華東師大版初中八年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(六)分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(六)分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用題型一當(dāng)頂角或底角不確定時(shí)分類討論1.已知一個(gè)等腰三角形有兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4,則這個(gè)

等腰三角形頂角的度數(shù)為

(

)A.20°

B.120°C.20°或120°

D.36°C解析設(shè)兩內(nèi)角的度數(shù)為x、4x.當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫閤時(shí),

x+4x+4x=180°,解得x=20°;當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?x時(shí),4x+x+

x=180°,解得x=30°,∴4x=120°.因此等腰三角形頂角的度數(shù)為20°或120°.故選C.2.(2023河南南陽宛城期末)已知△ABC是等腰三角形,若∠A

=50°,則△ABC的頂角度數(shù)是

.

50°或80°解析當(dāng)∠A是頂角時(shí),△ABC的頂角度數(shù)是50°;當(dāng)∠A是底

角時(shí),△ABC的頂角度數(shù)為180°-2×50°=80°.綜上,△ABC的頂

角度數(shù)是50°或80°.題型二當(dāng)?shù)缀脱淮_定時(shí)分類討論3.(2023福建福州鼓樓屏東中學(xué)期中)若等腰三角形的兩邊的

長分別為20cm和9cm,則這個(gè)三角形的周長是

cm.49解析①當(dāng)20cm為底邊長時(shí),三角形的三邊長為9cm,9cm,

20cm,因?yàn)?+9<20,故不能構(gòu)成三角形;②當(dāng)20cm為腰長時(shí),三角形的三邊長為9cm,20cm,20cm,因

為20-9<20<20+9,故能構(gòu)成三角形.綜上,三角形的周長為20+

20+9=49cm.題型三當(dāng)高的位置不確定時(shí)分類討論4.(2024河南許昌魏都期中)過等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)向

對邊作垂線段,若垂線段與一腰的夾角是32°,則這個(gè)等腰三

角形的頂角度數(shù)是

.58°或122°解析當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí),如圖1,由已知可知,∠

ABD=32°,又∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∴∠A=58°;當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí),如圖2,由已知可知,∠ABD=3

2°,又∵BD⊥CD,∴∠BDA=90°,∴∠DAB=58°,∴∠CAB=122

°.故答案為58°或122°.圖1圖2題型四當(dāng)腰上的垂直平分線不確定時(shí)分類討論5.已知△ABC中,AB=AC,AB邊的垂直平分線與AC所在的直

線相交成58°的角,求底角的度數(shù).解析如圖,∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交成58°

的角,∴∠DAE=90°-58°=32°,如圖1,AB的垂直平分線與AC相交時(shí),

∠BAC=∠DAE=32°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=

×(180°-32°)=74°;如圖2,AB的垂直平分線與CA的延長線相交時(shí),∠BAC=180°-

∠DAE=180°-32°=148°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=

×(180°-148°)=16°.綜上所述,等腰三角形底角的度數(shù)為74°或16°.圖1圖2題型五當(dāng)腰上的中線不確定時(shí)分類討論6.在△ABC中,AB=AC,邊AC上的中線BD把三角形的周長分

成12cm和15cm兩部分,求三角形各邊的長.解析如圖,由題意得|(AB+AD)-(BC+CD)|=|AB-BC|=15-12=3

cm,AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm,若AB>BC,則AB-BC=3cm,又∵2AB+BC=27cm,∴聯(lián)立并求解得AB=10cm,BC=7cm,10cm、10cm、7cm能

夠組成三角形;若AB<BC,則BC-AB=3cm,又∵2AB+BC=27

cm,∴聯(lián)立并求解得AB=8cm,BC=11cm,8cm、8cm、11cm能

夠組成三角形,∴三角形各邊的長為10cm、10cm、7cm或

8cm、8cm、11cm.題型六當(dāng)?shù)妊切未嬖趩栴}中點(diǎn)的位置不確定時(shí)分類

討論7.(2024云南昆明五華期末)如圖,l是一段平直的鐵軌,某天小

明站在距離鐵軌100米的A處,他發(fā)現(xiàn)一列火車從左向右駛

來,已知火車長200米,設(shè)火車的車頭為B點(diǎn),車尾為C點(diǎn).小明

站著不動,從他發(fā)現(xiàn)火車到火車遠(yuǎn)離他而去的過程中,以A、

B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的時(shí)刻共有

個(gè).

5解析如圖,

當(dāng)車長為底邊長時(shí),AB2=AC2,得到的等腰三角形是△AB2C2;當(dāng)車長為腰長時(shí),BC=BA,C1A=C1B1,B3C3=B3A,B4C4=C4A,得到

的等腰三角形是△ABC,△AB1C1,△AB3C3,△AB4C4.綜上,以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的時(shí)刻

共有5個(gè).8.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(D不

與B、C重合),連結(jié)AD,作∠ADE=30°,DE交邊AB于點(diǎn)E.在點(diǎn)

D運(yùn)動的過程中,當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),求∠CAD的度數(shù).

解析∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=

180°-30°-30°=120°.①如圖,當(dāng)DA=DE時(shí),∵∠ADE=30°,∴∠DAE=∠DEA=

(180°-∠ADE)=

×(180°-30°)=75°,∴∠CAD=∠BAC-∠DAE=120°-75