高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最大(小)值學(xué)案

第3課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最大(小)值[考試要求]1．借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件．2．會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．3．會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及極值點(diǎn)1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．2．對極值的詮釋(1)極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內(nèi)最大或最??；(2)函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個；(3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．3．求函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x);(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′(x)在方程根左、右值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左、右不改變符號即都為正或都為負(fù)，則f(x)在這個根處無極值．[典例1](1)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，(2，0)，如圖所示，則下列說法中不正確的序號是________．①當(dāng)x＝32②f(x)有兩個極值點(diǎn)；③當(dāng)x＝2時函數(shù)取得極小值；④當(dāng)x＝1時函數(shù)取得極大值．(2)(2023·四川成都統(tǒng)考二模)函數(shù)f(x)＝13x3－x2(3)(2023·吉林延邊統(tǒng)考二模)若函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝3處有極小值，則c的值為________．(1)①(2)1(3)3[(1)由圖象可知，當(dāng)x∈(－∞，1)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，2)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0．所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．f(x)有兩個極值點(diǎn)1和2，且當(dāng)x＝2時函數(shù)取得極小值，當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得極大值，故只有①不正確．故答案為：①．(2)因為f(x)＝13x3－x2＋1，所以x∈R所以f′(x)＝x2－2x＝x(x－2)，所以在(－∞，0)，(2，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；在(0，2)上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．所以f(x)在x＝0處取得極大值：f(0)＝13×03－02故答案為：1．(3)因為f(x)＝x(x－c)2，所以f′(x)＝(x－c)(3x－c)，又因為函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝3處有極小值，所以f′(3)＝(3－c)(9－c)＝0，解得c＝3或c＝9，當(dāng)c＝3時，f′(x)＝(x－3)(3x－3)，所以x>3時，f′(x)>0，1<x<3時，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在x＝3處取得極小值；當(dāng)c＝9時，f′(x)＝(x－9)(3x－9)，所以3<x<9時，f′(x)<0，x<3時，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在x＝3處取得極大值，不合題意，舍去，故答案為：3．]本例(1)判別f(x0)是極大、極小值的方法：若x0滿足f′(x0)＝0，且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f(x)的極值點(diǎn)，f(x0)是極值，并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)是極大值；如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值．本例(3)要注意根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0求解后驗證根的合理性．【教師備用】已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝12時，求f(x(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個數(shù)．[解](1)當(dāng)a＝12時，f(x)＝lnx－12x，x>0，f′(x)＝1x－1令f′(x)＝0，得x＝2，于是當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表．x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln2－1，無極小值．(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1-ax當(dāng)a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，則函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時，若x∈0，1a，則f若x∈1a，+∞，則f′(x)<0，故函數(shù)在x綜上可知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時，函數(shù)y＝f(x)有一個極大值點(diǎn)．跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)(多選)如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則以下關(guān)于函數(shù)y＝f(x)的判斷正確的是()A．在區(qū)間(2，4)內(nèi)單調(diào)遞減B．在區(qū)間(2，3)內(nèi)單調(diào)遞增C．x＝－3是極小值點(diǎn)D．x＝4是極大值點(diǎn)(2)(2024·阜新模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋f'25x2－9x，則fA．－3 B．1C．27 D．－5(3)若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋1在區(qū)間(0，1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)a的取值范圍為________．(1)BD(2)C(3)(0，1)[(1)A．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2，4)內(nèi)f′(x)>0，則函數(shù)單調(diào)遞增，故A錯誤；B．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2，3)的導(dǎo)數(shù)f′(x)>0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞增，故B正確；C．由圖象知當(dāng)x＝－3時，函數(shù)f′(x)取得極小值，但是函數(shù)y＝f(x)沒有取得極小值，故C錯誤；D．x＝4時，f′(x)＝0，當(dāng)2<x<4時，f′(x)>0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>4時，f′(x)<0，此時函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減，則函數(shù)y＝f(x)有極大值，x＝4是極大值點(diǎn)，故D正確．故選BD．(2)∵f(x)＝x3＋f'25x2∴f′(x)＝3x2＋2f'∴f′(2)＝12＋45f′(2)－9，解得f∴f(x)＝x3＋3x2－9x，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，∴當(dāng)x<－3或x>1時，f′(x)>0；當(dāng)－3<x<1時，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－3，1)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝－3時，f(x)取得極大值27．故選C．(3)由f(x)＝x3－3ax＋1可得f′(x)＝3x2－3a，當(dāng)a≤0時，f′(x)＝3x2－3a>0恒成立，所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)a>0時，令f′(x)＝3x2－3a>0，可得x>a或x<－a；令f′(x)＝3x2－3a<0，可得－a<x<a，所以a>0時，f(x)＝x3－3ax＋1在x＝a處取得極小值，若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋1在區(qū)間(0，1)內(nèi)有極小值，則0<a<1，解得0<a<1．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(0，1)．]考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值1．函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．2．求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．[典例2](2021·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝3-2xx(1)若a＝0，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．[解](1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝3-2xx2，∴又f′(x)＝2x-6x3，故f′(1)＝－4，故曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為y＝－4(x－1)＋1，即4x＋(2)由題意得f′(x)＝2x2-6x-2ax2+a2故f(x)＝3-2xx2+4，x∈R，f′(x)＝2令f′(x)>0，解得x>4或x<－1；令f′(x)<0，解得－1<x<4，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(4，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，4)．所以f(x)的極大值為f(－1)＝1，f(x)的極小值為f(4)＝－14又當(dāng)x∈(－∞，－1)時，3－2x>0，故f(x)>0；當(dāng)x∈(4，＋∞)時，3－2x<0，故f(x)<0，∴f(x)max＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(4)＝－14(1)當(dāng)a＝0時，求出f(1)與f′(1)的值，再寫出切線方程；(2)由f′(－1)＝0求出a的值，再通過導(dǎo)函數(shù)的符號求出f(x)的單調(diào)區(qū)間和最值．跟進(jìn)訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(2x＋3)＋x2．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)求f(x)在區(qū)間-3[解](1)函數(shù)f(x)＝ln(2x＋3)＋x2的定義域為-3又f′(x)＝22x+3＋2x＝4令f′(x)>0，解得x>－12或－32<x<令f′(x)<0，解得－1<x<－12所以函數(shù)f(x)在-32，-1，(2)由(1)可得：函數(shù)f(x)在區(qū)間-34，所以當(dāng)x＝－12時，函數(shù)f(x)取得最小值f-12又f-34＝916＋ln32，f14而f-34－f14＝916＋ln3＝12＋ln37＝所以當(dāng)x＝14時，函數(shù)f(x)取得最大值為116＋ln即f(x)在區(qū)間-34，14上的最大值為1課后習(xí)題(十六)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最大(小)值1．(人教A版選擇性必修第二冊P92練習(xí)T1改編)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的極小值點(diǎn)的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4A[由題意知在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號為左負(fù)右正，f(x)在x＝－1左減右增，f(x)在x＝－1處取得極小值．故選A．]2．(人教A版選擇性必修第二冊P95例7改編)函數(shù)f(x)＝2x－xlnx的極大值是()A．1e B．C．e D．e2C[f′(x)＝2－(lnx＋1)＝1－lnx．令f′(x)＝0，得x＝e．當(dāng)0＜x＜e時，f′(x)＞0；當(dāng)x＞e時，f′(x)＜0．所以x＝e時，f(x)取到極大值，f(x)極大值＝f(e)＝e．]3．(人教A版選擇性必修第二冊P104T9改編)若函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極小值，則常數(shù)c的值為()A．4 B．2或6C．2 D．6C[函數(shù)f(x)＝x(x－c)2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝3x2－4cx＋c2．由題意知，f(x)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)值為12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6．又函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極小值，故導(dǎo)數(shù)在x＝2處左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正．當(dāng)c＝2時，f(x)＝x(x－2)2的導(dǎo)數(shù)在x＝2處左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，即在x＝2處有極小值．而當(dāng)c＝6時，f(x)＝x(x－6)2在x＝2處有極大值．故c＝2．]4．(人教A版選擇性必修第二冊P93例6改編)若函數(shù)f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最大值為4，則m4[f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，當(dāng)x∈[0，2)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(2，3]時，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m．所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4．]5．(2023·巴蜀中學(xué)一模)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(x＋1)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．函數(shù)f(x)有極大值f(－3)和f(3)B．函數(shù)f(x)有極小值f(－3)和f(3)C．函數(shù)f(x)有極小值f(－3)和極大值f(3)D．函數(shù)f(x)有極小值f(3)和極大值f(－3)C[由題圖可知，當(dāng)x＜－3時，x＋1＜0，則f′(x)＜0，當(dāng)－3＜x＜－1時，x＋1＜0，則f′(x)＞0，當(dāng)－1＜x＜3時，x＋1＞0，則f′(x)＞0，當(dāng)x＞3時，x＋1＞0，則f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)有極小值f(－3)和極大值f(3)．故選C．]6．(多選)(2023·山西運(yùn)城統(tǒng)考三模)已知函數(shù)f(x)＝e2x－2ex－12x，則下列說法正確的是()A．曲線y＝f(x)在x＝0處的切線與直線x＋12y＝0垂直B．f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增C．f(x)的極小值為3－12ln3D．f(x)在[－2，1]上的最小值為3－12ln3BC[因為f(x)＝e2x－2ex－12x，所以f′(x)＝2e2x－2ex－12＝2(ex－3)(ex＋2)，所以f′(0)＝－12，故A錯誤；令f′(x)>0，解得x>ln3，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln3，＋∞)，而(2，＋∞)?(ln3，＋∞)，所以f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)x<ln3時，f′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，ln3)，所以f(x)的極小值為f(ln3)＝3－12ln3，故C正確；f(x)在[－2，1]上單調(diào)遞減，所以最小值為f(1)＝e2－2e－12，故D錯誤．故選BC．]7．(2023·陜西寶雞二模)函數(shù)f(x)＝x2＋(a－1)x－3lnx在(1，2)內(nèi)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍為()A．-32，C．-43，A[f′(x)＝2x＋(a－1)－3x＝2設(shè)g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因為Δ＝(a－1)2＋24＞0，因此g(x)＝0有兩個不同實根，又g(0)＝－3＜0，因此g(x)＝0的兩根一正一負(fù)，由題意正根在(1，2)內(nèi)，所以g解得－32＜a8．(2024·蘇州模擬)函數(shù)f(x)＝－13x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，則實數(shù)a[－2，1)[由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，1)上單調(diào)遞增，故若函數(shù)f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，則a<1，10-9．求函數(shù)f(x)＝12x2－ln