高中數(shù)學選擇性必修一課件：2 4 1 圓的標準方程(人教A版)

第二章

§2.4圓的方程2.4.1圓的標準方程1.掌握圓的定義及標準方程.2.會用待定系數(shù)法求圓的標準方程，

能準確判斷點與圓的位置關系.學習目標XUEXIMUBIAO內容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一圓的標準方程(1)條件：圓心為C(a，b)，半徑長為r.(2)方程：

.(3)特例：圓心為坐標原點，半徑長為r的圓的方程是

.(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2知識點二點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷方法位置關系利用距離判斷利用方程判斷點M在圓上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點M在圓外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點M在圓內|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圓.(

)2.確定一個圓的幾何要素是圓心和半徑.(

)3.圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圓心坐標是(1,2)，半徑是4.(

)4.(0,0)在圓(x－1)2＋(y－2)2＝1上.(

)×√××2題型探究PARTTWO一、求圓的標準方程例1

(1)與y軸相切，且圓心坐標為(－5，－3)的圓的標準方程為____________________.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析∵圓心坐標為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標準方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.一、求圓的標準方程例1

(1)與y軸相切，且圓心坐標為(－5，－3)的圓的標準方程為____________________.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析∵圓心坐標為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標準方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(2)以兩點A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點的圓的標準方程是___________________.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析∵AB為直徑，∴AB的中點(1,2)為圓心，∴該圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.反思感悟直接法求圓的標準方程的策略確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑，常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等.跟蹤訓練1求滿足下列條件的圓的標準方程：(1)圓心是(4,0)，且過點(2,2)；解r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圓的標準方程為(x－4)2＋y2＝8.(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(3，－4).解設圓心為C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圓心為(0,0)或(0，－8)，又r＝5，∴圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.二、點與圓的位置關系例2

(1)點P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關系是A.點P在圓內 B.點P在圓外C.點P在圓上 D.不確定√解析由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得點P在圓外.二、點與圓的位置關系例2

(1)點P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關系是A.點P在圓內 B.點P在圓外C.點P在圓上 D.不確定√解析由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得點P在圓外.[0,1)反思感悟判斷點與圓位置關系的兩種方法(1)幾何法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大小.(2)代數(shù)法：把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷.跟蹤訓練2已知點A(1,2)和圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，試分別求滿足下列條件的實數(shù)a的取值范圍：(1)點A在圓的內部；解因為點A在圓的內部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不為0，解得a<－2.5.(2)點A在圓上；解因為點A在圓上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5.(3)點A在圓的外部.解因為點A在圓的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不為0，解得a>－2.5且a≠0.核心素養(yǎng)之數(shù)學運算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN待定系數(shù)法與幾何法求圓的標準方程典例求經過點P(1,1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標準方程.解方法一

(待定系數(shù)法)設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.方法二(幾何法)由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分線過圓心，即圓心坐標為(4，－3)，∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.素養(yǎng)提升(1)待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟(2)幾何法即是利用平面幾何知識，求出圓心和半徑，然后寫出圓的標準方程.(3)像本例，理解運算對象，探究運算思路，求得運算結果.充分體現(xiàn)數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE1.若某圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心和半徑長分別為√123452.圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9√12345解析由圓的標準方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.3.點P(1,3)與圓x2＋y2＝24的位置關系是A.在圓外 B.在圓內C.在圓上 D.不確定√123454.圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的標準方程是A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1√解析方法一(直接法)∴b＝2，∴圓的標準方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(數(shù)形結合法)作圖(如圖)，根據(jù)點(1,2)到圓心的距離為1易知，圓心為(0,2)，故圓的標準方程是x2＋(y－2)2＝1.123455.若點P(5a＋1,12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的外部，則a的取值范圍為________________.解析∵P在圓外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，123451.知識清單：(1)圓的標準方程.(2)點和圓的位置關系.2.方法歸納：直接法、幾何法、待定系數(shù)法.3.常見誤區(qū)：幾何法求圓的方程出現(xiàn)漏解情況.課堂小結KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR1.圓心為(3,1)，半徑為5的圓的標準方程是A.(x＋3)2＋(y＋1)2＝5B.(x＋3)2＋(y＋1)2＝25C.(x－3)2＋(y－1)2＝5D.(x－3)2＋(y－1)2＝25√基礎鞏固123456789101112131415162.圓(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周長是√123456789101112131415163.已知點A(3，－2)，B(－5,4)，以線段AB為直徑的圓的標準方程是A.(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25C.(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100√12345678910111213141516解析由題意得圓心坐標為(－1,1)，所以圓的標準方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.故選B.4.若點A(a＋1,3)在圓C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，則實數(shù)m的取值范圍是A.(0，＋∞) B.(－∞，5)C.(0,5) D.[0,5]√12345678910111213141516解析由題意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，所以0<m<5，故選C.5.已知一圓的圓心為點A(2，－3)，一條直徑的端點分別在x軸和y軸上，則圓的標準方程為A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52√解析如圖，結合圓的性質可知，原點在圓上，故所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13.12345678910111213141516解析∵P點在圓x2＋y2＝m2上，12345678910111213141516±2∴m＝±2.7.圓(x－3)2＋(y＋1)2＝1關于直線x＋y－3＝0對稱的圓的標準方程是______________.12345678910111213141516(x－4)2＋y2＝1解析設圓心A(3，－1)關于直線x＋y－3＝0對稱的點B的坐標為(a，b)，故所求圓的標準方程為(x－4)2＋y2＝1.8.當a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以點C為圓心，

為半徑的圓的標準方程是__________________.12345678910111213141516(x＋1)2＋(y－2)2＝5解析將直線方程整理為(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直線恒過點(－1,2)，從而所求圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5.9.已知圓C過點A(3,1)，B(5,3)，圓心在直線y＝x上，求圓C的標準方程.12345678910111213141516解設圓心C(a，a)，半徑為r，∴圓C的標準方程為(x－3)2＋(y－3)2＝4.10.已知點A(－1,2)和B(3,4).求：(1)線段AB的垂直平分線l的方程；解由題意得線段AB的中點C的坐標為(1,3).∵A(－1,2)，B(3,4)，∵直線l垂直于直線AB，∴直線l的方程為y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.12345678910111213141516(2)以線段AB為直徑的圓的標準方程.12345678910111213141516解∵A(－1,2)，B(3,4)，又圓心為C(1,3)，∴所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－3)2＝5.11.已知圓心在x軸上的圓C經過A(3,1)，B(1,5)兩點，則C的標準方程為A.(x＋4)2＋y2＝50 B.(x＋4)2＋y2＝25C.(x－4)2＋y2＝50 D.(x－4)2＋y2＝25√綜合運用解析根據(jù)題意，設圓的圓心C的坐標為(m，0)，若圓C經過A(3,1)，B(1,5)兩點，則有(3－m)2＋1＝(m－1)2＋25，解得m＝－4，即圓心C為(－4,0)，則圓C的標準方程為(x＋4)2＋y2＝50，故選A.1234567891011121314151612.已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程為A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0√12345678910111213141516解析圓x2＋(y－3)2＝4的圓心坐標為(0,3).因為直線l與直線x＋y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率k＝1.由點斜式得直線l的方程是y－3＝x－0，化簡得x－y＋3＝0.13.已知直線(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒過定點P，則與圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圓心且過點P的圓的標準方程為A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，∵圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圓心坐標是(2，－3)，∴所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故選B.1234567891011121314151615.已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關于直線y＝－x對稱，則圓C的標準方程為______________.12345678910111213141516拓廣探究x2＋(y＋1)2＝112345678910111213141516解析由已知圓(x－1)2＋y2＝1，設其圓心為C1，則圓C1的圓心坐標為(1,0)，半徑長r1＝1.設圓心C1(1,0)關于直線y＝－x對稱的點的坐標為(a，b)，即圓心C的坐標為(a，b)，所以圓C的標準方程為x2＋(y＋1)2＝1.16.已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直線l：14x＋8y－31＝0，求圓C1關于直線l對稱的圓C2的標準方程.解設圓C2的圓心坐標為(m，n).圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝