三角形的周長的定義判斷出②是變化的；確定出點P到MN的距

離不變，然后根據等底等高的三角形的面積相等確定出③不變；根據平行線間的距

離相等判斷出④不變；根據角的定義判斷出⑤變化.

解答：解：：點A,B為定點，點M,N分別為PA,PB的中點，

AMN是APAB的中位線，

，MN=1AB,

2

即線段MN的長度不變，故①錯誤；

PA、PB的長度隨點P的移動而變化，

所以，^PAB的周長會隨點P的移動而變化，故②正確；

VMN的長度不變，點P到MN的距離等于1與AB的距離的一半，

...△PMN的面積不變，故③錯誤；

直線MN,AB之間的距離不隨點P的移動而變化，故④錯誤；

ZAPB的大小點P的移動而變化，故⑤正確.

綜上所述，會隨點P的移動而變化的是②⑤.

故選B.

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等底等高的三角形

的面積相等，平行線間的距離的定義，熟記定理是解題的關鍵.

16.（2分）（2015?河北）如圖是甲、乙兩張不同的矩形紙片，將它們分別沿著虛線剪開后,

各自要拼一個與原來面積相等的正方形，則（）

1.1,2.21

**■/\?、、、

甲乙

A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以

C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以

考點：圖形的剪拼.__

分析：根據圖形可得甲可以拼一個邊長為7歷的正方形，圖乙可以拼一個邊長為旄的正方

形.

解答：解：所作圖形如圖所示，

甲乙都可以拼一個與原來面積相等的正方形.

故選A.

點評：本題考查了圖形的簡拼，解答本題的關鍵是根據題意作出圖形.

二.填空題（4個小題，每小題3分，共12分）

17.（3分）（2015?河北）若|a|=2015°,則a=±1.

考點：絕對值；零指數哥.

分析：先根據0次累，得到|a|=l,再根據互為相反數的絕對值相等，即可解答.

解答：解：?.?間=2015°,

***|a|=L

?*?a=±l,

故答案為：士1.

點評：本題考查了絕對值，解決本題的關鍵是熟記互為相反數的兩個數絕對值相等.

2,,2

18.（3分）（2015?河北）若a=2bx0,則W——乙的值為2.

2

a-ab-2一

考點：分式的化簡求值.

專題：計算題.

分析：把a=2b代入原式計算，約分即可得到結果.

解答：解：,入=?1），

20

.?.原式=色。、之

4b2-2b22

故答案為：3

2

點評：此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

19.（3分）（2015?河北）平面上，將邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形

的一邊重合并疊在一起，如圖，則N3+N1-N2=24°.

考點：多邊形內角與外角.

分析：首先根據多邊形內角和定理，分別求出正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的每

個內角的度數是多少，然后分別求出N3、Nl、N2的度數是多少，進而求出N3+N1

-Z2的度數即可.

解答：解：正三角形的每個內角是：

180°+3=60°,

正方形的每個內角是：

360°-r4=90",

正五邊形的每個內角是：

（5-2）xl8O°+5

=3xl80°+5

=540°+5

=108°,

正六邊形的每個內角是：

(6-2)X180U6

=4xl80°+6

=720°十6

=120。，

則N3+N1-Z2

=(90°-60°)+(120°-108°)-(108°-90°)

=30°+12°-18°

=24°.

故答案為：24。.

點評：此題主要考查了多邊形內角和定理，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：(1)n

邊形的內角和=(n-2).180(n>3)且n為整數).(2)多邊形的外角和指每個頂點

處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數是幾，其外角和永遠為360。.

20.(3分)(2015?河北)如圖，ZBOC=9°,點A在OB上，且OA=1,按下列要求畫圖:

以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點Ai，得第1條線段AAi；

再以Ai為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點A2,得第2條線段A1A2；

再以A?為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3,得第3條線段A2A3；...

這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=9.

考點：等腰三角形的性質.

分析：根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質依次可得NAIAB的度數，NA2Ale的度

數，NA3A2B的度數，NA4A3c的度數，…，依此得到規(guī)律，再根據三角形外角小于

90。即可求解.

解答：解：由題意可知：AO=A]A,AIA=A2AI，

則NAOAI=NOAIA,ZAIOA2=ZAIA2A,

ZBOC=9",

/.ZA]AB=18°,NA2Ale=27°,NA3A2B=36°的度數，/A4A3c=45,…，

.,.9°n<90°,

解得n<10.

故答案為：9.

點評：考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩個底角相等；三角形外角的性質：三角形

的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

三.解答題(共6個小題，共66分)

21.(10分)(2015?河北)老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程隨后用手掌捂住了如圖

所示的一個二次三項式，形式如圖：

(1)求所捂的二次三項式；

(2)若x=J^+l,求所捂二次三項式的值.

?-3x=/-5x+1

考點：整式的混合運算一化簡求值.

專題：計算題.

分析：(1)根據題意列出關系式，去括號合并即可得到結果；

(2)把x的值代入計算即可求出值.

解答:解：(1)設所捂的二次三項式為A,

根據題意得：A=x2-5x+l+3x=x2-2x+l；

(2)當x=J^+l時，原式=7+2遙-2遙-2+1=6.

點評：此題考查了整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

22.(10分)(2015?河北)嘉淇同學要證明命題"兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”

是正確的，她先用尺規(guī)作出了如圖1的四邊形ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.

已知：如圖1,在四邊形ABCD中，BC=AD,AB=CD

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

(1)在方框中填空，以補全已知和求證；

(2)按嘉淇的想法寫出證明；

(3)用文字敘述所證命題的逆命題為平行四邊形兩組對邊分別相等.

我的想法是：利用三角形

全等，依據“兩組對邊分

別平行的四邊形是平行四

邊形”來證明八

考點：平行四邊形的判定；命題與定理.

分析：(1)命題的題設為“兩組對邊分別相等的四邊形"，結論是"是平行四邊形"，根據題設

可得已知：在四邊形ABCD中，BC=AD,AB=CD,求證：四邊形ABCD是平行四邊

形；

(2)連接BD,利用SSS定理證明^ABD絲ZM2DB可得NADB=NDBC,

NABD=NCDB,進而可得AB〃CD,AD〃CB,根據兩組對邊分別平行的四邊形是

平行四邊形可得四邊形ABCD是平行四邊形；

(3)把命題"兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”的題設和結論對換可得平行

四邊形兩組對邊分別相等.

解答：解：(1)已知：如圖1,在四邊形ABCD中，BC=AD,AB=CD

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

(2)證明：連接BD,

在aABD和ACDB中,

AB=CD

<AD=BC，

LBD=DB

.".AABD^ACDB(SSS),

/.ZADB=ZDBC,ZABD=ZCDB,

，AB〃CD,AD/ZCB,

.?.四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）用文字敘述所證命題的逆命題為：平行四邊形兩組對邊分別相等.

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四

邊形.

23.（10分）（2015?河北）水平放置的容器內原有210毫米高的水，如圖，將若干個球逐一

放入該容器中，每放入一個大球水面就上升4毫米，每放入一個小球水面就上升3毫米，假

定放入容器中的所有球完全浸沒水中且水不溢出.設水面高為y毫米.

（1）只放入大球，且個數為x大，求y與x大的函數關系式（不必寫出x大的范圍）；

（2）僅放入6個大球后，開始放入小球，且小球個數為x小

①求y與x小的函數關系式（不必寫出x小范圍）；

②限定水面高不超過260毫米，最多能放入幾個小球？

考點：一次函數的應用.

分析：（1）根據每放入一個大球水面就上升4毫米，即可解答；

（2）①根據y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答；

②根據題意列出不等式，即可解答.

解答:解：（1）根據題意得：y=4x大+210；

（2）①當x大=6時，y=4x6+210=234,

*'?y=3x小+234；

②依題意，得3x小+234W260,

解得：x小48卷

?x小為自然數,

?,?X小最大為8,即最多能放入8個小球.

點評：本題考查了一次函數的應用，解決本題的關鍵是根據題意，列出函數關系式、一元一

次不等式.

24.（11分）（2015?河北）某廠生產A,B兩種產品，其單價隨市場變化而做相應調整.營

銷人員根據前三次單價變化的情況，繪制了如表統(tǒng)計表及不完整的折線圖.

A,B產品單價變化統(tǒng)計表

|第一次第二次第三次

A產品單價（元/件）65.26.5

B產品單價（元/件）3.54_______

并求得了A產品三次單價的平均數和方差：

222

~=5.9,SA=A[（6-5.9）+（5.2-5.9）+（6.5-5.9）?]=出

'A3150

（1）補全如圖中B產品單價變化的折線圖.B產品第三次的單價比上一次的單價降低了一

25%

（2）求B產品三次單價的方差，并比較哪種產品的單價波動??；

（3）該廠決定第四次調價，A產品的單價仍為6.5元/件，B產品的單價比3元/件上調m%

（m>0）,使得A產品這四次單價的中位數是B產品四次單價中位數的2倍少1,求m的

值.

考點：方差；統(tǒng)計表；折線統(tǒng)計圖；算術平均數；中位數.

分析：（1）根據題目提供數據補充折線統(tǒng)計圖即可；

（2）分別計算平均數及方差即可；

（3）首先確定這四次單價的中位數，然后確定第四次調價的范圍，根據"A產品這四

次單價的中位數是B產品四次單價中位數的2倍少1"列式求m即可.

解答：解：（1）如圖2所示：

B產品第三次的單價比上一次的單價降低了g二225%,

4

(2)~=1C3.5+4+3)=3.5,

XB3

2_(3.5-3.5)2+(4-3.5)2+(3-3.5)21

、36

?；B產品的方差小，

，B產品的單價波動小；

(3)第四次調價后，對于A產品，這四次單價的中位數為殳電星空；

24

對于B產品，Vm<0,

...第四次單價大于3,

y5+4i>25；

244

...第四次單價小于4,

-3(1+m%)+3.5c,25

24

?*.m=25.

點評：本題考查了方差、條形統(tǒng)計圖、算術平均數、中位數的知識，解題的關鍵是根據方差

公式進行有關的運算，難度不大.

25.(11分)(2015?河北)如圖,已知點O(0,0),A(-5,0),B(2,1),拋物線1：

y=-(x-h)2+1(h為常數)與y軸的交點為C.

(1)1經過點B,求它的解析式，并寫出此時1的對稱軸及頂點坐標；

(2)設點C的縱坐標為yc，求yc的最大值，此時1上有兩點(xi，yi),(x2,y2),其中

xi>x2>0,比較yi與y2的大小；

(3)當線段OA被1只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4時，求h的值.

考點：二次函數綜合題.

分析：(1)把點B的坐標代入函數解析式，列出關于h的方程，借助于方程可以求得h的

值；利用拋物線函數解析式得到該圖象的對稱軸和頂點坐標；

(2)把點C的坐標代入函數解析式得到：yc=-h2+l,則由二次函數的最值的求法易

得yc的最大值，并可以求得此時拋物線的解析式，根據拋物線的增減性來求yi與y2

的大??；

(3)根據已知條件"O(0,0),A(-5,0),線段OA被1只分為兩部分，且這兩部

分的比是1：4"可以推知把線段OA被1只分為兩部分的點的坐標分別是(-1,0),

(-4,0).由二次函數圖象上點的坐標特征可以求得h的值.

解答：解：(1)把點B的坐標B(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得

1=-(2-h)2+l.

解得h=2.

則該函數解析式為y=-(x-2)(或y=-x?+4x-3).

故拋物線1的對稱軸為x=2,頂點坐標是(2,1)；

(2)點C的橫坐標為0,則yc=-h?+l.

當h=0時，)^=有最大值1,

此時，拋物線1為：y=-x2+l,對稱軸為y軸，開口方向向下，

所以，當xNO時，y隨x的增大而減小，

所以，xi>X2>0,yi<y2；

(3)?.?線段OA被1只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4,且0(0,0),A(-5,

0),

...把線段OA被1只分為兩部分的點的坐標分別是(-1,0),(-4,0).

把X=-1,y=o代入y=-(x-h)2+1,得

0=-(-1-h)2+1,

解得％=0,h2=-2.

但是當h=-2時，線段OA被拋物線1分為三部分，不合題意，舍去.

同樣，把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+l,得

h=-5h=-3(舍去).

綜上所述，h的值是0或-5.

點評：本題考查了二次函數綜合題.該題涉及到了待定系數法求二次函數解析式，二次函數

圖象上點的坐標特征，二次函數最值的求法以及點的坐標與圖形的性質等知識點，綜

合性比較強，難度較大.解答(3)題時，注意對h的值根據實際意義進行取舍.

26.(14分)(2015?河北)平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延

長DA和QP交于點O,且NDOQ=60。，OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.讓線段OD及矩形

ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向開始旋轉，設旋轉

角為a(0°<a<60").

發(fā)現：

⑴當a=0。，即初始位置時，點P在直線AB上.(填"在"或"不在")求當a是多少時,

OQ經過點B.

(2)在OQ旋轉過程中，簡要說明a是多少時，點P,A間的距離最??？并指出這個最小

值；

(3)如圖2,當點P恰好落在BC邊上時，求a及S陰影

拓展：

如圖3,當線段OQ與CB邊交于點M,與BA邊交于點N時，設BM=x(x>0),用含x

的代數式表示BN的長，并求x的取值范圍.

探究：當半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sina的值.

考點：圓的綜合題.

分析：(1)在，當0Q過點B時，在RtZ\OAB中，AO=AB,得至IJNDOQ=NABO=45。，求

得a=60°-45°=15°；

(2)如圖2,連接AP,由OA+AP2OP,當OP過點A,即a=60。時，等號成立，于

是有AP>OP-0A=2-1=1,當a=60。時，P、A之間的距離最小，即可求得結果

(3)如圖2,設半圓K與PC交點為R,連接RK,過點P作PH，AD于點H,過點

R作RE_LKQ于點E,在RtAOPH中，PH=AB=1,OP=2,得至1J/POH=30。，求得a=60°

-30°=30°,由于AD〃BC,得到/RPO=/POH=30。，求出NRKQ=2X3(T=60。，于是

得到結果；

拓展：如圖5,由/OAN=NMBN=90。，ZANO=ZBNM,得到△AONS/\BMN求

出BN=上，如圖4,當點Q落在BC上時，x取最大值，作