初中數(shù)學(xué)向量的線性運(yùn)算強(qiáng)化練習(xí)2

初中數(shù)學(xué)向量的線性運(yùn)算強(qiáng)化練習(xí)2

學(xué)校:姓名：.班級：考號：

一、單選題

1.下列判斷不正確的是（）

A.a+b=b+aB.a-a=0

C.如果d=h5（k*0）,那么D.如果|萬|=|5|,那么萬=很

2.下列各量中是向量的是（）

A.時間B.速度C.面積D.長度

3.設(shè)"為單位向量，同=2,則下列各式中正確的是（）

—1-

A.a=2eB.C.|6z|=2|e|D.-a=+\

2

4.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,向量而一而=（）

B.BC

C.CB

D.AD

5.在矩形ABC。中，下列結(jié)論中正確的是（）

c.西=|西D.

6.已知一個單位向量入設(shè)2、B是非零向量，那么下列等式中一定正確的是（）

1--1r1r

CD.口?？?/p>

7.已知|￡|=3,己1=4,且「與「方向相反,如果用向量B表示向量那么結(jié)果是

()

_3-「-3--c-4-

A.a=~bB.=~~bC.a=-hD.a=~~b

4a433

8.已知I和1都是單位向量，下列結(jié)論中，正確的是（）

A.…B.^=0C.同+同=2D.et+e2=2

二、填空題

9.如圖，點(diǎn)。是△ABC的邊CB上的點(diǎn)，CD=2BD.設(shè)/=萬，CB=b，則而=

一.（用含有。和匕的式子表示）

10.在平行四邊形ABCD中，AB=DC=（l,1）,焉歷i+七80=熹f8Z5,則四邊

A?C\BD\

形ABCD的面積是.

11.如圖，已知平行四邊形ABCD,E是邊BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE并延長，與AB的延

長線交于點(diǎn)F.設(shè)麗=￡,反那么向量而用向量￡、B表示為.

ABF

12.如圖，在〃ABCD中，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且BC=3BE,設(shè)

BF=a，BE=b，那么將下列向量表示5的分解式：

（1）AD=;（2）BD=；（3）~EA=;（4）OC=

13.如圖，已知點(diǎn)O是正六邊形ABCOEP的中心，記而=元，OF=n，那么麗=

（用向量方、［表示）.

14.若［與單位向量工方向相反，且長度為3,則公=（用單位向量工表示向量

15.計(jì)算：-（a-2b）+2b=

2

16.如圖，在平行四邊形ABCC中，點(diǎn)M是邊C。中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊BC的中點(diǎn)，設(shè)

AB=a，BC=b，那么麗可用W，B表示為.

三、解答題

17.一條漁船距對岸4km,以2km/h速度向垂直于對岸的方向劃去，到達(dá)對岸時，船

的實(shí)際航程為8km,求河水的流速.

18.計(jì)算：（2a+3b-c）-2（3a-2b+c）.

19.如圖，將平行四邊形ABCD的邊BC延長至點(diǎn)E,使CE=BC,點(diǎn)F為邊AD的中

點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE、BF,AE與BF相較于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)=￡,BC=b.試直接用向量￡、b

表示向量無？、BF^FG.

UUUX1

20.已知：如圖，EF是AA8C的中位線，設(shè)立=萬，BC=b.

（1）求向量繇、EA（用向量￡、6表示）；

（2）在圖中求作向量而在南、正方向上的分向量.（不要求寫作法，但要指出所

21.如圖，在平行四邊形A8CO中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.E為OC的中點(diǎn),

連接BE并延長，交邊CD于點(diǎn)F,設(shè)麗=。，BC=b.

（1）填空：向量荏=;

（2）填空：向量喬=,并在圖中畫出向量而在向量麗和及方向上的

分向量.

（注：本題結(jié)果用含向量2、5的式子表示，畫圖不要求寫作法，但要指出所作圖中表

示結(jié)論的向量）

22.如圖，點(diǎn)E在平行四邊形的對角線80的延長線上.

（1）填空：DA+DC=;

AE-BC=;

（2）求作：AB+DE（不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)果）.

參考答案:

1.D

【解析】

【分析】

由題意根據(jù)平面向量的線性計(jì)算和平行線的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷即可.

【詳解】

解：A、a+b=b+a，計(jì)算正確，不符合題意；

B、a-a=6,計(jì)算正確，不符合題意；

C、如果1=%0(％*0),那么彳〃5,推斷正確，不符合題意；

。、如果|町=|5|,只能判斷兩個向量的模相等，不能推斷出兩個向量共線，即判斷不正

確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量和平行線的性質(zhì)，注意掌握兩個向量的模相等，但不一定是共線向

旦

里.

2.B

【解析】

【詳解】

根據(jù)向量的概念進(jìn)行判斷即可.

解：既有大小，又有方向的量叫做向量；

時間、面積、長度只有大小沒有方向，因此不是向量.

而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量.

故選：B.

此題是個基礎(chǔ)題，本題的考點(diǎn)是向量的概念，純粹考查了定義的內(nèi)容.注意數(shù)學(xué)知識與實(shí)

際生活之間的聯(lián)系.

3.C

【解析】

【分析】

根據(jù)e為單位向量，可知忖=1，逐項(xiàng)進(jìn)行比較即可解題.

答案第1頁，共13頁

【詳解】

解：?."為單位向量,

A中忽視了向量的方向性，錯誤

B中忽視了向量的方向性，錯誤

C中,：忖=2,忖=1,

.??同=2忖,正確,

D中忽視了向量的方向性，錯誤

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的應(yīng)用，屬于簡單題，熟悉向量的概念是解題關(guān)鍵.

4.B

【解析】

【詳解】

解：由題意可知，AC-AB=BC，

故選：B.

根據(jù)向量減法的三角形法則可得答案.

本題主要考查的是向量的減法及其幾何意義，掌握向量減法的三角形法則是解題的關(guān)鍵.

5.C

【解析】

【分析】

根據(jù)相等向量及向量長度的概念逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量.

A.入月=-弓方,故該選項(xiàng)錯誤；

B.|^c|=|fiD|,但方向不同，故該選項(xiàng)錯誤；

c.根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，對角線互相平分且相等，所以|%4=忸4，故該選項(xiàng)正確；

D.BO=OD，故該選項(xiàng)錯誤;

答案第2頁，共13頁

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相等向量及向量的長度，掌握相等向量的概念是解題的關(guān)鍵.

【解析】

【分析】

由工是一個單位向量，可得#=1,即可判斷A；根據(jù)題目并沒有告訴￡、B的長度和方向,

即可判斷B、C、D.

【詳解】

解：??屋是一個單位向量，

A、；,=1,"，故A選項(xiàng)符合題意；

B、題目并沒有告訴B的長度和方向，無法推出卜卜=1，故B選項(xiàng)不符合題意；

1T-

C、題目并沒有告訴B的長度和方向，無法推出同b=e,故c選項(xiàng)不符合題意;

1r1[

D、題目并沒有告訴入B的長度和方向，無法推出百"二布”,故D選項(xiàng)不符合題意;

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量，熟知平面向量的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【解析】

【分析】

設(shè)向量）為單位向量，向量公與單位向量"的方向相同，根據(jù)平面向量的定義即可解決問

題.

【詳解】

解：設(shè)向量"為單位向量，向量￡與單位向量"的方向相同，

則a=3e?

答案第3頁，共13頁

B與Z方向相反，

b=—4e，

-一-3

??a=~~b7

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

8.C

【解析】

【分析】

根據(jù)單位向量的定義：模為1的向量為單位向量即可得到同=同=1,又由題意并沒有指

明不與［的方向即可求解.

【詳解】

解：???】與1都是單位向量，

二同=同=1，

.?.同+同=2,故C選項(xiàng)符合題意;

???題目并沒有指明I與1的方向，

，并不能得到A、B、D選項(xiàng)中的結(jié)論，故A、B、D選項(xiàng)不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了單位向量的定義，熟知單位向量的定義是解題的關(guān)鍵.

一2f2--

9.〃+—B##—B+Q

33

【解析】

【分析】

由已知條件求得而，根據(jù)三角形法則求得而，在△ABZ）中利用三角形法則求解即可

【詳解】

解：VCD=2BD,CB=b

答案第4頁，共13頁

BD=-CB=-b

33

VAC=a>CB=h，

AB=AC+CB=a+b

___________j__2一

AD=AB-BD=a+b——b=a-\--b

33

-2-

故答案為：a+—b

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，掌握三角形法則是解題的關(guān)鍵.

10.石

【解析】

【分析】

1麗+上而=昌麗,

先由網(wǎng)四即可知平行四邊形ABCD的角平分線BD平分NABC,四

邊形ABCD是菱形，其邊長為及，且對角線BD等于邊長的#倍，然后根據(jù)30。角所對

應(yīng)的直角邊是斜邊的一半，可得到NABD=60。，求得三角形的面積.

【詳解】

1—.1——6——

解：；I__.1BA+...BC=.BD

同\BC\\BD\

???平行四邊形ABCD的角平分線BD平分NABC

???四邊形ABCD是菱形，其邊長為0,且對角線BD等于邊長的百倍，

ZABD=60°,

SABCD=（四）-=g

故答案為由.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量與簡單的幾何問題相結(jié)合，通過向麗+向前=裔而得到四邊形

ABCD是平行四邊形且對角平分線BD平分NABC是關(guān)鍵.

11.a+2b

【解析】

答案第5頁，共13頁

【詳解】

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形DBFC是平行四邊形，則DC=BF,故

AF=2AB=2DC,結(jié)合三角形法則進(jìn)行解答.

【詳解】如圖，連接BD,FC,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

；.DC〃AB,DC=AB,

.,.△DCE^AFBE,

又E是邊BC的中點(diǎn)，

.DEEC1

?.==一,

EFBC1

,EC=BE,即點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，

四邊形DBFC是平行四邊形，

；.DC=BF,故AF=2AB=2DC,

^DF=DA+AF=DA+2DC=a+2b，

故答案是：a+2h-

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，向量運(yùn)算等,

熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

___3-

12.3b2a+3b2a-h-?+~

【解析】

【分析】

先利用平行四邊形的性質(zhì)求出各邊之間的關(guān)系，再利用向量混合運(yùn)算法則一一求出即可.

【詳解】

由平行四邊形ABCD可知：AD=BC,OC=-AC,

2

因?yàn)辄c(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，BC=3BE,

所以BA=2BF,BC=3BE.

答案第6頁，共13頁

(1)AD=BC=3BE=3b;

(2)M=2BF=2a

BD=BA+AD=2a+3b;

(3)EA=EB+BA=(-BE)+BA=-b+2a；

(4)AC=AB+BC=(-BA)+AD=-2a+3bt

一1一_3—

OC=-AC=-a+—b.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的混合運(yùn)算及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思

想的靈活運(yùn)用.

13.-K-n

【解析】

【分析】

根據(jù)正六邊形性質(zhì)，得AOE戶為等邊三角形，根據(jù)平行線性質(zhì)，得FE//OD；結(jié)合向量性

質(zhì)，得厚=麗，再根據(jù)向量性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】

CD

?.?六邊形ABCDEF是正六邊形，

360°

ZEOD=ZEOF=——=60°,OE=OF=OD=OB

6

二FE=OE=OF=OD

:.AOEF為等邊三角形

：.ZOEF=ZEOF

：.FEHOD

；?FE=OD

OE=OF+FE—7r+n

答案第7頁，共13頁

OB=—OE=-7t—n

故答案為：-兀一n.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正多邊形、等邊三角形、平行線、向量的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊

形、向量的性質(zhì)，從而完成求解.

14.-32

【解析】

【分析】

根據(jù)i與單位向量"的關(guān)系，即可求解.

【詳解】

與單位向量工方向相反，且長度為3,

a=—3e-

故答案是：-3e.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查用單位向量表示其他向量，掌握平面向量的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵.

15.-ci+b

2

【解析】

【分析】

先去括號，然后合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】

1__

解：-(a-2h)+2h

2

=—a-—x2L+2b

22

1-

=-a+hr

2

1_-

故答案為：3a+b.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的線性運(yùn)算.解題的關(guān)鍵在于理解向量的數(shù)乘與加減運(yùn)算.

答案第8頁，共13頁

1-1-

16.—a——h

22

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和線段的中點(diǎn)，可用￡表示出祝，用B表示出函，再根據(jù)

MN=MC+CN,即可用￡和坂表示出麗.

【詳解】

,?*BC=5，

.UUI

??CB——b?

???四邊形ABCD是平行四邊形，

?**CD=AB=a，

???點(diǎn)M是邊CD中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊8C的中點(diǎn)，

—?1—1——-1-.1-

：.MC=-AB=-a,CN=-CB=——b,

2222

：.MN=MC+CN=-a+(--b)=-a--b.

2222

1-1-

故答案為：—<7--.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點(diǎn)和向量的線性運(yùn)算.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答

本題的關(guān)鍵.

17.2y/3km/h

【解析】

【分析】

由題意知，由勾股定理求出水流的距離，然后求解河水的流速.

【詳解】

解：如圖，設(shè)而表示船垂直于對岸的速度，能表示水流的速度，

則由通+元=蔗，正就是漁船實(shí)際航行的速度,

航行的時間為4+2=2(刈,

答案第9頁，共13頁

在R/A48c中，|AB|=2lan/h,\AC\=8^2=4hn/h,

.,.西=2辰w//?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量在物理中的應(yīng)用，直角三角形以及勾股定理模型的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是

解答本題的關(guān)鍵.

18.lb—4a—3c

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的計(jì)算法則與實(shí)數(shù)運(yùn)算基本相同，先去括號，再合并同類項(xiàng)即可解答.

【詳解】

(2a+3h-c)-2(3“-2b+c)

=2a+3b—c—6a+4b—2c

=7b-4a-3c-

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的運(yùn)算，熟練掌握向量的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵.

19.AE=a+2bBF=；B-aFG=-^Z>+^a

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的性質(zhì)求解即可

【詳解】

AE=AB+BE=AB+2BC=a+2b:BF=AF-AB=^BC-AB=-b-3；FG=|BF=1a-^b

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵

20.(1)引=；6；EA=1b-a；(2)作圖見解析.

【解析】

【分析】

(1)由EF是AABC的中位線，設(shè)而=￡,元=尻利用三角形的中位線的性質(zhì)，即可求得

答案第10頁，共13頁

EF，然后由三角形法則，求得麗;

(2)利用平行四邊形法則，即可求得向量而在福，正方向上的分向量.

【詳解】

解：(1)：EF是AMC的中位線，BC=b.

1—.1-

EF--BC=-b,

*/AF=a.

/.EA=EF-AF=-h-a,

2

(2)如圖，過點(diǎn)E作EM〃AC,

則函與而即為向量而在而、衣方向上的分向量.

本題考查了平面向量的知識.此題比較簡單，注意掌握三角形法則與平行四邊形法則的應(yīng)

用.

21.(1)-6--?；(2)i-a+b；作圖見解析

443

【解析】

【分析】

(1)先求出AE占AC得幾分之幾，然后再根據(jù)向量運(yùn)算的三角形法則計(jì)算即可；

(2)先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到C