2.2-2.4一元二次方程的解法課件北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊

第二章一元二次方程專題3一元二次方程的解法數(shù)學(xué)九年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級上冊BS版01專題解讀◎問題綜述一元二次方程常與幾何圖形及實際應(yīng)用問題等結(jié)合考查，

在考試中出現(xiàn)得比較頻繁，所以如何在考試中提高解題效率就

非常重要.在解一元二次方程時，關(guān)鍵在于靈活選擇解法，以提

高計算能力.有時可能需要將幾種解法綜合起來使用，而選擇最

合適解法的依據(jù)是善于觀察方程的具體結(jié)構(gòu)特征.◎要點歸納一元二次方程各種解法的關(guān)鍵.（1）直接開平方法：將方程化為（

mx

＋

n

）2＝

a

（

a

≥0）的

形式；（2）配方法：先把二次項系數(shù)化為1，再把方程的兩邊都加上

一次項系數(shù)

的平方；（3）公式法：把一元二次方程化為

，正確寫出

a

，

b

，

c

的值；（4）因式分解法：使方程的右邊為

?；一半

一般形式

0

（5）換元法：把某一部分看作一個整體，用一個新的未知

數(shù)代替.其中配方法與公式法是通法.數(shù)學(xué)九年級上冊BS版02典例講練類型一

用配方法、公式法解一元二次方程

（1）用配方法解下列方程：①

x2＋2

x

－143＝0；

②3

x2＋3

x

－1＝0.【思路導(dǎo)航】①先移項，再在兩邊都加上1，即可配方；②先移

項，然后把兩邊都除以3，再在兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平

方即可配方.解：①移項，得

x2＋2

x

＝143.配方，得

x2＋2

x

＋1＝143＋1，即（

x

＋1）2＝144.開方，得

x

＋1＝±12.解得

x1＝11，

x2＝－13.

【點撥】配方法的一般步驟：①將一元二次方程化為一般形

式；②二次項系數(shù)化為1；③常數(shù)項移到等號右邊；④等號兩邊

都加上一次項系數(shù)一半的平方，并配方；⑤開方，求解.配方法

的關(guān)鍵在于第②④兩步，這兩步一定不能漏掉.配方法一般在直

接解方程中很少用到，但在求最大值或最小值、比較代數(shù)式的

大小、解特殊方程中常用到.（2）用公式法解下列方程：①2

x2－3

x

－4＝0；②2

x2＋5

x

＝6

x2＋5；③（

x

－1）（3

x

＋2）＝4

x

＋6.【思路導(dǎo)航】①先判斷判別式Δ的值，再用公式法求解；②先整

理成一般形式，再用判別式的值判斷是否能用公式法求解；③

先化簡，并整理成一般形式，再用判別式的值判斷是否能用公

式法求解.

②整理，得4

x2－5

x

＋5＝0.這里

a

＝4，

b

＝－5，

c

＝5.∵

b2－4

ac

＝（－5）2－4×4×5＝－55＜0，∴原一元二次方程無解.

【點撥】用公式法求解一元二次方程的一般步驟：①化簡，并

整理成

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）的形式；②計算判別式Δ的值，

判斷方程是否有解；③若Δ≥0，則可用公式法求解.需要注意的

是，若Δ＞0，則原方程有兩個不同的實數(shù)根；若Δ＝0，則原方

程有兩個相等的實數(shù)根；若Δ＜0，則原方程無實數(shù)根.此題中，

第③問還可以用因式分解法求解.

1.用配方法解下列方程：（1）

x2－6

x

－3＝0；

2.用公式法解下列方程：（1）4

x2－8

x

＋3＝0；

（2）（2

x

＋1）（

x

－2）＝6；

（3）7

x2＋9＝6

x2－26

x

－160.解：

x1＝

x2＝－13.類型二

用因式分解法、換元法解方程

（1）用因式分解法解下列方程：①（4

x

＋1）2－

x2＝0；②（

x

－4）2－2

x

＋8＝0.【思路導(dǎo)航】①先用平方差公式進行因式分解，再解方程；②

先用提公因式法進行因式分解，再解方程.

②原方程可變形為（

x

－4）2－2（

x

－4）＝0.∴（

x

－4）（

x

－4－2）＝0.∴（

x

－4）（

x

－6）＝0.∴

x

－4＝0，或

x

－6＝0.∴

x1＝4，

x2＝6.【點撥】因式分解法求解一元二次方程的一般步驟：①化簡；

②因式分解；③得出方程的解.因式分解法是解一元二次方程的

首選方法，特點是計算量小.因式分解的常用方法：提取公因式

法、公式法（平方差公式和完全平方公式）、十字相乘法、分

組分解法等.（2）用換元法解下列方程：①

x4－

x2－6＝0；②（

x2－

x

）2－5（

x2－

x

）＋6＝0.【思路導(dǎo)航】①設(shè)

x2＝

t

，代入原方程，先解出

t

的值，再求

x

的

值；②設(shè)

t

＝

x2－

x

，代入原方程，先解出

t

的值，再求

x

的值.解：①設(shè)

t

＝

x2，則

t2－

t

－6＝0.整理，得（

t

＋2）（

t

－3）＝0.解得

t1＝－2，

t2＝3.∵

x2≥0，∴

t

＝3，即

x2＝3.

②設(shè)

t

＝

x2－

x

，則

t2－5

t

＋6＝0.整理，得（

t

－2）（

t

－3）＝0.解得

t1＝2，

t2＝3.∴

x2－

x

＝2，或

x2－

x

＝3.

【點撥】用換元法把復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程.換

元法求解的一般步驟：①確定需要替換的部分；②代入新的未

知數(shù)；③解出新的未知數(shù)；④根據(jù)第①步中的關(guān)系式，得出原

方程的解.

1.用因式分解法解下列方程：（1）4

x2－4

x

－15＝0；

（2）3（

x

＋5）2＝

x2－25.解：

x1＝－5，

x2＝－10.2.用換元法解下列方程：（1）

x2－｜

x

｜－6＝0；解：

x1＝3，

x2＝－3.

類型三

用合適的方法解一元二次方程

用合適的方法解下列方程：

（2）方程可變形為

x2－6

x

＋8＝0.因式分解，得（

x

－2）（

x

－4）＝0.解得

x1＝2，

x2＝4.

【點撥】解一元二次方程或特殊方程，主要用配方法、公式

法、因式分解法、換元法等.一般優(yōu)先選用因式分解法；若無法

因式分解，才考慮公式法；若原方程是特殊的方程（如

x2－｜

x

｜－6＝0等），可考慮換元法.

用合適的方法解下列方程：（1）6

x2－

x

－2＝0；

（2）

x2＋5

x

－2＝0；

類型四

與一元二次方程有關(guān)的綜合問題

已知關(guān)于

x

的一元二次方程

mx2－（

m

＋2）

x

＋2＝0.（1）證明：當(dāng)

m

≠0時，該方程總有實數(shù)根；（2）當(dāng)

m

為何整數(shù)時，該方程有兩個不相等的正整數(shù)根.【思路導(dǎo)航】（1）一元二次方程有實數(shù)根?Δ≥0；（2）需要

依次考慮幾點：①

m

為整數(shù)，

m

≠0；②Δ＞0；③

x1，

x2都是正

整數(shù).

（2）解：∵該方程為一元二次方程，∴

m

≠0.因式分解，得（

mx

－2）（

x

－1）＝0.【點撥】（1）對于含參的一元二次方程，由因式分解法求出兩

根是常用的方法，另外，還可以直接用公式法得到方程的根.

（2）需掌握用根的判別式判斷根的情況.（3）針對綜合性問

題，要把握條件，分別去分析，做到不遺漏.如本題中第（2）

問，可得到幾個條件：①

m

為整數(shù)，

m

≠0；②Δ＞0；③

x1，

x2

都是正整數(shù).

已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x2－2

mx

－3

m2＋8

m

－4＝0.（1）當(dāng)

m

＞2時，試判斷該方程根的情況；解：（1）Δ＝（－2