2023-2024學(xué)年福建省福州市六校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省福州市六校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M={x|x2?3x?4<0}，N={x|y=ln(x?1)}A.(1,4) B.[1,4) C.(?1,4) D.[?1,4)2.已知x∈R，則“x<?1”是“x2?1>0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若a=(3)23，b=logA.c>b>a B.a>b>c C.c>a>b D.a>c>b4.函數(shù)f(x)=x2?cosxeA. B. C. D.5.下列說法中正確的是(

)

①設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(6,12)，則P(X=3)=516

②已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9，則P(0<X<2)=0.4

③2023年7月28日第31屆成都大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都隆重開幕，將5名大運(yùn)會(huì)志愿者分配到游泳、乒乓球、籃球和排球4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有180A.②③ B.②③④ C.①②④ D.①②6.設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，記事件A=“從甲袋中任取1球是紅球”，事件B=“從乙袋中任取2球全是白球”，則下列說法正確的是(

)A.P(B)=914 B.P(AB)=67

C.P(A|B)=15 7.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足f(2?x)=f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=e1?x?1，則方程f(x)=1|x?1|在區(qū)間A.8 B.7 C.6 D.58.已知函數(shù)f(x)=ex?e?x+2sinx，g(x)=2x+2,x<0ex?1,x≥0，若關(guān)于x的方程f(g(x))?m=0有兩個(gè)不等實(shí)根xA.ln2 B.ln2+12 C.3?ln2 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列選項(xiàng)中，正確的是(

)A.若p：?n∈N，n2>2n，則￢p：?n∈N，n2≤2n

B.若不等式ax2+bx+3>0的解集為{x|?1<x<3}，則a+b=2

C.若a>0，b>0，且a+4b=1，則10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是(

)A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為82種

D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種11.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x，y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)，其中f(1)=12；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，則(

)A.f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)

B.f(x)為奇函數(shù)

C.若函數(shù)f(x)為正比例函數(shù)，則函數(shù)g(x)=f(x)ex在x=0處取極小值

D.若函數(shù)f(x)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在二項(xiàng)式(x?12x)13.已知函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=alnx的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則公共點(diǎn)坐標(biāo)為______．14.已知函數(shù)f(x)=aex+lna+1(a>0)，若任意實(shí)數(shù)t>1，不等式f(t)>ln(t?1)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a(sinB?3cosB)=3(b?c)．

(1)求角A；

(2)若△ABC的面積為316.(本小題15分)

某公司為監(jiān)督檢查下屬的甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線出庫的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品，并對(duì)所抽取產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，甲生產(chǎn)線的合格品占八成、優(yōu)等品占兩成，乙生產(chǎn)線的合格品占九成、優(yōu)等品占一成(合格品與優(yōu)等品間無包含關(guān)系)．

(1)用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣品的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，記這2件產(chǎn)品中來自甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品個(gè)數(shù)有X個(gè)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)消費(fèi)者對(duì)該公司產(chǎn)品的滿意率為34，隨機(jī)調(diào)研5位購買過該產(chǎn)品的消費(fèi)者，記對(duì)該公司產(chǎn)品滿意的人數(shù)有Y人，求至少有3人滿意的概率及Y的數(shù)學(xué)期望與方差．17.(本小題15分)

記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3=5，S9=81，數(shù)列{bn}滿足a1b1+a2b2+a3b18.(本小題17分)

“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟钜呀?jīng)深入人心，逐漸成為新的時(shí)尚.甲、乙、丙三人為響應(yīng)“綠色出行，低碳環(huán)保”號(hào)召，他們計(jì)劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種出行方式中的一種.他們之間的出行互不影響，其中，甲每天選擇“共享單車”的概率為12，乙每天選擇“共享單車”的概率為23，丙在每月第一天選擇“共享單車”的概率為34，從第二天起，若前一天選擇“共享單車”，后一天繼續(xù)選擇“共享單車”的概率為14，若前一天選擇“地鐵”，后一天繼續(xù)選擇“地鐵”的概率為13，如此往復(fù)．

(1)求3月1日至少有一人選擇“共享單車”出行的概率；

(2)記甲、乙、丙三人中3月1日選擇“共享單車”出行的人數(shù)為X，求X的分布、期望與方差；

(3)求丙在3月份第n(n=1,2,…,31)天選擇“共享單車”的概率19.(本小題17分)

已知f(x)=ex?ax?1，a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的極值；

(2)若關(guān)于x的方程f(x)+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，若滿足f(x1參考答案1.A

2.A

3.D

4.A

5.C

6.C

7.A

8.B

9.AC

10.ABD

11.AB

12.351613.(e14.[115.解：(1)因?yàn)閍sinB?3acosB=3b?3c，

所以sinAsinB?3sinAcosB=3sinB?3sinC=3sinB?3sin(A+B)，

又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinAsinB+3cosAsinB=3sinB，

因?yàn)閟inB≠0，

所以sinA+3cosA=316.解：(1)由題知，在各隨機(jī)抽取的100件產(chǎn)品中，甲、乙兩條生產(chǎn)線的優(yōu)等品分別有20件、10件，

用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣品的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，其中從甲、乙兩條生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品分別有4件、2件，

所以X的所有取值為0，1，2，

且P(X=0)=C22Cn2X012P182所以E(X)=0×115+1×815+2×25=43；

(2)由題意知，Y～B(5,34)，

則P(Y=3)=C5(14)17.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

∵a3=5，S9=81，

∴a1+2d=59a1+9×82d=81，∴a1=1，d=2，

∴an=2n?1，

∵a1b1+a2b2+a3b3+?+anbn=(n?1)?3n+1+3①，

∴a1b1+a2b2+?+an?1bn?118.解：(1)由題意可得3月1日至少有一人選擇“共享單車”出行的概率為1?(1?12)(1?23)(1?34)=2324；

(2)由題意知，X的可能取值為0，1，2，3，

則P(X=0)=1X0123P11111故E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312，

D(X)=(0?2312)2×124+(1?2312)2×14+(2?2312)2×1124+(3?2312)2×14=95144；

(3)由題意得P1=34，

則Pn=14Pn?1+23(1?Pn?1)=?512Pn?1+23(n=2.3,?.31)，

則Pn?817=?512(Pn?1?817)(n=2,3,…,31)19.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex?x?1，定義域?yàn)镽，

則f′(x)=ex?1，

令f′(x)=0，得x=0，

當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以y=f(x)在x=0處取到極小值0，無極大值；

(2)方程f(x)+1=ex?ax=0，

顯然當(dāng)x=0時(shí)，方程不成立，則a=exx，x≠0，

若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即y=a與g(x)=exx有2個(gè)交點(diǎn)，

則g′(x)=(x?1)exx2，

當(dāng)x<0或0<x<1時(shí)，g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(?∞,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，

并且x∈(?∞,0)時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)嚴(yán)格增，x>0時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取得最小值，g(1)=e，

作出函數(shù)y=g(x)的圖象，如下圖所示：

y=a與g(x)=exx有2個(gè)交點(diǎn)，

則a>e，

即a的取值范圍為(e,+∞)；

(3)證明：f′(x)