高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：微專題4 圓錐曲線的離心率(人教A版)

微專題4圓錐曲線的離心率第三章

圓錐曲線的方程橢圓和雙曲線的離心率是最重要的幾何性質(zhì)之一，離心率的考查是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，下面就離心率的求法做一個(gè)簡單的總結(jié).一、定義法√解析因?yàn)椤鱂1MF2是等邊三角形，解析不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，反思感悟根據(jù)橢圓或雙曲線的定義，求出a，c或列出關(guān)于a，c的等式，得到關(guān)于e的方程.二、幾何法√解析如圖，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PF1F2的中位線.所以O(shè)M∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因?yàn)椤螾F1F2＝30°，(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn).若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為_____.(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn).若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為_____.解析根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小.在△PF1F2中，由余弦定理，反思感悟涉及到焦點(diǎn)三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等來求得

的值.三、尋求齊次方程求離心率由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，2又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去).又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去).反思感悟利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進(jìn)行求解.四、求離心率的取值范圍√解析設(shè)P(x，y)，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，反思感悟求離心率范圍的常用思路(1)通過幾何方法如點(diǎn)的坐標(biāo)、三角形中的不等關(guān)系等轉(zhuǎn)化為離心率的取值范圍.(2)通過代數(shù)方法如基本不等式、函數(shù)最值求得離心率的范圍.備用工具&資料解析設(shè)P(x，y)，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，解析不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，一、定義法√解析因?yàn)椤鱂1MF2是等邊三角形，解析如圖，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PF1F2的中位線.所以O(shè)M∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF