2023-2024學(xué)年重慶市永川中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（6月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年重慶市永川中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（6月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=i(3+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,?1)，b=(2,1)，c=(2,λ).若c//(2aA.?12 B.0 C.123.設(shè)a、b是不同的兩條直線，α、β是不同的兩個(gè)平面，下列說法正確的有(

)A.a⊥α，b?β，a⊥b，則α⊥β

B.α/?/β，a⊥α，b/?/β，則a⊥b

C.a?α，b?β，且a/?/β，b/?/α，則α/?/β

D.a/?/b，a/?/β，則b/?/β4.直三棱柱ABC?A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線A.30°

B.45°

C.60°

D.90°5.已知四邊形ABCD是矩形，|AB|=4，|BC|=3，則A.25 B.?7 C.7 D.?256.某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)住房戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取25%的戶主作為樣本進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為(

)

A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，367.已知圓臺(tái)上、下底面半徑分別為1，2，側(cè)面積為6π，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為(

)A.73π3 B.238.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=π3,a=8,bcosA+acosB=6，點(diǎn)O是△ABC的外心，若BO=xBAA.712 B.2336 C.2536二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知平面向量a=(0,1)，b=(33A.|a+b|=7

B.(a+b)?(a?b)=?30

C.向量a10.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b=2，S△ABC=23，且ccosB+bcosC?2acosA=0A.a=3 B.C=π2 C.11.如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是梯形，AB/?/CD，AD⊥DC，BC=CD=4，DD1=AB=2，P是棱CC1A.AC與平面BPQ有可能平行

B.B1D1與平面BPQ有可能平行

C.三角形BPQ周長的最小值為17+三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的32倍，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為______．13.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別a、b、c，角A=π3.若AM是∠CAB的平分線，交BC于M，且AM=3，則AB+2AC14.在三棱錐S?ABC中，底面ABC為邊長為3的正三角形，側(cè)棱SA⊥底面ABC，若三棱錐的外接球的體積為36π，則該三棱錐的體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin2A+sin2C=sinAsinC+sin2B.

(1)求角B的大??；

(2)若b=316.(本小題15分)

2022年4月16日，神舟13號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，這趟神奇之旅意義非凡，尤其是“天宮課堂”在廣大學(xué)生心中引起強(qiáng)烈反響，激起了他們對(duì)太空知識(shí)的濃厚興趣.某中學(xué)在進(jìn)行太空知識(shí)講座后，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行筆試，并記錄下他們的成績，將數(shù)據(jù)分成5組：

[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如頻率分布直方圖．

(1)求這部分學(xué)生成績的平均數(shù)(同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)為了更好的了解學(xué)生對(duì)太空知識(shí)的掌握情況，學(xué)校決定在成績高的第4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生，進(jìn)行第二輪面試，最終從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加市太空知識(shí)競(jìng)賽，求90分(包括90分)以上的同學(xué)恰有1人被抽到的概率．17.(本小題15分)

已知四棱錐P?ABCD滿足：四邊形ABCD為正方形，△PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD=2，E為PA的中點(diǎn)．

(1)證明：PC//平面BDE；

(2)求直線PC和平面ABCD所成角的正切值．18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60°，PA=AD=4，E為AD的中點(diǎn)．

(1)求證：平面PCE⊥平面PAD；

(2)求二面角A?PD?C的平面角的正弦值．19.(本小題17分)

由于某地連晴高溫，森林防滅火形勢(shì)嚴(yán)峻，某部門安排了甲、乙兩名森林防火護(hù)林員對(duì)該區(qū)域開展巡查.現(xiàn)甲、乙兩名森林防火護(hù)林員同時(shí)從A地出發(fā)，乙沿著正西方向巡視走了3km后到達(dá)D點(diǎn)，甲向正南方向巡視若干公里后到達(dá)B點(diǎn)，又沿著南偏西60°的方向巡視走到了C點(diǎn)，經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)∠ACD=60°.設(shè)∠ACB=θ，如圖所示．

(1)設(shè)甲護(hù)林員巡視走過的路程為S=AB+BC，請(qǐng)用θ表示S，并求S的最大值；

(2)為了強(qiáng)化應(yīng)急應(yīng)戰(zhàn)準(zhǔn)備工作，有關(guān)部門決定在△BCD區(qū)域范圍內(nèi)儲(chǔ)備應(yīng)急物資，求△BCD區(qū)域面積的最大值．

參考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.B

6.A

7.A

8.B

9.BD

10.BC

11.ACD

12.3

13.314.915.解：(1)因?yàn)閟in2A+sin2C=sinAsinC+sin2B.

由正弦定理可得：a2+c2=ac+b2，

則a2+c2?b2=ac，由余弦定理可得：cosB=a2+c2?b22ac16.解：(1)由頻率分布直方圖得：平均數(shù)為：(55×0.015+65×0.025+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=73.5；

(2)根據(jù)分層抽樣的方法抽取的6名學(xué)生，[80,90)有4人，[90,100]有2人，

∴90分(包含90分)以上的同學(xué)恰有1人被抽到的概率p=4617.(1)證明：四棱錐P?ABCD滿足：四邊形ABCD為正方形，△PAD為等邊三角形，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OE．

由已知OE為△PAC的中位線，故PC//OE，OE?平面BDE，PC?平面BDE，

所以PC//平面BDE．

(2)解：E為PA的中點(diǎn)．取AD中點(diǎn)F，連接PF，則由△PAD為等邊三角形可知PF⊥AD，

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，它們的交線為AD，PF?平面PAD，PF⊥AD，

所以PF⊥平面ABCD，故PC在平面ABCD的射影為CF，

故∠PCF即為所求直線PC和平面ABCD所成角．

由已知PF=3，CF=CD2+DF2=22+118.解：(1)證明：

∵四邊形ABCD為菱形，∴DA=DC．

連接AC．

∵∠ADC=60°，

∴△ADC為等邊三角形，從而CA=CD．

在△ADC中，E是AD的中點(diǎn)，

∴CE⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，

∴CE⊥PA，又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，

∴EC⊥平面PAD．

又CE?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAD．

(2)在平面PAD中，過點(diǎn)E作EM⊥PD，垂足為M，連接CM．

∵EC⊥平面PAD，PD?平面PAD，

∴EC⊥PD．

又EM∩CE=E，EM，CE?平面EMC，∴PD⊥平面EMC．

又CM?平面EMC，∴PD⊥CM，

∴∠EMC是二面角A?PD?C的平面角．

在Rt△EMD中，ED=2，∠ADP=45°，

∴EM=MD=2．

在Rt△CMD中，MD=2.，CD=4，

∴CM=CD2?MD2=14．

在19.解：(1)由題意知：∠ADC=360°?(120°+90°+60°+θ)=90°?θ，

在△ACD中，由正弦定理：ACsin∠ADC=ADsin∠ACD，

即：AC=23cosθ，在△ABC中，∵∠ACB=θ，∴∠CAB=60°?θ，

由正弦定理：ABsinθ=BCsin(60°?θ)=ACsin120°=4cosθ，

AB=4cosθsinθ=2sin2θ，BC=4cosθsin(60°?θ)，

∴S