高三數(shù)學一輪復習第二章函數(shù)第7課時函數(shù)的圖象及其應用學案

第7課時函數(shù)的圖象及其應用[考試要求]1．掌握基本初等函數(shù)的圖象特征，能熟練運用基本初等函數(shù)的圖象解決問題．2．掌握圖象的作法：描點法和圖象變換．3．會運用函數(shù)的圖象，理解和研究函數(shù)性質(zhì)．考點一作函數(shù)圖象1．利用描點法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換提醒：“左加右減”只針對x本身，與x的系數(shù)無關(guān)，“上加下減”指的是在f(x)整體上加減．(2)對稱變換①y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱y＝－f②y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱y＝f③y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱y＝－f(－x④y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱y＝logax(a＞0且(3)伸縮變換①y＝f(x)的圖象a＞1，橫坐標縮短為原來的1a，縱坐標不變0＜a＜1，橫坐標伸長為原來的②y＝f(x)的圖象a＞1，縱坐標伸長為原來的a倍，橫坐標不變0＜a＜1，縱坐標縮短為原來的a倍，橫坐標不變(4)翻折變換①y＝f(x)的圖象x軸下方部分翻折到上方x軸及上方部分不變y＝|f②y＝f(x)的圖象y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變y＝f[常用結(jié)論](1)函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝b-a2(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(－x)的圖象關(guān)于點(0，b)對稱；(4)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱．[典例1]作出下列函數(shù)的圖象．(1)y＝12(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1．[解](1)先作出y＝12x的圖象，保留y＝12x圖象中x≥0的部分，再作出y＝12x的圖象中x＞0部分關(guān)于y軸的對稱部分，即得(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②．(3)∵y＝x2-2x-1，x≥0，(1)熟練掌握幾種基本初等函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x＋1x的函數(shù)，三角函數(shù)y＝sinx、y＝cosx等函數(shù)．(2)若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序．跟進訓練1作出下列函數(shù)的圖象．(1)y＝10|lgx|；(2)y＝|log2x－1|．[解](1)y＝10|lgx|＝x，x≥(2)先作出y＝log2x的圖象，再將圖象向下平移1個單位長度，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，即得y＝|log2x－1|的圖象，如圖②所示．考點二函數(shù)圖象的辨識辨析函數(shù)圖象的入手點，具體如下：函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象特征函數(shù)的定義域圖象的左右位置函數(shù)的值域圖象的上下位置函數(shù)的奇偶性圖象的對稱性函數(shù)的單調(diào)性圖象的變化趨勢函數(shù)的周期性圖象的循環(huán)往復函數(shù)的零點圖象與x軸的交點情況函數(shù)經(jīng)過的定點、極值點等函數(shù)圖象上的特殊點[典例2](1)(2024·宜賓市第四中學?？家荒?函數(shù)f(x)＝xsin2x-3ABCD(2)(2023·天津卷)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝5ex-e-xx2+2C．f(x)＝5ex+e-xx2+2(1)D(2)D[(1)因為－3π2≤x≤3π2，f(－x)＝－xsin2x＝－又fπ2＝π2，f3π22＝3π2(2)由題圖知，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，故排除A，B；當x>0時，5e故選D．]本例(1)先根據(jù)奇偶性排除A，C，再根據(jù)f3π2>fπ本例(2)由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，先排除A，B，再判斷C中函數(shù)在(0，＋∞)上的函數(shù)符號排除選項，即得答案．【教師備用】(2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學?？既?函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln|x－1|的大致圖象是()ABCDB[因為f(x)＝(x＋1)ln|x－1|，所以f-12＝12當x>2時，f(x)＝(x＋1)ln(x－1)>0恒成立，排除A．故選B．]跟進訓練2(1)(2022·全國甲卷)函數(shù)y＝(3x－3－x)cosx在區(qū)間-πABCD(2)(2024·江西統(tǒng)考模擬預測)函數(shù)f(x)＝x2ABCD(1)A(2)D[(1)令f(x)＝(3x－3－x)cosx，x∈-π則f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，排除BD；又當x∈0，π2時，3x－3－x＞0，cosx＞0，所以f(2)由題可知，2－2|x|≠0?x≠±1，所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠±1}，關(guān)于原點對稱，又f(－x)＝x22-2x＝f(x)，所以函數(shù)又f(2)＝42-4＝－考點三函數(shù)圖象的應用[典例3](1)已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1，1)D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x-1，x≤2，-x+5，x>2．若互不相等的實數(shù)a，b，c滿足f(a)＝f(b)＝A．(16，32) B．(18，34)C．(17，35) D．(6，7)(1)C(2)B[(1)由題意得f(x)＝x2-2x，x≥0，-x2-2x，x<0，(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．不妨令a＜b＜c，則1－2a＝2b－1，則2a＋2b＝2．結(jié)合圖象可得4＜c＜5，故16＜2c＜32，所以18＜2a＋2b＋2c＜34．]解決本例(1)需熟知對于已知解析式或易畫出在給定區(qū)間上的圖象的函數(shù)，常借助圖象研究其性質(zhì)：(1)從圖象的最高點、最低點分析函數(shù)的最值、極值．(2)從圖象的對稱性分析函數(shù)的奇偶性．(3)從圖象的走向趨勢分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性．本例(2)解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，結(jié)合圖象即可．跟進訓練3(1)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________．(2)已知函數(shù)f(x)＝log13x，x＞0，2x，x≤(1)12，1(2)(0，1][(1)先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當直線g(x)＝kx與直線AB平行時，斜率為1，當直線g(x)＝kx過A點時，斜率為12，故f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根時，(2)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝k的圖象，如圖所示，由圖可知k∈(0，1]．]課后習題(十一)函數(shù)的圖象及其應用1．(湘教版必修第一冊P152復習題四T16改編)小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是()ABCDC[法一：出發(fā)時距學校最遠，先排除A；中途堵塞停留，距離不變，再排除D；堵塞停留后比原來騎得快，因此排除B，故選C．法二：由小明的運動規(guī)律知，小明距學校的距離應逐漸減小，由于小明先是勻速運動，故前段是直線段，途中停留時距離不變，后段加快速度行駛，比前段下降得快，故選C．]2．(人教A版必修第一冊P73習題3.1T7改編)下列圖象是函數(shù)y＝x2ABCDC[其圖象是由y＝x2圖象中x<0的部分和y＝x－1圖象中x≥0的部分組成．]3．(人教A版必修第一冊P68例6改編)對于任意實數(shù)a，b，定義mina，b＝a，a≤b，b，a>b．設(shè)函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x1[在同一平面直角坐標系中，作出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象為如圖所示的實線部分，令－x＋3＝log2x?x＝2，則點A(2，1)為圖象的最高點，因此h(x)的最大值為1．故答案為1．]4．(人教A版必修第一冊P159復習參考題4T1(1)改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對稱，再把y＝f(x)的圖象向右平移1個單位長度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)＝________．e－x+1[函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對稱，可得f(x)＝e－x，把y＝f(x)的圖象向右平移1個單位長度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，即g(x)＝e－x+1．故答案為e－x+1．]5．已知函數(shù)f(x)＝|2x-1－2|＋m有兩個零點，則m的取值范圍是()A．(0，2) B．(0，＋∞)C．(－2，0) D．(－∞，0)C[令f(x)＝|2x-1－2|＋m＝0，得|2x-1－2|＝－m．因為f(x)有兩個零點，所以函數(shù)y＝|2x-1－2|的圖象與直線y＝－m有兩個交點．畫出函數(shù)y＝|2x-1－2|的圖象，如圖所示．由圖可知0<－m<2，則－2<m<0．]6．(2024·天津北辰校考模擬預測)已知函數(shù)f(x)＝x-1x·ABCDA[由f(－x)＝-x-1-x·ln|－x|＝x-1-x·ln|x|＝－f(x)，知f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，排除B，D；當0<7．(2023·鞍山一中?？级?函數(shù)y＝sinx·lnx2ABCDA[因為y＝f(x)＝sinx·lnx2+2x2定義域為{x且f(－x)＝sin(－x)·ln-x2+2-x所以y＝sinx·lnx2對于C，x∈(0，π)時，sinx>0，x2+2x所以lnx2所以y＝sinx·lnx2+2x對于選項A，符合函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，也符合x∈(0，π)時，y＝sinx·lnx28．函數(shù)f(x)＝x2－32A．1 B．2C．3 D．4C[函數(shù)f(x)＝x2－32x的零點，即為f(x)＝x2－32x＝0的根，所以x畫出兩個函數(shù)圖象如圖所示：根據(jù)圖象及指數(shù)函數(shù)的增長趨勢，可知兩個函數(shù)的圖象有3個交點，所以函數(shù)f(x)＝x2－329．(多選)關(guān)于函數(shù)f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正確的有()A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增B．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝4D．函數(shù)f(x)有且僅有兩個零點ABD[函數(shù)f(x)＝|ln|2－x||的圖象如圖所示，由圖可得，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，A正確；函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，B正確；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2的值不一定等于4，C錯誤；函數(shù)