材料力學(xué)教案

第二章軸向拉伸和壓縮一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容1、教學(xué)目標(biāo)2、教學(xué)內(nèi)容eq\o\ac(○,1)截面法、內(nèi)力、應(yīng)力eq\o\ac(○,2)軸力、軸力圖eq\o\ac(○,3)正應(yīng)力、應(yīng)力集中的概念eq\o\ac(○,4)軸向拉〔壓〕時斜截面上的應(yīng)力eq\o\ac(○,5)拉壓桿的變形、胡克定律、泊松比⑥拉壓桿的強(qiáng)度計算⑦材料拉壓時的力學(xué)性能⑧拉壓桿件系統(tǒng)的超靜定問題二、重點難點1、內(nèi)力和截面法，軸力和軸力圖。2、應(yīng)力的概念，軸向拉壓時橫截面上的應(yīng)力，軸向拉壓時的變形。3、材料拉、壓時的力學(xué)性能。4、軸向拉壓的強(qiáng)度計算。5、應(yīng)力集中的概念，拉、壓靜不定問題。三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)和問題式教學(xué)法結(jié)合，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。四、建議學(xué)時7學(xué)時五、講課提綱2.1軸向拉伸(壓縮)的概念受力特點：作用于桿件上外力或外力合力的作用線與桿件軸線重合。變形特點：構(gòu)件沿軸線方向的伸長或縮短。2.2軸力、軸力圖1、內(nèi)力、截面法內(nèi)力的概念相對位移改變而引起的附加內(nèi)力。截面法截面法四部曲：截〔切開〕、取〔取別離體〕、代〔代替〕、平〔平衡〕2、軸力、軸力圖軸向拉壓時的內(nèi)力——軸力——軸力背離截面時為正，指向截面為負(fù)。軸力圖2.3應(yīng)力與圣維南原理1、應(yīng)力的概念：定義：內(nèi)力在截面上的分布集度。數(shù)學(xué)表示：應(yīng)力分量；拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。應(yīng)力的單位：Pa〔N/m2〕2、軸向拉〔壓〕時橫截面上的正應(yīng)力：應(yīng)力計算公式：公式的適用范圍：〔1〕外力作用線必須與桿軸線重合，否那么橫截面上應(yīng)力將不是均勻分布；(2)距外力作用點較遠(yuǎn)局部正確，外力作用點附近應(yīng)力分布復(fù)雜，由于加載方式的不同，只會使作用點附近不大的范圍內(nèi)受到影響〔圣維南原理〕。因此，只要作用于桿端合力作用線與桿軸線重合，除力作用處外，仍可用該公式計算。(3)必須是等截面直桿，否那么橫截面上應(yīng)力將不是均勻分布，當(dāng)截面變化較緩慢時，可近似用該公式計算。3、圣維南原理：外力作用在桿端的方式不同，只會使桿端距離不大于橫向尺寸的范圍內(nèi)應(yīng)力分布受到影響。4、軸向拉〔壓〕桿斜截面上的應(yīng)力2.4變形、胡克定律、泊松比1、縱向變形、胡克定律：絕對變形胡克定律E——彈性模量〔Pa〕—抗拉〔壓〕剛度，反映桿件抵抗拉伸〔壓縮〕變形的能力相對變形〔線應(yīng)變〕拉伸為“+〞，壓縮為“-〞在彈性范圍內(nèi)：胡克定律2、橫向變形及泊松比：絕對變形橫向尺寸相對變形〔橫向應(yīng)變〕拉伸為“-〞，壓縮為“+〞柏松比〔橫向變形系數(shù)〕實驗說明：在彈性范圍內(nèi)是反映材料性質(zhì)的常數(shù)，由實驗確定，一般在-1～-0.5之間。2.5材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能1、低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能：試件：圓截面：矩形截面：=11.3=5.65—工作段長度〔標(biāo)距〕—直徑—橫截面積低碳鋼拉伸時變形開展的四個階段：〔1〕彈性階段〔oa〕應(yīng)力特征值：比例極限—材料應(yīng)力應(yīng)變成正比的最大應(yīng)力值〔服從虎克定律〕彈性極限—材料只出現(xiàn)彈性變形的應(yīng)力極限值成比〔比例系數(shù)〕E為與材料有關(guān)的比例常數(shù)，隨材料不同而異。當(dāng)時，，由此說明說明材料的剛性的大小；說明幾何意義?！?〕屈服階段〔bc〕當(dāng)應(yīng)力超過彈性極限后，應(yīng)變增加很快，但應(yīng)力僅在一微小范圍波動，這種應(yīng)力根本不變，應(yīng)變不斷增加，從而明顯地產(chǎn)生塑性變形的現(xiàn)象稱為屈服〔流動〕?，F(xiàn)象：磨光試件外表出現(xiàn)與軸線成45傾角條紋——滑移線，是由于材料晶格發(fā)生相對滑移所造成。材料產(chǎn)生顯著塑性變形，影響構(gòu)件正常使用，應(yīng)防止出現(xiàn)。應(yīng)力特征值：屈服極限——衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)〔3〕強(qiáng)化階段〔cd〕強(qiáng)化現(xiàn)象：材料恢復(fù)抵抗變形的能力，要使應(yīng)變增加，必須增大應(yīng)力值。曲線表現(xiàn)為上升階段。應(yīng)力特征性：強(qiáng)度極限——材料能承受的最大應(yīng)力值。冷作硬化——材料預(yù)拉到強(qiáng)化階段，使之發(fā)生塑性變形，然后卸載，當(dāng)再次加載時彈性極限和屈服極限提高、塑性降低的現(xiàn)象。〔4〕頸縮階段〔df〕在某一局部范圍內(nèi)，A〔急劇〕、，用A計算的，試件被拉斷。兩個塑性指標(biāo)：延伸率〔伸長率〕：材料分類截面收縮率：2、其它材料拉伸時的力學(xué)性能：16Mn鋼也有明顯的四個階段；H62〔黃銅〕沒有明顯的屈服階段，另三階段較明顯；T10A〔高碳鋼〕沒有屈服和頸縮階段，只有彈性和強(qiáng)化階段。鑄鐵拉伸時是一微彎曲線，沒有明顯的直線局部，拉斷前無屈服現(xiàn)象，拉斷時變形很小是典型的脆性材料。對于沒有明顯的屈服階段的材料，常以產(chǎn)生0.2%的塑性變形所對應(yīng)的應(yīng)力值作為屈服極限，稱條件屈服極限，用表示。3、材料壓縮時的力學(xué)性能：低碳鋼壓縮時的力學(xué)性能：壓縮時曲線，在屈服階段以前與拉伸時相同，都與拉伸時相同，當(dāng)?shù)竭_(dá)后，試件出現(xiàn)顯著的塑性變形，越壓越短，橫截面增大，試件端部由于與壓頭之間摩擦的影響，橫向變形受到阻礙，被壓成鼓形。得不到壓縮時的強(qiáng)度極限。因此，鋼材的力學(xué)性質(zhì)主要時用拉伸試驗來確定。鑄鐵壓縮時的力學(xué)性能：與塑性材料相反脆性材料在壓縮時的力學(xué)性質(zhì)與拉伸時有較大差異。4、材料在拉伸與壓縮時力學(xué)性質(zhì)特點：當(dāng)應(yīng)力不超過一定限度〔不同材料其限度不同〕時，成正比；塑性材料的抗拉強(qiáng)度極限比脆性材料高，宜作受拉構(gòu)件；表示其強(qiáng)度特征的是和，而是桿件強(qiáng)度設(shè)計的依據(jù)；脆性材料的抗壓強(qiáng)度極限遠(yuǎn)大于其抗拉強(qiáng)度極限，宜作受壓構(gòu)件；唯一表示強(qiáng)度特征的是，它也是桿件強(qiáng)度設(shè)計的依據(jù)。2.6許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件1、極限應(yīng)力、平安系數(shù)、許用應(yīng)力：極限應(yīng)力：材料破壞時的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力。平安系數(shù)、許用應(yīng)力—平安系數(shù)〔大于1的數(shù)〕構(gòu)件工作時允許到達(dá)的最大應(yīng)力值贊許用應(yīng)力。許用應(yīng)力應(yīng)低于極限應(yīng)力。2、強(qiáng)度條件：為了保證構(gòu)件有足夠的強(qiáng)度，桿內(nèi)最大工作應(yīng)力不得超過材料在拉壓時的許用應(yīng)力，即它可解決工程上的三類強(qiáng)度問題：強(qiáng)度校核設(shè)計截面確定許可載荷2.7應(yīng)力集中的概念局部應(yīng)力——截面突變處某些局部小范圍內(nèi)的應(yīng)力。應(yīng)力集中——在截面突變處出現(xiàn)局部應(yīng)力劇增現(xiàn)象。應(yīng)力集中對于塑性、脆性材料的強(qiáng)度產(chǎn)生截然不同的影響，脆性材料對局部應(yīng)力的敏感性很強(qiáng)，而局部應(yīng)力對塑性材料的強(qiáng)度影響很小。2.8拉伸和壓縮靜不定問題1、靜不定問題的解法：根本思路：靜力學(xué)關(guān)系，變形幾何關(guān)系，物理關(guān)系。解超靜定問題，除列出平衡方程外，還要通過研究變形和內(nèi)力的關(guān)系建立足夠數(shù)量的補(bǔ)充方程，為此要找出變形的協(xié)調(diào)條件，即保持結(jié)構(gòu)連續(xù)所必須滿足的變形幾何條件，在通過變形的物理條件〔內(nèi)力與變形的關(guān)系〕就可以列出所需要的補(bǔ)充方程。2、裝配應(yīng)力：桿件制成后，其尺寸有微小誤差是難免的，這種誤差使靜定結(jié)構(gòu)的幾何形狀發(fā)生微小改變，而不會引起內(nèi)力。但對超靜定結(jié)構(gòu)，這種誤差就會使桿件在承受載荷前產(chǎn)生較大的內(nèi)力。由于加工誤差，強(qiáng)行裝配而引起的內(nèi)力稱為裝配內(nèi)力，與之相應(yīng)的應(yīng)力叫裝配應(yīng)力。計算裝配應(yīng)力的關(guān)鍵在于根據(jù)結(jié)構(gòu)的變形幾何關(guān)系建立補(bǔ)充方程。這類超靜定問題的變形幾何關(guān)系中一定有一項與尺寸誤差有關(guān)。3、溫度應(yīng)力：熱脹冷縮是金屬材料的通性，在靜定結(jié)構(gòu)中桿件可以自由變形，溫度均勻變化所產(chǎn)生的伸縮，不會在桿內(nèi)引起內(nèi)力。但在超靜定結(jié)構(gòu)中，桿件的伸縮受到局部或全部約束，溫度變化將會引起內(nèi)力，和它相應(yīng)的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。扭轉(zhuǎn)與剪切一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容eq\o\ac(○,1)外力偶矩的計算，扭矩、扭矩圖，純剪切。eq\o\ac(○,2)圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形，扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件。eq\o\ac(○,3)扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計算和剛度計算。eq\o\ac(○,4)扭轉(zhuǎn)靜不定問題，非圓截面桿扭轉(zhuǎn)。二、重點難點重點：圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上剪應(yīng)力分布規(guī)律和強(qiáng)度，圓軸扭轉(zhuǎn)變形時的剛度和變形〔相對扭轉(zhuǎn)角〕計算。難點：扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力推導(dǎo)過程重點處理：通過例子，關(guān)鍵理解是指整個軸上的面上的最外邊緣點〔等截面〕；對變截面可用；嚴(yán)格區(qū)分剛度和扭轉(zhuǎn)角的區(qū)別難點處理：結(jié)合、比照的推導(dǎo)過程，和薄壁圓筒橫截面上三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題，到達(dá)課堂互動。四、建議學(xué)時4學(xué)時五、講課提綱3.1扭轉(zhuǎn)的概念及實例桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特點是：在桿件上作用著大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩組平行力偶系。桿件扭轉(zhuǎn)變形的特點是：當(dāng)桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時，任意兩個橫截面將繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生相對角位移，稱為該兩個橫截面的扭轉(zhuǎn)角，用表示。3.2扭矩的計算和扭矩圖1、外力偶矩的計算：軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速，那么外力偶矩〔N?m〕P——功率，單位為千瓦〔KW〕n——轉(zhuǎn)速，單位為r/min2、扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力——扭矩：扭矩：受扭桿件橫截面上的內(nèi)力是作用在該截面上的力偶，該力偶之矩稱扭矩〔Mt〕。——截面法〔假設(shè)扭矩為正，即設(shè)正法〕扭矩的——右手螺旋法那么扭矩圖:表示桿件各橫截面上的扭矩沿桿軸的變化規(guī)律。3.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強(qiáng)度條件1、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力①實驗研究：變形特點：〔1〕各縱向線傾斜了同一微小角度，矩形歪斜成平行四邊形；〔2〕各圓周線的形狀、大小和間距不變，只是各圓周線繞桿軸線轉(zhuǎn)動了不同的角度。應(yīng)力分布：橫截面上只有切于截面的剪應(yīng)力，它組成與外加扭矩相平衡的內(nèi)力系T。因壁厚t很小，假設(shè)均勻分布且沿各點圓周的切線方向。由平衡條件得②切應(yīng)力互等定理：從薄壁中，用兩個橫截面和兩個縱截面取出一個單元體，如以下圖。由平衡方程得結(jié)論：在單元體互相垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對存在，且數(shù)值相等；二者都垂直于兩平面的交線，其方向那么共同指向或共同背離兩平面的交線，這種關(guān)系稱切應(yīng)力互等定理。該定理具有普遍性，不僅對只有剪應(yīng)力的單元體正確，對同時有正應(yīng)力作用的單元體亦正確。規(guī)定順時針方向轉(zhuǎn)動趨勢的剪應(yīng)力為正，反之為負(fù)。單元體上只要剪應(yīng)力而無正應(yīng)力的情況稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。③剪切胡克定律：切應(yīng)變的定義：在切應(yīng)力作用下，單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這個直角的改變量稱為切應(yīng)變。剪切胡克定律：實驗說明，當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，與成正比，即G——剪切彈性模量2、圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力及強(qiáng)度計算①變形幾何關(guān)系假設(shè)圓軸各橫截面仍保持為一平面，且其形狀大小不變；橫截面上的半徑亦保持為一直線，這個假設(shè)稱平面假設(shè)。根據(jù)實驗現(xiàn)象還可推斷，與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的情況一樣，圓軸扭轉(zhuǎn)時其橫截面上不存在正應(yīng)力，，僅有垂直于半徑方向的切應(yīng)力作用。②物理關(guān)系③靜力關(guān)系，——單位長度上的扭轉(zhuǎn)角〔同一截面上為一定值〕——截面對形心的極慣性矩〔與截面形狀、大小有關(guān)的幾何量〕∴式中：——抗扭截面模量〔系數(shù)〕———實心軸〔內(nèi)外徑之比〕——空心軸4、強(qiáng)度計算強(qiáng)度條件：對等直圓軸：3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算1、扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)角〔〕：任意兩橫截面相對轉(zhuǎn)過的角度 在T=C，軸為等截面條件下〔弧度〕——截面的抗扭剛度〔與成反比、反映截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力〕2、剛度條件〔rad/m〕剛度條件：可解決三類剛度問題。3.5扭轉(zhuǎn)超靜定問題第四章彎曲內(nèi)力一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)①掌握彎曲變形與平面彎曲等根本概念；②熟練掌握用截面法求彎曲內(nèi)力；③熟練列出剪力方程和彎矩方程并繪制剪力圖和彎矩圖；④利用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖；⑤掌握疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。教學(xué)內(nèi)容eq\o\ac(○,1)平面彎曲等根本概念；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)剪力方程和彎矩方程、繪制剪力圖和彎矩圖；eq\o\ac(○,4)用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖；eq\o\ac(○,5)疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。二、重點難點1、平面彎曲的概念；23、剪力圖和彎矩圖；4、剪力、彎矩和載荷集度的微分、積分關(guān)系；5、疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。四、建議學(xué)時2學(xué)時五、講課提綱4.1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖1、平面彎曲的概念彎曲變形：桿件在垂直于其軸線的載荷或位于縱向平面內(nèi)的力偶作用下，相鄰兩橫截面繞垂直于軸線的軸發(fā)生相對轉(zhuǎn)動的變形。梁：以彎曲為主要變形形式的構(gòu)件。平面彎曲：桿變形之后的軸線所在平面與外力所在平面重合或平行的彎曲變形。2、梁的計算簡圖①幾何結(jié)構(gòu)的簡化以梁的軸線來代替梁，忽略構(gòu)造上的枝節(jié)，如鍵槽、銷孔、階梯等。②載何的簡化載荷按作用方式可以簡化成三類1、集中力2、分布載荷3、集中力偶③約束的簡化三種根本形式1、可動鉸支座2、固定鉸支座3、固定端④靜定梁及其分類1、簡支梁2、外伸梁3、懸臂梁4.2梁的內(nèi)力及內(nèi)力圖①彎曲內(nèi)力根據(jù)梁的平衡條件，可以求出靜定梁在載荷作用下的支反力，再應(yīng)用載面法，求得梁的各個載面上的彎曲內(nèi)力。、M使梁段繞其內(nèi)任意點有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力規(guī)定為正，反之為負(fù)；使梁段的下部產(chǎn)生拉伸而上部產(chǎn)生壓縮的彎矩M規(guī)定為正，反之為負(fù)。②用直接法計算梁內(nèi)力的規(guī)律橫截面上的剪力在數(shù)值上等于此截面左側(cè)〔或右側(cè)〕梁上所有外力在平行于橫截面方向投影的代數(shù)和。截面左側(cè)向上外力，或右側(cè)向下外力，產(chǎn)生正的剪力；反之產(chǎn)生負(fù)的剪力。左上右下，為正；左下右上，為負(fù)。橫截面上的彎矩M在數(shù)值上等于此截面左側(cè)〔或右側(cè)〕梁上所有外力對該截面形心的力矩的代數(shù)和。向上的外力產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力產(chǎn)生負(fù)的彎矩。截面左側(cè)順時針轉(zhuǎn)向外力偶，或右側(cè)逆時針轉(zhuǎn)向外力偶，產(chǎn)生正的彎矩；反之產(chǎn)生負(fù)的彎矩。上正下負(fù)；左順右逆，為正。③內(nèi)力圖為了形象地說明梁各橫截面上的、沿梁軸線的變化情況，在設(shè)計計算中常把各橫截面上的、用圖形來表示，分別稱為剪力圖和彎矩圖。第五章彎曲應(yīng)力一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)掌握梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力計算公式的推導(dǎo)過程，理解推導(dǎo)中所作的根本假設(shè)。理解橫力彎曲正應(yīng)力計算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。掌握中性層、中性軸和翹曲等根本概念和含義。掌握各種形狀截面梁〔矩形、圓形、圓環(huán)形、工字形〕橫截面上切應(yīng)力的分布和計算。熟練彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件的建立和相應(yīng)的計算。了解什么情況下需要對梁的彎曲切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。從彎曲強(qiáng)度條件出發(fā)，掌握提高彎曲強(qiáng)度的假設(shè)干措施。理解等強(qiáng)度梁的概念。教學(xué)內(nèi)容梁純彎曲和橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁橫力彎曲時橫截面上的切應(yīng)力提高彎曲強(qiáng)度的假設(shè)干措施。二、重點難點重點：純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力公式的分析推導(dǎo)。橫力彎曲橫截面上正應(yīng)力的計算，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的計算。彎曲的強(qiáng)度計算。彎曲橫截面上的切應(yīng)力。難點：彎曲正應(yīng)力、切應(yīng)力推導(dǎo)過程和彎曲中心的概念。重點處理：從彎曲變形的特點出發(fā)，讓學(xué)生了解兩個應(yīng)力的分布規(guī)律，并對兩個應(yīng)力的分布進(jìn)行比照，加強(qiáng)學(xué)生理解和記憶。分析彎曲正應(yīng)力、切難點處理：,的推導(dǎo)消化難點，以學(xué)生理解這一推導(dǎo)思路。三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。四、建議學(xué)時4學(xué)時五、講課提綱5.1彎曲正應(yīng)力1、純彎曲時梁的橫截面上的正應(yīng)力圖所示簡支梁CD，載荷作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的彎曲為平面彎曲，其計算簡圖如以下圖。從CD梁的剪力圖和彎矩圖可以看到，和梁段的各橫截面上，剪力和彎矩同時存在，這種彎曲稱為橫力彎曲；而在AB梁段內(nèi)，橫截面上那么只有彎矩而沒有剪力，這種彎曲稱為純彎曲。aaAaaABCDPPFsssssSFsssssSMxx可以知道，梁的各截面上彎矩是不同的；純彎曲時，梁的各截面上彎矩為一不變的常數(shù)值，即=常量。下面，首先分析梁在純彎曲時橫截面上的彎曲正應(yīng)力。①變形幾何關(guān)系aaabbmmnn實驗觀察〔1〕梁上的縱線〔包括軸線〕都彎曲成圓弧曲線，靠近梁凹側(cè)一邊的縱線縮短，而靠近凸側(cè)一邊的縱線伸長?！?〕梁上的橫線仍為直線，各橫線間發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，不再相互平行，但仍與梁彎曲后的軸線垂直?！?〕在梁的縱線伸長區(qū)，梁的寬度減??；而在梁的縱線縮短區(qū)，梁的寬度增大。中性層：梁內(nèi)某一層纖維既不伸長也不縮短，因而這層纖維既不受拉應(yīng)力，也不受壓應(yīng)力，這層纖維稱為中性層。中性軸：中性層與梁橫截面的交線。如圖中性軸中性軸根據(jù)上述實驗觀察到的純彎曲的變形現(xiàn)象，經(jīng)過判斷、綜合和推理，可作出如下假設(shè)：〔1〕梁的橫截面在純彎曲變形后仍保持為平面，并垂直于梁彎曲后的軸線。橫截面只是繞其面內(nèi)的某一軸線剛性地轉(zhuǎn)了一個角度。這就是彎曲變形的平面假設(shè)?！?〕梁的縱向纖維間無擠壓，只是發(fā)生了簡單的軸向拉伸或壓縮?？v線的伸長為而其線應(yīng)變?yōu)橛捎谥行詫拥冗h(yuǎn)的各縱向纖維變形相同，所以，公式線應(yīng)變即為橫截面上坐標(biāo)為的所有各點處的縱向纖維的線應(yīng)變。②物理關(guān)系根據(jù)梁的縱向纖維間無擠壓，而只是發(fā)生簡單拉伸或壓縮的假設(shè)。當(dāng)橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限時，可由胡克定律得到橫截面上坐標(biāo)為處各點的正應(yīng)力為該式說明，橫截面上各點的正應(yīng)力與點的坐標(biāo)y成正比，由于截面上為常數(shù)，說明彎曲正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律分布，如以下圖。中性軸上各點的正應(yīng)力均為零，中性軸上部橫截面的各點均為壓應(yīng)力，而下部各點那么均為拉應(yīng)力。③靜力關(guān)系在純彎情況下，梁橫截面上只有彎矩，而軸力和皆為零。由，有將物理關(guān)系代入上式可得：由于彎曲時，必然有此式說明，中性軸z通過截面形心。同時，由，可得其中稱為截面對y、z軸的慣性積。使的一對互相垂直的軸稱為主軸。而z軸又通過橫截面形心，所以z軸為形心主軸。最后，根據(jù)，將物理關(guān)系代入下式其中是純彎曲時梁軸線變形后的曲率；稱為截面對z軸的慣性矩；稱為截面的抗彎剛度。，梁彎曲的曲率與彎矩成正比，而與抗彎剛度成反比。將該式代入式物理關(guān)系，即可得到純彎曲時梁的橫截面上的正應(yīng)力計算公式設(shè)為橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)點到中性軸的距離，那么截面上的最大正應(yīng)力為那么截面上最大彎曲正應(yīng)力可以表達(dá)為式中，稱為截面圖形的抗截面模量。它只與截面圖形的幾何性質(zhì)有關(guān)，其量綱為。矩形截面和圓截面的抗彎截面模量分別為：高為，寬為的矩形截面：直徑為的圓截面：至于各種型鋼的抗彎截面模量，可從附錄Ⅱ的型鋼表中查找。假設(shè)梁的橫截面對中性軸不對稱，那么其截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力并不相等，例如形截面。這時，應(yīng)把和分別代入正應(yīng)力公式，計算截面上的最大正應(yīng)力。最大拉應(yīng)力為：最大壓應(yīng)力為：2、橫力彎曲時的正應(yīng)力對于細(xì)長梁〔例如矩形截面梁，，為梁長，為截面高度〕，切應(yīng)力對正應(yīng)力和彎曲變形的影響很小，可以忽略不計。而且，用純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力計算公式，即3、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為保證梁的平安，梁的最大正應(yīng)力點應(yīng)滿足強(qiáng)度條件式中為材料的許用應(yīng)力。對于等截面直梁，假設(shè)材料的拉、壓強(qiáng)度相等，那么最大彎矩的所在面稱為危險截面，危險截面上距中性軸最遠(yuǎn)的點稱為危險點。此時強(qiáng)度條件可表達(dá)為對于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度相差甚大，所以要對最大拉應(yīng)力點和最大壓應(yīng)力點分別進(jìn)行校核。5.2梁橫截面上的切應(yīng)力1、梁橫截面上的切應(yīng)力①矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力當(dāng)截面高度大于寬度切應(yīng)力分布規(guī)律，可作如下假設(shè)：〔1〕截面上任意一點的切應(yīng)力都平行于剪力的方向?！?〕切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即切應(yīng)力的大小只與坐標(biāo)有關(guān)。從圖所示橫力彎曲的梁上截取長為的微段梁式中，為橫截面上距中性軸為的橫線以外的面積，如以下圖。式中積分是的截面積對矩形截面中性軸的靜矩。因此，上式簡化為同理，因六面體在方向的平衡，即，將和代入上式，有整理、化簡后有根據(jù)梁內(nèi)力間的微分關(guān)系，可得由切應(yīng)力互等定理，可以推導(dǎo)出矩形截面上距中性軸為處任意點的切應(yīng)力計算公式為當(dāng)時，即矩形截面的上、下邊緣處切應(yīng)力；當(dāng)y=0時，截面中性軸上的切應(yīng)力為最大值：說明矩形截面上的最大彎曲切應(yīng)力為其平均切應(yīng)力的倍。②工字形截面、T形截面、槽形截面梁的彎曲切應(yīng)力腹板上切應(yīng)力工字形截面梁由腹板和翼緣組成。實驗說明，在翼緣上切應(yīng)力很小，在腹板上切應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化，如以下圖。腹板上切應(yīng)力仍然沿用矩形截面梁彎曲切應(yīng)力計算公式其中b取腹板的寬度。最大切應(yīng)力在中性軸上，其值為式中〔S〕為中性軸一側(cè)截面面積對中性軸的靜矩。對于軋制的工字鋼，式中的可以從型鋼表中查得。翼緣上切應(yīng)力計算結(jié)果說明，腹板承當(dāng)?shù)募袅s為〔0.95~0.97〕Q，因此翼緣上的豎向切應(yīng)力很小，可忽略不計。水平切應(yīng)力③圓形截面梁在圓形截面上，任一平行于中性軸的橫線aa兩端處，切應(yīng)力的方向必切于圓周，并相交于y軸上的c點。因此，橫線上各點切應(yīng)力方向是變化的。但在中性軸上各點切應(yīng)力的方向皆平行于剪力Q，設(shè)為均勻分布，其值為最大。式中，即圓截面的最大切應(yīng)力為其平均切應(yīng)力的倍。2、切應(yīng)力強(qiáng)度條件對于某些特殊情形，如梁的跨度較小或載荷靠近支座時，焊接或鉚接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力較差〔木梁的順紋方向，膠合梁的膠合層〕等，還需進(jìn)行彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度校核。等截面直梁的一般發(fā)生在截面的中性軸上，此處彎曲正應(yīng)力，微元體處于純切應(yīng)力狀態(tài)，其強(qiáng)度條件為式中為材料的許用切應(yīng)力。此時，一般先按正應(yīng)力的強(qiáng)度條件選擇截面的尺寸和形狀，然后按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核。5.3梁的合理設(shè)計1、合理安排梁的受力情況梁的彎矩與載荷的作用位置和梁的支承方式有關(guān)，適當(dāng)調(diào)整載荷或支座的位置，可以降低梁的最大彎矩Mmax的數(shù)值.2、選擇合理截面形狀由知梁可能承受的最大彎矩與抗彎截面系數(shù)成正比，W越大越有利，而W又與截面面積和形狀有關(guān)。因此應(yīng)選擇W/A較大的截面〔工字形、槽形>矩形>圓形〕。應(yīng)使截面的上、下緣應(yīng)力同時到達(dá)材料的相應(yīng)容許應(yīng)力。3、采用變截面梁在橫力彎曲下，彎矩是沿梁軸變化的。因此在按最大彎矩設(shè)計的等截面梁中，除最大彎矩所在的截面外，其余截面材料的強(qiáng)度均未得到充分利用。為了節(jié)省材料，減輕梁的重量，可根據(jù)彎矩沿梁軸的變化情況，將梁設(shè)計成變截面的。假設(shè)變截面梁的每一橫截面上的最大正應(yīng)力均等于材料的許用應(yīng)力，這種梁就稱為等強(qiáng)度梁。在工程實踐中，由于構(gòu)造和加工的關(guān)系，很難做到理論上的等強(qiáng)度梁，但在很多情況下，都利用了等強(qiáng)度梁的概念即在彎矩大的梁段使其橫截面相應(yīng)地大一些。例如廠房建筑中廣泛使用的魚腹梁和機(jī)械工程中常見的階梯軸等。第六章彎曲變形一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容有關(guān)彎曲變形的根本概念積分法和疊加法明確疊加原理力法求解靜不定梁。重點難點梁的變形分析。撓曲軸近似微分方程。積分法求變形。疊加法求梁的變形。靜不定梁。三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。四、建議學(xué)時6學(xué)時五、講課提綱6.1彎曲變形的根本概念圖示一根任意梁，以變形前直梁的軸線為軸，垂直向下的軸為軸，建立直角坐標(biāo)系。當(dāng)梁在面內(nèi)發(fā)生彎曲時，梁的軸線由直線變?yōu)槊鎯?nèi)的一條光滑連續(xù)曲線，稱為梁的撓曲線，或彈性曲線。第六章中曾經(jīng)指出，梁彎曲后橫截面仍然垂直于梁的撓曲線，因此，當(dāng)梁發(fā)生彎曲時梁的各個截面不僅發(fā)生了線位移，而且還產(chǎn)生了角位移，如圖7.1所示。橫截面的形心在垂直于梁軸〔軸同向〕為正；向上〔與軸反向〕為負(fù)。應(yīng)該指出，由于梁在彎曲時長度不變，橫截面的形心在沿梁軸方向也存在線位移。但在小變形條件下，這種位移極小，可以忽略不計。梁彎曲時，各個截面的撓度是截面形心坐標(biāo)軸順時針轉(zhuǎn)到撓曲線的切線形成的轉(zhuǎn)角為正的；反之，為負(fù)的。顯然，轉(zhuǎn)角也是隨截面位置不同而變化的，它也是截面位置此式稱為轉(zhuǎn)角方程。工程實際中，小變形時轉(zhuǎn)角是一個很小的量，因此可表示為綜上所述，求梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，關(guān)鍵在于確定梁的撓曲線方程6.2撓曲線近似微分方程對細(xì)長梁，梁上的彎矩和相應(yīng)截面處梁軸的曲率半徑均為截面位置即梁的任一截面處撓曲線的曲率與該截面上的彎矩成正比，與截面的抗彎剛度EI成反比。另外，由高等數(shù)學(xué)知，曲線任一點的曲率為顯然，上述關(guān)系同樣適用于撓曲線。比擬上兩式，可得上式稱為撓曲線微分方程。這是一個二階非線性常微分方程，求解是很困難的。而在工程實際中，梁的撓度和轉(zhuǎn)角數(shù)值都很小，因此，之值和1相比很小，可以略去不計，于是，該式可簡化為坐標(biāo)系的選擇有關(guān)。根據(jù)彎矩；反之，當(dāng)梁的彎矩時，撓曲線為凸曲線，在圖示坐標(biāo)系中撓曲線的。可見，在圖示右手坐標(biāo)系中，梁上的彎矩M與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)上式稱為撓曲線近似微分方程。實踐說明，由此方程求得的撓度和轉(zhuǎn)角，對工程計算來說，已足夠精確。6.3積分法求彎曲變形積分法計算梁的變形積分一次：′=θ再積分一次：C、D為積分常數(shù)，它由位移邊界與連續(xù)條件確定邊界條件：〔1〕固定端約束：限制線位移和角位移ABAB(2)鉸支座：只限制線位移AABC連續(xù)條件：6.4疊加法求梁的變形在第五章介紹用疊加法作彎矩圖時，曾介紹了材料力學(xué)的一個普遍原理——彎曲變形時，梁的撓度與轉(zhuǎn)角都與載荷成線性關(guān)系。因此，可以用疊加法計算梁的彎曲變形。當(dāng)梁上有幾個載荷共同作用時，可以分別計算梁在每個載荷單獨作用時的變形，然后進(jìn)行疊加，即可求得梁在幾個載荷共同作用時的總變形。應(yīng)用疊加法求梁的變形時，假設(shè)梁在簡單載荷作用時的變形，是很方便的。6.5梁的剛度校核1、剛度條件或[]——構(gòu)件的許用轉(zhuǎn)角[]、——分別為構(gòu)件的許用撓度、單位長度許用撓度2、剛度校核剛度校核是檢查梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是否超過容許值，在機(jī)械工程中，一般對都進(jìn)行校核；在建筑工程中，大多數(shù)只校核撓度。6.6梁的合理剛度設(shè)計從撓曲線的近似微分方程及其積分可以看出，彎曲變形與彎矩大小、跨度長短、支座條件，梁截面的慣性矩、材料的彈性模量有關(guān)。故提高梁剛度的措施為：〔1〕改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩；〔2〕增加支承，減小跨度；〔3〕選用適宜的材料，增加彈性模量。但因各種鋼材的彈性模量根本相同，所以為提高梁的剛度而采用高強(qiáng)度鋼，效果并不顯著；〔4〕選擇合理的截面形狀，提高慣性矩，如工字形截面、空心截面等。6.7簡單超靜定梁的解法超靜定梁：約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁稱為靜不定梁。兩者數(shù)目的差稱為靜不定次數(shù)。第七章應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容eq\o\ac(○,1)應(yīng)力狀態(tài)的概念；eq\o\ac(○,2)平面應(yīng)力狀態(tài)分析；eq\o\ac(○,3)三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力；eq\o\ac(○,4)廣義胡克定律?體應(yīng)變；⑤復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能；⑥講解強(qiáng)度理論的概念及材料的兩種破壞形式。⑦⑧介紹幾種強(qiáng)度理論的應(yīng)用范圍和各自的優(yōu)缺點。二、重點難點重點：1、平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力計算，主應(yīng)力及主方向的計算，最大剪應(yīng)力的計算。2、廣義胡克定律及其應(yīng)用。3、強(qiáng)度理論的概念、常用的四個強(qiáng)度理論的觀點、強(qiáng)度條件及其強(qiáng)度計算。難點：1、應(yīng)力狀態(tài)的概念，從具體受力桿件中截面單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況。3、應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力的大小、方向確實定。4、廣義胡克定律及其應(yīng)用；5、常用四個強(qiáng)度理論的理解。6、危險點確實定及其強(qiáng)度計算。三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。四、建議學(xué)時6學(xué)時五、講課提綱7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念所謂“應(yīng)力狀態(tài)〞又稱為一點處的應(yīng)力狀態(tài)〔stateofstressesatagivenpoint〕,是指過一點不同方向面上應(yīng)力的集合。分析說明，一點處不同方向面上的應(yīng)力是不相同的。我們把在過一點的所有截面中，切應(yīng)力為零的截面稱為應(yīng)力主平面，簡稱為主平面。例如，圖〔c〕中a、d單元體的三對面及b、c單元體的前后一對外表均為主平面。由主平面構(gòu)成的單元體稱為主單元體，如圖〔c〕中的a、d單元體。主平面的法向稱為應(yīng)力主方向。簡稱主方向。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力〕，如圖〔c〕中a、d單元體上的及一點處的三個主應(yīng)力，通常按其代數(shù)值依次用來表示，如圖〔c〕中a、d單元體，雖然它們都只有一個不為零且絕對值相等的主應(yīng)力，但須分別用，表示。根據(jù)一點處存在幾個不為零的主應(yīng)力，可以將應(yīng)力狀態(tài)分為三類：1〕單向〔或簡單〕應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中只有一個主應(yīng)力不為零。2〕二向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中有兩個主應(yīng)力不為零。3〕三向〔或空間〕應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零。7.2平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析應(yīng)力、角：從x方向反時針轉(zhuǎn)至面外法線n的角為正值；反之為負(fù)值。角的取值區(qū)間為或。正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。切應(yīng)力：使微元體產(chǎn)生順時針方向轉(zhuǎn)動趨勢為正；反之為負(fù)?；蛘撸孛嫱夥ň€矢順時針向轉(zhuǎn)后的方向為正；反之為負(fù)。求面上的應(yīng)力、1、解析法利用截面法，沿截面ab將圖示單元切成兩局部，取其左邊局部為研究對象。設(shè)面的面積為dA，那么x面、y面的面積分別為及。于是，得研究對象的受力情況如圖〔b〕示。該局部沿面法向及切向的平衡方程分別為：由此得〔a〕由，，及，式〔a〕可改寫為：〔9.1〕這就是斜面上應(yīng)力的計算公式。應(yīng)用時一定要遵循應(yīng)力及由式可知，斜截面上的應(yīng)力、均為對于斜截面上的正應(yīng)力，設(shè)極值時的角為，由得可見，取極值的截面上切應(yīng)力為零，即的極值便是單元體的主應(yīng)力。這時的可由上式求得為：上式的在取值區(qū)間內(nèi)有兩個根及，它說明與有關(guān)的兩個極值〔主應(yīng)力〕的作用面〔主平面〕是相互垂直的。將以上各式代入的第一式，得的兩個極值〔對應(yīng)面〕、〔對應(yīng)面〕為：、為平面應(yīng)力狀態(tài)一點處三個主應(yīng)力中的兩個主應(yīng)力，它的另一個主應(yīng)力為零。至于如何根據(jù)這三個主應(yīng)力來排列、、的次序，應(yīng)視、2、圖解法①應(yīng)力圓方程將斜截面應(yīng)力公式改寫為：〔a〕于是，由上述二式得到一圓方程：〔b〕據(jù)此，假設(shè)、、，那么在以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系中，可以畫出一個圓，其圓心為，半徑為。圓周上一點的坐標(biāo)就代表單元體一個斜截面上的應(yīng)力。因此，這個圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓。②應(yīng)力圓的畫法在、及，作相應(yīng)應(yīng)力圓時，先在坐標(biāo)系中，按選定的比例尺，以(,)、(,)為坐標(biāo)確定x〔對應(yīng)x面〕、y〔對應(yīng)y面〕兩點，〔在應(yīng)力圓中，正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力以與其作用面外法線順時鐘轉(zhuǎn)向后的方向一致時為正〕。然后直線連接x、y兩點交軸于C點，并以C點圓心，以或為半徑畫圓，此圓就是應(yīng)力圓。③幾種對應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓上的點與平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的應(yīng)力有如下對應(yīng)關(guān)系：點面對應(yīng)應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)對應(yīng)單元體某一方面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如圖上的n點的坐標(biāo)即為斜截面面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。2〕轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時，半徑端點的坐標(biāo)隨之改變，對應(yīng)地，斜截面外法線亦沿相同方向旋轉(zhuǎn)，才能保證某一方向面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上半徑端點的坐標(biāo)相對應(yīng)。3〕二倍角對應(yīng)應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過的角度，等于斜截面外法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。因為，在單元體中，外法線與x軸間夾角相差的兩個面是同一截面，而應(yīng)力圓中圓心角相差時才能為同一點。7.3空間應(yīng)力下的應(yīng)力分析在工程中還是存在不少三向應(yīng)力狀態(tài)的問題。例如，在地層的一定深度處的單元體，在地應(yīng)力作用下便是處于三向應(yīng)力狀態(tài)；滾珠軸承中的滾珠與外環(huán)接觸處、火車輪與軌道接觸處，也是處于三向應(yīng)力狀態(tài)的。本節(jié)只討論三個主應(yīng)力、及。對于圖示三個主應(yīng)力的主單體，可以將這種應(yīng)力狀態(tài)分解為三種平面應(yīng)力狀態(tài)，分析平行于三個主應(yīng)力的三組特殊方向面上的應(yīng)力。在平行于主應(yīng)力的方向面上，可視為只有和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)；在平行于主應(yīng)力的方向面上可視為只有和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)；在平行于主應(yīng)力的方向面上，可視為只有和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)。并可繪出圖〔b〕示三個應(yīng)力圖，并稱為三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓。。由三向應(yīng)力圓可以看出，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，代數(shù)值最大和最小的正應(yīng)力為：，而最大切應(yīng)力為上兩式也適用于三向應(yīng)力狀態(tài)的兩種特殊情況：二向應(yīng)力狀態(tài)及單向應(yīng)力狀態(tài)。7.4廣義胡克定律1、廣義胡克定律在三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體同時受到主應(yīng)力、及作用，如以下圖。這時，我們把沿單元體主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱為主應(yīng)變，習(xí)慣上分別用、及來表示。對于連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料，可以將這種應(yīng)力狀態(tài)，視為三個單向應(yīng)力狀態(tài)疊加來求主應(yīng)變。在單獨作用下，沿主應(yīng)力、及方向的線應(yīng)變分別為：，，式中E、為材料的彈性模量及泊松比。同理，在和單獨作用時，上述應(yīng)變分別為：，，，，將同方向的線應(yīng)變疊加得三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體的主應(yīng)變?yōu)椋菏街械?、及均以代?shù)值代入，求出的主應(yīng)變?yōu)檎当硎旧扉L，負(fù)值表示縮短。如果不是主單元體，那么單元體各面上將作用有正應(yīng)力、、和切應(yīng)力、、。單元體除了沿x、y及z方向產(chǎn)生線應(yīng)變、及外，還在三個坐標(biāo)面xy、yz、zx內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變、及。由理論證明及實驗證實，對于連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料，正應(yīng)力不會引起切應(yīng)變，切應(yīng)力也不會引起線應(yīng)變，而且切應(yīng)力引起的切應(yīng)變互不耦聯(lián)上兩式稱為廣義胡克定律。式中G為剪切彈性模量。E，及G均為與材料有關(guān)的彈性常數(shù)，但三者這中只有兩個是獨立的，可以證明這三個常數(shù)之間存在著如下關(guān)系：2、體應(yīng)變體應(yīng)變又稱體積應(yīng)變，是指在應(yīng)力狀態(tài)下單元體單位體積的體積改變，設(shè)單元體各棱邊的變形前長度分別為dx、dy和dz，變形前的單元體體積便為在三向應(yīng)力狀態(tài)下，主單元體變形后的各棱邊長度將分別為、及，因此，變形后主單元體的體積為因為、及均微小，略去高階微量后根據(jù)主單元體體應(yīng)變的定義，有將三個主應(yīng)變代入上式，化簡后得上述說明，小變形時的連續(xù)均質(zhì)各同性線彈性體，一點處的體應(yīng)變與該點處的三個主應(yīng)力的代數(shù)和成正比?？梢?，小變形時連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性體內(nèi)，一點處的體應(yīng)變，只與過該點沿三個相互垂直的坐標(biāo)軸方向正應(yīng)力的代數(shù)和成正比，而與坐標(biāo)方位和切應(yīng)力無關(guān)。3、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能彈性體在外力作用下將產(chǎn)生變形，在變形過程中，外力便要通過外力作用方向的位移做功，并將它積蓄在彈性體內(nèi)，通常稱積蓄在物體內(nèi)的這種能量為應(yīng)變能，而把每單位體積內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能稱為比能。在單向應(yīng)力狀態(tài)中，如果棱邊邊長分別為dx、dy、dz的單元體，作用于x面的應(yīng)力為。作用在單元體上的外力為，沿外力方向的位移為，外力所做的功為根據(jù)能量守恒定律，外力功全部積蓄到彈性體內(nèi)，變成了彈性體的應(yīng)變能。單元體的應(yīng)變能單元體的應(yīng)變比能為應(yīng)變比能為圖〔b〕示陰影面積。在三向應(yīng)力狀態(tài)下，如果、及三個主應(yīng)力，各對力通過其對應(yīng)位移所做的功的總和，便為積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能。因此單元體的比能為式中的、、分別表示沿、、方向的線應(yīng)變，應(yīng)按廣義胡克定律計算，用三個主應(yīng)力、、表示主應(yīng)變、、，化簡后有由于單元體的變形有體積改變和形狀改變，因此，可以將比能分為相應(yīng)的兩局部。與體積改變對應(yīng)的比能稱為體積改變比能，用表示；與形狀改變對應(yīng)的比能稱為形狀改變比能，用表示。即〔a〕現(xiàn)在來推導(dǎo)體積改變比能和形狀改變比能的計算公式。將圖示單元體表示為圖b、c兩局部疊加。圖〔b〕中的三個主應(yīng)力相等，其值為平均應(yīng)力，有7.5強(qiáng)度理論1、材料的破壞形式以上列舉的強(qiáng)度條件，用于簡單應(yīng)力狀態(tài)，是直接根據(jù)試驗結(jié)果建立的。然而工程實際中許多構(gòu)件的危險點都處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，其破壞現(xiàn)象較復(fù)雜，但材料的破壞形式可分為如下二類：脆性斷裂：材料失效時未發(fā)生明顯的塑性變形而突然斷裂。如：鑄鐵在單向拉伸和純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的破壞。塑性屈服：材料失效時產(chǎn)生明顯的塑性變形并伴有屈服現(xiàn)象。如低碳鋼在單向拉伸和純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的破壞。注意：材料的破壞形式并不是以材料為塑性材料或脆性材料為準(zhǔn)來區(qū)分的。如：大理石為脆性材料，在單向壓縮時發(fā)生的破壞為脆性斷裂，圖10.2〔a〕；假設(shè)外表受均勻經(jīng)向壓力，施加軸向力后出現(xiàn)明顯的塑性變形，成為腰鼓形，顯然其破壞形式為塑性屈服，圖10.2(b)。2、強(qiáng)度理論的概念在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，一點的3個主應(yīng)力、、人們經(jīng)過長期的生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究，總結(jié)材料破壞的規(guī)律，提出了各種不同的假說：認(rèn)為材料之所以按某種形式破壞，是由于某一特定因素〔應(yīng)力、應(yīng)變、形狀改變比能〕引起的；對于同一種材料，無論處于何種應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)導(dǎo)致它們破壞的這一共同因素到達(dá)某一極限時，材料就會發(fā)生破壞。這樣的一些假說稱為強(qiáng)度理論。3、常用的強(qiáng)度理論由于材料存在著脆性斷裂和塑性屈服兩種破壞形式，因而，強(qiáng)度理論也分為兩類：一類是解釋材料脆性斷裂破壞的強(qiáng)度理論，其中有最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論；另一類是解釋材料塑性屈服破壞的強(qiáng)度理論，其中有最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論。①第一強(qiáng)度理論——最大拉應(yīng)力理論強(qiáng)度條件為：試驗說明，該理論主要適用于脆性材料在二向或三向受拉〔例如鑄鐵、玻璃、石膏等〕。對于存在有壓應(yīng)力的脆性材料，只要最大壓應(yīng)力值不超過最大拉應(yīng)力值，也是正確的。②第二強(qiáng)度理論—最大伸長線應(yīng)變理論〔根本淘汰〕③第三強(qiáng)度理論—最大切應(yīng)力理論強(qiáng)度條件為該理論對于單向拉伸和單向壓縮的抗力大體相當(dāng)?shù)牟牧稀踩绲吞间摗呈沁m合的。④第四強(qiáng)度理論—最大形狀改變比能理論強(qiáng)度條件為試驗說明，對于塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗結(jié)果。綜合以上三個強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件，可以把它們寫成如下的統(tǒng)一形式：其中稱為相當(dāng)應(yīng)力。四個強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為對于梁來講，注意：1、對以上四個強(qiáng)度理論的應(yīng)用，一般說脆性材料如鑄鐵、混凝土等用第一和第二強(qiáng)度理論；對塑性材料如低碳鋼用第三和第四強(qiáng)度理論。2、脆性材料或塑性材料，在三向拉應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)該用第一強(qiáng)度理論；在三向壓應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)該用第三強(qiáng)度理論或第四強(qiáng)度理論。3、第三強(qiáng)度理論概念直觀，計算簡捷，計算結(jié)果偏于保守；第四強(qiáng)度理論著眼于形狀改變比能，但其本質(zhì)仍然是一種切應(yīng)力理論。有關(guān)。第八章組合變形的強(qiáng)度計算一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)掌握組合變形的概念。掌握斜彎扭、拉〔壓〕彎、偏心拉伸〔壓縮〕等組合變形形式的概念和區(qū)分、危險截面和危險點確實定、應(yīng)力計算、強(qiáng)度計算、變形計算、中性軸確實定等。教學(xué)內(nèi)容講解彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形內(nèi)力計算、確定危險截面和危險點、強(qiáng)度計算。講解拉伸〔壓縮〕和彎曲組合變形的危險截面和危險點分析、強(qiáng)度計算。講解偏心拉伸〔壓縮〕組合變形的危險截面和危險點分析、應(yīng)力計算、強(qiáng)度計算。二、重點難點重點：彎扭、拉〔壓〕彎、偏心拉伸〔壓縮〕等組合變形形式的應(yīng)力和強(qiáng)度計算。難點：1、解決組合變形問題最關(guān)鍵的一步是將組合變形分解為兩種或兩種以上的根本變形：彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形——分解為平面彎曲和扭轉(zhuǎn)；拉伸〔壓縮〕和彎曲組合變形——分解為軸向拉伸〔壓縮〕和平面彎曲〔因剪力較小通常忽略不計〕；偏心拉伸〔壓縮〕組合變形——單向偏心拉伸〔壓縮〕時，分解為軸向拉伸〔壓縮〕和一個平面彎曲2、組合變形的強(qiáng)度計算，可歸納為兩類：1〕、危險點為單向應(yīng)力狀態(tài)：拉〔壓〕彎、偏心拉伸〔壓縮〕組合變形的強(qiáng)度計算時只需求出危險點的最大正應(yīng)力并與材料的許用正應(yīng)力比擬即可；2〕、危險點為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：彎扭組合變形的強(qiáng)度計算時，危險點處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，必須考慮強(qiáng)度理論。三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。四、建議學(xué)時4學(xué)時五、講課提綱8.1組合變形的概念實際工程中，許多桿件往往同時存在著幾種根本變形，它們對應(yīng)的應(yīng)力或變形屬同一量級，在桿件設(shè)計計算時均需要同時考慮。本章將討論此種由兩種或兩種以上根本變形組合的情況，統(tǒng)稱為組合變形。對于組合變形的計算，首先按靜力等效原理，將荷載進(jìn)行簡化、分解，使每一種〔組〕荷載產(chǎn)生一種根本變形；其次，分別計算各根本變形的解〔內(nèi)力、應(yīng)力、變形〕，最后綜合考慮各根本變形，確定危險截面和危險點，疊加其應(yīng)力、變形，進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計算。8.3拉伸〔壓縮〕與彎曲拉彎、壓彎組合變形，是工程中經(jīng)常遇到的情況，圖〔a〕〔b〕示都是壓彎組合變形的實際例子，現(xiàn)以圖〔a〕示矩形截面桿為例分析拉彎、壓彎組合變形的強(qiáng)度計算。圖11.6力作用在縱向?qū)ΨQ性平面xy內(nèi)，引起桿件發(fā)生平面彎曲變形，中性軸是z軸；引起桿件發(fā)生軸向拉伸變形。內(nèi)力：＝常數(shù)；，。所以此桿的危險截面為固定端截面。應(yīng)力：軸向拉伸正應(yīng)力為，橫截面上均勻分布彎曲正應(yīng)力為，橫截面上呈線性分布疊加可得任一橫截面上任一點的正應(yīng)力為〔11.7〕所以，桿件的最大、最小正應(yīng)力發(fā)生在固定端截面〔危險截面〕的上、下邊緣a、b處，其值為〔＞0，為拉應(yīng)力〕〔可能為拉應(yīng)力，可能為壓應(yīng)力〕。因為危險點處于單向應(yīng)力狀態(tài)，故塑性材料強(qiáng)度條件為脆性材料強(qiáng)度條件為8.4偏心拉伸〔壓縮〕與截面核心當(dāng)外力作用線與桿的軸線平行，但不重合時，桿件的變形稱為偏心拉壓。它是拉伸〔壓縮〕彎曲的組合。8.5彎扭組合變形1.外力簡化和內(nèi)力計算將外力向截面B形心簡化，得AB軸的計算簡圖，如圖〔b〕所示。橫向力使軸發(fā)生平面彎曲，而力偶矩使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)。作AB軸的彎矩圖和扭矩圖，如圖〔c〕，〔d〕所示，可見，固定端截面為危險截面，其上的內(nèi)力〔彎矩和扭轉(zhuǎn)〕分別為(a)2、應(yīng)力計算畫出固定端截面上的彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的分布圖，如圖〔e〕所示，固定端截面上的和點為危險點，其應(yīng)力為(a)式中，，，它們分別為圓軸的抗彎和抗扭截面模量。因為圓軸的任一直徑都是慣性主軸，抗彎截面模量都相同〔〕，故均用W表示。點的單元體如圖〔f〕所示。3、強(qiáng)度條件危險點〔或〕處于二向應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力為(b)AB軸為鋼材〔塑性材料〕，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下可按第三或第四強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件。假設(shè)采用第三強(qiáng)度理論，那么軸的強(qiáng)度條件為將式〔b〕代入上式，得到用危險點〔或〕的正應(yīng)力和切應(yīng)力表示的強(qiáng)度條件將式〔a〕中的和代入上式，并注意到圓截面的，可得到用危險截面上的彎矩和扭矩表示的強(qiáng)度條件：〔11.5〕假設(shè)采用第四強(qiáng)度理論，那么軸的強(qiáng)度條件為或〔11.6〕上面式中應(yīng)理解為是危險截面處的組合彎矩M，假設(shè)同時存在和，那么組合彎矩為：。第九章壓桿穩(wěn)定一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)深入理解彈性平衡穩(wěn)定性的概念熟練應(yīng)用壓桿的臨界力公式，掌握桿端約束對臨界力的影響壓桿的分類與臨界應(yīng)力曲線教學(xué)內(nèi)容穩(wěn)定的概念兩端鉸支細(xì)長壓桿的歐拉臨界力桿端約束的影響臨界應(yīng)力曲線壓桿穩(wěn)定性的校核二、重點難點重點：歐拉臨界力公式、壓桿的分類、壓桿穩(wěn)定性的校核難點：歐拉臨界力公式、壓桿的分類、壓桿穩(wěn)定性的校核三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。四、建議學(xué)時6學(xué)時五、講課提綱9.1壓桿穩(wěn)定的概念所謂彈性壓桿的穩(wěn)定性是指彈性壓桿在中心壓力作用下的直線位形的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性；又因彈性體受力后的任一平衡狀態(tài)都對應(yīng)著某個唯一的變形狀態(tài)，所以也是指彈性壓桿受壓后的軸向縮短的變形狀態(tài)的穩(wěn)定性。設(shè)有一兩端球鉸支座的彈性均質(zhì)等直桿受毫無偏心的軸向壓力作用(這就是所謂的理想壓桿)，桿呈軸向縮短變形狀態(tài)，如圖?，F(xiàn)在要判斷這種變形狀態(tài)(或直線位置的平衡狀態(tài))是否穩(wěn)定。要作這種判斷，可加一微小干擾力Ｑ，使桿軸到達(dá)一個微彎曲線位置，〔b〕然后撤銷干擾力，如果桿軸能回到直線位置，那么稱初始直線位置的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；如果它繼續(xù)彎曲到一個撓度更大的曲線位置去平衡，那么初始直線位置的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；這就是判別彈性穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)那么。如果它停留在干擾力撤銷瞬時的微彎曲線的位置不動，那么初始直線位置的平衡是臨界平衡或中性平衡。事實上，同一桿件其直線位置的平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定，視所受軸向壓力的大小是否超過一個僅與桿的材料、尺寸、和支承方式有關(guān)的臨界值而定。這個取決于桿件本身的定值，稱為壓桿的臨界力或臨界荷載。設(shè)軸向壓力從零逐漸增大，那么桿件在直線位置的平衡狀態(tài)表現(xiàn)為：當(dāng)，是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；當(dāng)，是臨界的平衡狀態(tài)；當(dāng)，是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；當(dāng)時，壓桿可在直線位置平衡(當(dāng)它不受干擾時)，又可在干擾給予的微彎曲線位置平衡，這種兩可性是彈性體系的臨界平衡的重要特點。

對于理想壓桿，穩(wěn)定性意味著壓桿維持其直線壓縮的變形形式的能力。對于有缺陷的壓桿，穩(wěn)定性意味著它維持其縮短加彎曲的變形形式的能力。總之，穩(wěn)定性意味著桿件維持其原有變形形式或平衡形式的能力。再那么，穩(wěn)定階段總是一個比擬長而緩的漸變過程，失穩(wěn)卻是一個短促而急劇的突變過程。2、兩端鉸支細(xì)長壓桿的歐拉臨界力本節(jié)求的微分方程法或臨界平衡法，其思路是：從臨界平衡狀態(tài)的微彎曲線取別離體，建立臨界平衡方程，再轉(zhuǎn)換為彈性曲線的微分方程式，在不能讓通解的全積分常數(shù)都等于零的條件下得到穩(wěn)定方程式，從而得出臨界力。

是端士科學(xué)家L·歐拉(L.Euler〕在1744年提出的，所以叫做歐拉公式。人們把兩端鉸支的理想壓桿稱為歐拉壓桿，稱為為歐拉荷載。9.2兩端鉸支細(xì)長壓桿的歐拉臨界力本節(jié)求的微分方程法或臨界平衡法，其思路是：從臨界平衡狀態(tài)的微彎曲線取別離體，建立臨界平衡方程，再轉(zhuǎn)換為彈性曲線的微分方程式，在不能讓通解的全積分常數(shù)都等于零的條件下得到穩(wěn)定方程式，從而得出臨界力。

上式是端士科學(xué)家L·歐拉(L.Euler〕在1744年提出的，所以叫做歐拉公式。桿端約束的影響幾種常見的桿端約束情況的臨界力和彈性曲線形式，都是由微分方程法推導(dǎo)而得。它們的臨界力表達(dá)式可統(tǒng)一寫成或其中：＝稱為壓桿的計算長度或有效長度。是實際長度，叫做長度系數(shù)。(ａ〕一端自由一端固定壓桿(ｂ〕兩端鉸支壓桿(ｃ〕一端固定一端鉸支壓桿(ｄ〕一端固定一端夾支壓桿實際支承應(yīng)簡化成什么樣的計算簡圖，它的計算長度如何確定，設(shè)計時都必須遵循設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)。9.3歐拉公式的適用范圍1、柔度當(dāng)中心壓桿所受壓力等于臨界力而仍舊直立時，其橫截面上的壓應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力表示，設(shè)橫截面面積為，那么但，是截面的回轉(zhuǎn)半徑，于是得λ，稱為壓桿的長細(xì)比或柔度，于是有對同一材料而言，是一常數(shù)，因此的大小，長細(xì)比越大，臨界應(yīng)力越小。上式是歐拉公式的另一形式。2、歐拉公式適用范圍：

歐拉公式的適用范圍是臨界應(yīng)力不超過比例極限，即假設(shè)用的最小值表示歐拉公式的適用范圍，那么≥=在使用歐拉公式前須算一下是否大于。對于中長桿與粗短壓桿，目前在設(shè)計中多采用經(jīng)驗公式計算其臨界應(yīng)力。下面介紹壓桿的直線公式。對于中長桿，采用直線經(jīng)驗公式〔λ〕9.4壓桿穩(wěn)定性的校核第十章桿件的應(yīng)變能及其應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)讓學(xué)生掌握桿件彈性應(yīng)變能的有關(guān)概念。掌握功能原理、卡氏定理。能夠熟練地計算根本變形桿件和常見的組合變形桿件的應(yīng)變能。對于簡單結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，也能夠完成應(yīng)變能的計算。教學(xué)內(nèi)容介紹能量法的有關(guān)概念。例如，外力的功、應(yīng)變能、比能等等。介紹根本變形桿件應(yīng)變能計算和組合變形桿件應(yīng)變能計算。講解功能原理、余能概念和卡氏定理。二、重點難點重點：建立應(yīng)變能等有關(guān)概念。根本變形桿件和常見的組合變形桿件的應(yīng)變能的計算?？ㄊ系诙ɡ砑捌鋺?yīng)用。難點：桿件應(yīng)變能計算中的可否疊加問題。對于廣義力和相應(yīng)廣義位移的正確理解和認(rèn)識。應(yīng)用卡氏第二定理求位移時，如何正確地選取或設(shè)定與位移相應(yīng)的廣義力。能否正確寫出內(nèi)力方程，靈活地進(jìn)行先求偏導(dǎo)數(shù)再積分的運(yùn)算。三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問題。四、建議學(xué)時6學(xué)時五、講課提綱10.1概述彈性體在荷載作用下將發(fā)生變形，外力作用點要產(chǎn)生位移．因此，在彈性體的變形過程中，外力沿其作用方向做了功，稱為外力功。彈性體伴隨彈性變形積蓄了能量，從而具有對外界作功的潛在能力，通常把這種形式的能量稱為彈性應(yīng)變能〔Dlasticstrainenergy〕或彈性變形能〔Dlasticdeformationenergy〕，用表示。如果在加載過程中動能及其它形式的能量損耗不計，應(yīng)有功能原理。10.2應(yīng)變能和余能1.外力功的計算外力作功分為以下兩種情況。一種情況為常力作功。這里所謂常力，是指工程動力學(xué)中，作用在不變形的剛體上使剛體產(chǎn)生運(yùn)動的力。當(dāng)外力在作功過程中保持不變時，它所作的功等于外力與其相應(yīng)位移的乘積。例如，在沿外力方向線上有線位移，那么另一種情況為靜荷載作功。所謂靜荷載，是指構(gòu)件所承受的荷載從零開始緩慢地增加到最終值，然后不隨時間改變。靜荷載下外力功的計算式可寫為式中的是廣