高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量、復(fù)數(shù)第4課時(shí)復(fù)數(shù)學(xué)案

第4課時(shí)復(fù)數(shù)[考試要求]1．通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)．2．理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義．3．掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部為a，虛部為b若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復(fù)平面建立平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示虛數(shù)復(fù)數(shù)的模設(shè)OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝a＋bi(a，b∈R)，則向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝a[典例1](1)已知i為虛數(shù)單位，則i607的共軛復(fù)數(shù)為()A．i B．－iC．1 D．－1(2)(2024·諸暨模擬)已知a，b，c∈R，i是虛數(shù)單位，若1+aib+iA．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝－b D．a(chǎn)＝－1(1)A(2)C[(1)因?yàn)閕607＝(i2)303·i＝－i，－i的共軛復(fù)數(shù)為i．(2)由題意得1＋ai＝ci(b＋i)＝－c＋bci，則1=-c，a=bc，則a＝－解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)若復(fù)數(shù)z＝11-i＋ai(i為虛數(shù)單位，a∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則A．－2 B．－1C．0 D．1(2)(2024·杭州質(zhì)檢)設(shè)復(fù)數(shù)z＝a－i且z1+i＝1＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)，則ab＝________，|(1)B(2)－610[(1)依題意，復(fù)數(shù)z＝11-i＋ai＝1+i1-i1+i所以12＋a+解得a＝－1，故選B．(2)由z1+i＝1＋bi得z＝(1＋bi)(1＋i)＝1－b＋(1＋因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝a－i，所以1-b=a解得a=3，b=-2，則ab＝－6，z＝a－i＝3－i，則|z|＝32考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1．復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a+bic+di＝a+bic-di2．幾何意義：如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即OZ＝OZ1+[典例2](1)2-iA．1 B．－1C．i D．－i(2)若z＝1＋i，則|z2－2z|＝()A．0 B．1C．2 D．2(3)(2024·浙江十校聯(lián)盟聯(lián)考)已知兩非零復(fù)數(shù)z1，z2，若z1·z2∈R，則一定成立的是()A．z1＋z2∈R B．z1·z2∈C．z1z2∈R D．(1)D(2)D(3)D[(1)2-i1+2i＝2-(2)法一：z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2．法二：|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2．故選D．(3)設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則由z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i∈R得ad＋bc＝0，則z1z2＝＝ac-bd+ad+bcic2+記住以下結(jié)論，可提高運(yùn)算速度：①(1±i)2＝±2i；②1+i1-i＝i；③1-i1+i＝－i；④a+bii＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)(2024·臺州評估測試)已知復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝i(其中i為虛數(shù)單位)，則|z|＝()A．25 B．1C．5 D．1(2)(2024·鎮(zhèn)海中學(xué)檢測)已知i是虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z1＝1－2i，z2＝3＋mi(m∈R)，則|z1|＝______，若z2z1(3)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，則|z1－z2|＝________．(1)D(2)5－6(3)23[(1)由(3－4i)z＝i，得復(fù)數(shù)z＝i3-4i，所以|z|＝i3-4(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z1＝1－2i，所以|z1|＝|1－2i|＝1+4＝5．設(shè)z2z1＝b，則z2＝z1b，即3＋mi＝b(1－2i)＝b所以3＝b，m＝－2b＝－6．(3)法一：設(shè)z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因?yàn)閦1＋z2＝3＋i，所以2z1＝(3＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(3－a)＋(1－b)i．因?yàn)閨z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以3+a23-a2①2＋②2得a2＋b2＝12．所以|z1－z2|＝a2+b法二：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)向量OA，OB，則z1＋z2對應(yīng)向量由題知|OA|＝|OB|＝|OA+OB|＝2，如圖所示，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則z1－z2對應(yīng)向量BA，OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OAsin60°＝2故|z1－z2|＝|BA|＝23．]考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義1．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．2．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ．[典例3](1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝1－i對應(yīng)的向量為OP，復(fù)數(shù)z2對應(yīng)的向量為OQ，那么向量PQ對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．1－i B．1＋iC．－1＋i D．－1－i(2)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)(1)D(2)B[(1)因?yàn)閦2＝－2i，而PQ＝OQ-OP，故向量(2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則a+1<0∴a<－1，故選B．]復(fù)數(shù)z＝a＋biZ(a，b)，運(yùn)用幾何意義，對應(yīng)轉(zhuǎn)化．跟進(jìn)訓(xùn)練3(1)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－3，1) B．(－1，3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)(2)(2024·金麗衢十二校聯(lián)考)復(fù)數(shù)z滿足：z·i＝1＋3i，其中i為虛數(shù)單位，則z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第________象限；|z|＝________．(1)A(2)四2[(1)由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(m＋3，m－1)，所以m+3＞0，m-1＜0，(2)因?yàn)閦·i＝1＋3i，所以復(fù)數(shù)z＝1+3ii＝i-3-1＝3－i，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，－1)，故復(fù)數(shù)【教師備用】(多選)已知復(fù)數(shù)z0＝1＋2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P0，復(fù)數(shù)z滿足|z－1|＝|z－i|，下列結(jié)論正確的是()A．點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1，2)B．復(fù)數(shù)z0的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于虛軸對稱C．復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在一條直線上D．P0與z對應(yīng)的點(diǎn)Z間的距離的最小值為2ACD[復(fù)數(shù)z0＝1＋2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P0(1，2)，A正確；復(fù)數(shù)z0的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于實(shí)軸對稱，B錯(cuò)誤；設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即x-12+y2＝x2即點(diǎn)Z在直線y＝x上，C正確；易知點(diǎn)P0到直線y＝x的垂線段的長度即為P0，Z之間距離的最小值，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可知，最小值為1-22＝2課后習(xí)題(三十)復(fù)數(shù)1．(湘教版必修第二冊P103練習(xí)T2改編)若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A[因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以x2-1=0，2．(人教A版必修第二冊P80習(xí)題7.2T2改編)在復(fù)平面內(nèi)，向量AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量CB對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量CA對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD[CA＝CB+3．(人教A版必修第二冊P95復(fù)習(xí)參考題7T7改編)若復(fù)數(shù)z滿足方程zi＝1－i，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)在第________象限．二[由題意可得z＝1-ii＝1-i-i4．(人教A版必修第二冊P73練習(xí)T2改編)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是OA，OB，則|z1·z5[z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，z1·z2＝(－2＋i)(1＋2i)＝－4－3i．所以|z1·z2|＝5．]5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，z1＝3－i，則z1z2＝()A．－10 B．10C．－8 D．8A[∵z1＝3－i，z1，z2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，∴z2＝－3－i，∴z1z2＝－9－1＝－10．]6．(2024·石家莊模擬)已知i是虛數(shù)單位，則化簡1+iA．i B．－iC．－1 D．1D[因?yàn)?+i1-i＝1+所以1+i1-i2024＝i7．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a＋5i2+i(a∈RA．－3 B．3C．1 D．－1D[a＋5i2+i＝a＋5i2-因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以a＋1＝0，則a＝－1．]8．如圖，若向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z＋4zA．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋iD[由題圖可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋4z＝1－i＋41-i＝1－i＋49．(多選)(2024·湖北十堰三模)已知復(fù)數(shù)z1＝1－3i，z2＝3＋i，則()A．|z1＋z2|＝6B．z1－z2C．z1z2＝6－8iD．z1z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限BC[由題意可知，z1+z2＝z1－z2z1z2＝1-3i3+i＝3＋i－9i－3i2＝6－8i，C正確；z110．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)8-i3－2i[8-i2+i＝8-i2-11．若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一個(gè)根，則另外一個(gè)根是________，a＝________．2＋3i13[設(shè)方程的另外一根為x，則x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13．]12．(2024·溫州模擬)已知復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)，且z1-i＝3＋2i，則a＝________，51[由z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)，可得z＝a－bi，所以z1-i＝1+i2(a－bi)＝故a+b2＝3，a-b所以a＝5，b＝1．]階段提能(九)平面向量、復(fù)數(shù)1．(人教A版必修第二冊P24第21題)已知△ABC的外接圓圓心為O，且2AO＝AB+AC，|OA|＝|AB|，則向量BA在向量A．14BC C．－14BC A[如圖，由2AO＝AB+AC知O為因?yàn)镺為△ABC的外接圓圓心，所以O(shè)A＝OB＝OC．因?yàn)閨OA|＝|AB|，所以AB＝OB＝OA＝OC，所以△ABO為正三角形，∠ABO＝60°，所以BA在BC上的投影向量為12BO＝2．(人教A版必修第二冊P52習(xí)題6.4第1題)若非零向量AB與AC滿足ABAB+ACAC·BC＝0，且ABA．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形D．等邊三角形D[由ABAB知ABAB+AC∴△ABC中，∠A的平分線與邊BC垂直，∴AB＝AC．又∵ABAB·ACAC＝12，∴cos∵0°<∠BAC<180°，∴∠BAC＝60°．∴△ABC為等邊三角形，故選D．]3．(人教A版必修第二冊P52習(xí)題6.4第2題)已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，滿足|OA|＝|OB|＝|OC|，NA+NB+NC＝0，且PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，內(nèi)心C[∵|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴O是三角形的外心．∵PA·PB＝PB·∴PB·(PA-PC∴PB⊥CA，同理得到另外兩個(gè)向量都與邊垂直，得到P是三角形的垂心．由NA+NB+NC＝0，可知點(diǎn)N故選C．]4．(人教B版必修第三冊P90習(xí)題8-1B第3題)若向量a＝(x，2x)，b＝(－3x，2)，且a與b的夾角為鈍角，求x的取值范圍．[解]∵a與b的夾角為鈍角，∴cos〈a，b〉<0且a與b不共線．∴-3x2故滿足條件的x的取值范圍是-∞，-13∪5．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝1-i2+2i，則zA．－i B．iC．0 D．1A[因?yàn)閦＝1-i2+2i＝1-所以z＝12i，所以z故選A．]6．(2023·新高考Ⅱ卷)在復(fù)平面內(nèi)，(1＋3i)(3－i)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[因?yàn)?1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(6，8)，位于第一象限，故選A．]7．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA．記CA＝m，CD＝n，則CB＝()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3nB[因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA，所以BD＝2DA，即CD-CB＝2(CA所以CB＝3CD－2CA＝3n－2m＝－2m＋3n．故選B．]8．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則()A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1D[因?yàn)閍＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因?yàn)?a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故選D．]9．(2023·全國甲卷)設(shè)a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，則a＝()A．－2 B．－1C