高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：3 2 1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(人教A版)

第三章

§3.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義1.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的

等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.2.定義的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}.3.焦點(diǎn)：兩個(gè)

.4.焦距：

的距離，表示為|F1F2|.絕對(duì)值定點(diǎn)F1，F(xiàn)2兩焦點(diǎn)間思考(1)雙曲線定義中，將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？答案當(dāng)距離之差的絕對(duì)值等于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線，端點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，當(dāng)距離之差的絕對(duì)值大于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.(2)雙曲線的定義中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|MF1|－|MF2|＝2a(常數(shù))，且2a<|F1F2|，則點(diǎn)M的軌跡是什么？答案點(diǎn)M在雙曲線的右支上.知識(shí)點(diǎn)二雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程______________________________________焦點(diǎn)________________________________a，b，c的關(guān)系c2＝_______(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a2＋b2思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)2.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)3.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是a>b.(

)4.在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b，c之間的關(guān)系與橢圓中a，b，c之間的關(guān)系相同.(

)××××2題型探究PARTTWO2題型探究PARTTWO一、雙曲線的定義的應(yīng)用解析由題意得由雙曲線的定義和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，反思感悟雙曲線的定義的應(yīng)用(1)已知雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求得該點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而根據(jù)定義求該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離.(2)雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題可以根據(jù)定義結(jié)合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運(yùn)用.A.11 B.9 C.5 D.3√解析由題意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)故選B.A.11 B.9 C.5 D.3√解析由題意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)故選B.(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－

＝1的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于√在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，∴△PF1F2為直角三角形，∴＝

|PF1||PF2|＝24.二、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解得a2＝3，b2＝5.解設(shè)雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0.因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在雙曲線上，反思感悟求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：若焦點(diǎn)位置不確定，可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解.解得a2＝8，b2＝4，解析∵方程對(duì)應(yīng)的圖形是雙曲線，∴(k－5)(|k|－2)>0.k>5或－2<k<2解得k>5或－2<k<2.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO雙曲線在生活中的應(yīng)用典例由甲導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、乙導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、丙綜合補(bǔ)給艦組成的護(hù)航編隊(duì)奔赴某海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)，對(duì)商船進(jìn)行護(hù)航.某日，甲艦在乙艦正東方向6km處，丙艦在乙艦北偏西30°方向，相距4km處，某時(shí)刻甲艦發(fā)現(xiàn)商船的求救信號(hào)，由于乙、丙兩艦比甲艦距商船遠(yuǎn)，因此4s后乙、丙兩艦才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1km/s，若甲艦趕赴救援，行進(jìn)的方向角應(yīng)是多少？解設(shè)A，B，C，P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船.如圖所示，以直線AB為x

軸，線段AB的垂直平分線為y

軸建立直角坐標(biāo)系，∵|PB|＝|PC|，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，∴點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，且a＝2，c＝3，因此甲艦行進(jìn)的方向角為北偏東30°.素養(yǎng)提升利用雙曲線解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟如下：(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題(注意實(shí)際意義).3隨堂演練PARTTHREE1.已知F1(－8,3)，F(xiàn)2(2,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則P點(diǎn)的軌跡是A.雙曲線 B.雙曲線的一支C.直線 D.一條射線√12345解析F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，且|F1F2|＝10，所以滿足條件|PF1|－|PF2|＝10的點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為一條射線.A.－2＜m＜2 B.m＞0C.m≥0 D.|m|≥2√12345解析∵已知方程表示雙曲線，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.√12345A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件√12345?(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，123451.知識(shí)清單：(1)雙曲線的定義.(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.方法歸納：待定系數(shù)法、分類討論.3.常見(jiàn)誤區(qū)：雙曲線焦點(diǎn)位置的判斷，

忽略雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到A(－5,0)的距離與它到B(5,0)距離的差等于6，則P點(diǎn)的軌跡方程是√基礎(chǔ)鞏固解析由題意知，軌跡應(yīng)為以A(－5,0)，B(5,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.由c＝5，a＝3，知b2＝16，123456789101112131415162.雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為√12345678910111213141516√由其焦距為4，得c＝2，12345678910111213141516A.3或7 B.6或14 C.3 D.7√解析連接ON，ON是△PF1F2的中位線，∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，123456789101112131415165.(多選)已知F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，滿足條件|PF1|－|PF2|＝2m－1的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，則m可以是A.2 B.－1 C.4 D.－3√√∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，123456789101112131415166.若曲線C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為_(kāi)_________.12345678910111213141516(2，＋∞)解析由曲線C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，即有m>0，且m－2>0，解得m>2.12345678910111213141516解析由題意，

知雙曲線的兩焦點(diǎn)為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3).12345678910111213141516又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，在△ABP中，利用正弦定理和雙曲線的定義知，1234567891011121314151612345678910111213141516依題意知b2＝25－a2，化簡(jiǎn)得4a4－129a2＋125＝0，12345678910111213141516不合題意，舍去，∴a2＝1，b2＝24，1234567891011121314151612345678910111213141516解如圖所示，則MF1⊥MF2，設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，由雙曲線定義，知m－n＝2a＝8，

①又m2＋n2＝(2c)2＝80，

②由①②得m·n＝8，12345678910111213141516解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，1234567891011121314151611.動(dòng)圓與圓x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是A.雙曲線的一支 B.圓

C.橢圓 D.雙曲線√綜合運(yùn)用解析設(shè)動(dòng)圓的圓心為M，半徑為r，圓x2＋y2＝1與x2＋y2－8x＋12＝0的圓心分別為O1和O2，半徑分別為1和2，由兩圓外切的充要條件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1，又|O1O2|＝4，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支(靠近O1).1234567891011121314151612.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于A.2 B.4 C.6 D.8√12345678910111213141516解析不妨設(shè)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，12345678910111213141516∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4.故選B.12345678910111213141516因?yàn)镻F⊥x軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2，yP).所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1，1234567891011121314151614.已知雙曲線C：

－y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則|PQ|＝_____，△PF1Q的周長(zhǎng)為_(kāi)____.12345678910111213141516又點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，∴PQ⊥x軸.又P，Q在雙曲線的右支上，12345678910111213141516拓廣探究2k(a－m)12345678910111213141516解析光線從左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)橢圓反射要回到另一個(gè)焦點(diǎn)，光線從雙曲線的左焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，|BF2|＝2m＋|BF1|，|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，所以光線經(jīng)過(guò)2k(k∈N*)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2k(a－m).1234567891011121314151616.已知△ABC的一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另兩邊的斜率之積等于m(m≠0).求頂點(diǎn)A的軌跡方程，并且根據(jù)m的取值情況討論軌跡的圖形.12345678910111213141516解設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，則當(dāng)m>0時(shí)，軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn))；當(dāng)m<0且m≠－1時(shí)，軌跡是中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓(除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn))，其中當(dāng)－1<m<0時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m<－1時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m＝－1時(shí)，軌跡是圓心在原點(diǎn)，半徑為a的圓(除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)).12345678910111213141516備用工具&資料16.已知△ABC的一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另兩邊的斜率之積等于m(m≠0).求頂點(diǎn)A的軌跡方程，并且根據(jù)m的取值情況討論軌跡的圖形.12345678910111213141516拓廣探究2k(a－m)12345678910111213141516知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義1.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的