高中數學選擇性必修一課件：3 2 1 雙曲線及其標準方程(人教A版)

第三章

§3.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標準方程1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單問題.學習目標XUEXIMUBIAO內容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一雙曲線的定義1.定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的

等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡.2.定義的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}.3.焦點：兩個

.4.焦距：

的距離，表示為|F1F2|.絕對值定點F1，F2兩焦點間思考(1)雙曲線定義中，將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常數，其他條件不變，點的軌跡是什么？答案當距離之差的絕對值等于|F1F2|時，動點的軌跡是兩條射線，端點分別是F1，F2，當距離之差的絕對值大于|F1F2|時，動點的軌跡不存在.(2)雙曲線的定義中，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，若|MF1|－|MF2|＝2a(常數)，且2a<|F1F2|，則點M的軌跡是什么？答案點M在雙曲線的右支上.知識點二雙曲線標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

標準方程______________________________________焦點________________________________a，b，c的關系c2＝_______(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a2＋b2思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.平面內到兩定點的距離的差等于常數(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.(

)2.平面內到點F1(0,4)，F2(0，－4)的距離之差等于8的點的軌跡是雙曲線.(

)3.雙曲線標準方程中，a，b的大小關系是a>b.(

)4.在雙曲線標準方程中，a，b，c之間的關系與橢圓中a，b，c之間的關系相同.(

)××××2題型探究PARTTWO2題型探究PARTTWO一、雙曲線的定義的應用解析由題意得由雙曲線的定義和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，反思感悟雙曲線的定義的應用(1)已知雙曲線上一點的坐標，可以求得該點到某一焦點的距離，進而根據定義求該點到另一焦點的距離.(2)雙曲線中與焦點三角形有關的問題可以根據定義結合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用.A.11 B.9 C.5 D.3√解析由題意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)故選B.A.11 B.9 C.5 D.3√解析由題意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)故選B.(2)設F1，F2分別是雙曲線x2－

＝1的左、右焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于√在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，∴△PF1F2為直角三角形，∴＝

|PF1||PF2|＝24.二、求雙曲線的標準方程解得a2＝3，b2＝5.解設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0.因為點P，Q在雙曲線上，反思感悟求雙曲線的標準方程(1)用待定系數法求雙曲線的標準方程：若焦點位置不確定，可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解.解得a2＝8，b2＝4，解析∵方程對應的圖形是雙曲線，∴(k－5)(|k|－2)>0.k>5或－2<k<2解得k>5或－2<k<2.核心素養(yǎng)之數學建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO雙曲線在生活中的應用典例由甲導彈驅逐艦、乙導彈驅逐艦、丙綜合補給艦組成的護航編隊奔赴某海域執(zhí)行護航任務，對商船進行護航.某日，甲艦在乙艦正東方向6km處，丙艦在乙艦北偏西30°方向，相距4km處，某時刻甲艦發(fā)現商船的求救信號，由于乙、丙兩艦比甲艦距商船遠，因此4s后乙、丙兩艦才同時發(fā)現這一信號，此信號的傳播速度為1km/s，若甲艦趕赴救援，行進的方向角應是多少？解設A，B，C，P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船.如圖所示，以直線AB為x

軸，線段AB的垂直平分線為y

軸建立直角坐標系，∵|PB|＝|PC|，∴點P在線段BC的垂直平分線上，又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，∴點P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，且a＝2，c＝3，因此甲艦行進的方向角為北偏東30°.素養(yǎng)提升利用雙曲線解決實際問題的基本步驟如下：(1)建立適當的坐標系.(2)求出雙曲線的標準方程.(3)根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題(注意實際意義).3隨堂演練PARTTHREE1.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則P點的軌跡是A.雙曲線 B.雙曲線的一支C.直線 D.一條射線√12345解析F1，F2是定點，且|F1F2|＝10，所以滿足條件|PF1|－|PF2|＝10的點P的軌跡應為一條射線.A.－2＜m＜2 B.m＞0C.m≥0 D.|m|≥2√12345解析∵已知方程表示雙曲線，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.√12345A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件√12345?(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，123451.知識清單：(1)雙曲線的定義.(2)雙曲線的標準方程.2.方法歸納：待定系數法、分類討論.3.常見誤區(qū)：雙曲線焦點位置的判斷，

忽略雙曲線上的點到焦點距離的范圍.課堂小結KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR1.設動點P到A(－5,0)的距離與它到B(5,0)距離的差等于6，則P點的軌跡方程是√基礎鞏固解析由題意知，軌跡應為以A(－5,0)，B(5,0)為焦點的雙曲線的右支.由c＝5，a＝3，知b2＝16，123456789101112131415162.雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點坐標為√12345678910111213141516√由其焦距為4，得c＝2，12345678910111213141516A.3或7 B.6或14 C.3 D.7√解析連接ON，ON是△PF1F2的中位線，∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，123456789101112131415165.(多選)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，滿足條件|PF1|－|PF2|＝2m－1的動點P的軌跡是雙曲線的一支，則m可以是A.2 B.－1 C.4 D.－3√√∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，123456789101112131415166.若曲線C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦點在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為__________.12345678910111213141516(2，＋∞)解析由曲線C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦點在x軸上的雙曲線，即有m>0，且m－2>0，解得m>2.12345678910111213141516解析由題意，

知雙曲線的兩焦點為F1(0，－3)，F2(0,3).12345678910111213141516又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，在△ABP中，利用正弦定理和雙曲線的定義知，1234567891011121314151612345678910111213141516依題意知b2＝25－a2，化簡得4a4－129a2＋125＝0，12345678910111213141516不合題意，舍去，∴a2＝1，b2＝24，1234567891011121314151612345678910111213141516解如圖所示，則MF1⊥MF2，設|MF1|＝m，|MF2|＝n，由雙曲線定義，知m－n＝2a＝8，

①又m2＋n2＝(2c)2＝80，

②由①②得m·n＝8，12345678910111213141516解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，1234567891011121314151611.動圓與圓x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，則動圓圓心的軌跡是A.雙曲線的一支 B.圓

C.橢圓 D.雙曲線√綜合運用解析設動圓的圓心為M，半徑為r，圓x2＋y2＝1與x2＋y2－8x＋12＝0的圓心分別為O1和O2，半徑分別為1和2，由兩圓外切的充要條件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1，又|O1O2|＝4，∴動點M的軌跡是雙曲線的一支(靠近O1).1234567891011121314151612.已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于A.2 B.4 C.6 D.8√12345678910111213141516解析不妨設P是雙曲線右支上一點，12345678910111213141516∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4.故選B.12345678910111213141516因為PF⊥x軸，所以可設P的坐標為(2，yP).所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因為A(1,3)，所以點A到直線PF的距離為1，1234567891011121314151614.已知雙曲線C：

－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的直線與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點，且點P的橫坐標為2，則|PQ|＝_____，△PF1Q的周長為_____.12345678910111213141516又點P的橫坐標為2，∴PQ⊥x軸.又P，Q在雙曲線的右支上，12345678910111213141516拓廣探究2k(a－m)12345678910111213141516解析光線從左焦點出發(fā)經過橢圓反射要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點，如圖，|BF2|＝2m＋|BF1|，|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，所以光線經過2k(k∈N*)次反射后回到左焦點所經過的路徑長為2k(a－m).1234567891011121314151616.已知△ABC的一邊的兩個頂點B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另兩邊的斜率之積等于m(m≠0).求頂點A的軌跡方程，并且根據m的取值情況討論軌跡的圖形.12345678910111213141516解設頂點A的坐標為(x，y)，則當m>0時，軌跡是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線(除去與x軸的兩個交點)；當m<0且m≠－1時，軌跡是中心在原點，以坐標軸為對稱軸的橢圓(除去與x軸的兩個交點)，其中當－1<m<0時，橢圓焦點在x軸上；當m<－1時，橢圓焦點在y軸上；當m＝－1時，軌跡是圓心在原點，半徑為a的圓(除去與x軸的兩個交點).12345678910111213141516備用工具&資料16.已知△ABC的一邊的兩個頂點B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另兩邊的斜率之積等于m(m≠0).求頂點A的軌跡方程，并且根據m的取值情況討論軌跡的圖形.12345678910111213141516拓廣探究2k(a－m)12345678910111213141516知識點一雙曲線的定義1.定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的