華東師大版初中八年級數(shù)學上冊專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(八)新定義試題練課件

專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(八)新定義試題(練趨勢)1.(2024吉林長春農安期中,7,★☆☆)若規(guī)定a?b=10a×10b,如2?3=102×103=105,

則3?4等于

(

)A.12

B.1012

C.710

D.107

類型一定義新運算D解析

∵a?b=10a×10b,∴3?4=103×104=107,故選D.2.(★★☆)【問題提出】對于任意實數(shù)a、b,定義一種新運算“⊕”:a⊕b=(a+1)2+(b+1)2,例如:2⊕3=(2+1)

2+(3+1)2=25.【初步感知】(1)(-2)⊕3=

.【深度探究】(2)我們知道,實數(shù)的加法運算和乘法運算都滿足交換律,那么實數(shù)a、b的這種新

運算“⊕”是否也滿足交換律?請說明理由.【拓展運用】(3)若實數(shù)a、b滿足10a+10b-2ab-23=0,求a⊕b的最小值.新考向項目式學習試題解析

(1)17.(2)實數(shù)a、b的這種新運算“⊕”也滿足交換律,理由如下:根據題意得,a⊕b=(a+1)2+(b+1)2,b⊕a=(b+1)2+(a+1)2=(a+1)2+(b+1)2,則a⊕b=b⊕a.(3)∵實數(shù)a、b滿足10a+10b-2ab-23=0,∴2ab=10(a+b)-23,a⊕b=(a+1)2+(b+1)2=a2+2a+1+b2+2b+1=(a2+b2)+2(a+b)+2=(a+b)2+2(a+b)+2-2ab=

(a+b)2+2(a+b)+2-10(a+b)+23=(a+b)2-8(a+b)+16+9=(a+b-4)2+9≥9,當a+b-4=0,即a+b=4時,a⊕b的最小值為9.3.(★☆☆)定義:一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍,這樣的三角形叫做“倍

長三角形”.若等腰三角形ABC是“倍長三角形”,底邊BC長為5,則等腰三角形

ABC的周長為

.25類型二定義新概念解析∵等腰△ABC是“倍長三角形”,∴AB=2BC或BC=2AB.若AB=2BC=10,則

△ABC的三邊長分別是10、10、5,符合題意,等腰三角形ABC的周長為10+10+5

=25;若BC=2AB=5,則AB=2.5,△ABC的三邊長分別是2.5、2.5、5,∵2.5+2.5=5,∴

此時不能構成三角形,這種情況不存在.綜上所述,等腰三角形ABC的周長為25.4.(2024河南鄭州七中月考,23,★★☆)定義:如圖,點M、N把線段AB分割成線段

AM、MN、NB,若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形,則稱點M、

N是線段AB的勾股分割點.(1)已知點M、N把線段AB分割成線段AM、MN、NB,若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,則

點M、N是線段AB的勾股分割點嗎?請說明理由.(2)已知點M、N是線段AB的勾股分割點,且AM是以AM、MN、NB為邊的直角三

角形的一條直角邊,若AB=30,AM=5,求BN的長.

解析

(1)點M、N是線段AB的勾股分割點.理由如下:∵AM2+BN2=2.52+62=42.25,MN2=6.52=42.25,∴AM2+NB2=MN2,∴以線段AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形,∴點M、N是線段AB的勾股分割點.(2)設BN=x,則MN=30-AM-BN=25-x.①當MN為最長邊時,依題意得MN2=AM2+NB2,即(25-x)2=x2+25,解得x=12;②當BN為最長邊時,依題意得BN2=AM2+MN2,即x2=25+(25-x)2,解得x=13.綜上所述,BN=12或13.5.(2024吉林長春五十二中期中,24,★★☆)經過三角形的一個頂點及其對邊上

一點的直線,若能將此三角形分割成兩個等腰三角形,則稱這個三角形為“鉆石

三角形”,這條直線稱為這個三角形的“鉆石分割線”.(1)如圖1,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD平分∠ACB,請說明△ABC是“鉆石三角

形”.(2)如圖2,在△ABC中,∠BAC=20°,若存在過點C的“鉆石分割線”,使△ABC是

“鉆石三角形”,求出滿足條件的∠B的度數(shù).解析

(1)證明:△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.∵CD平分∠

ACB,∴∠BCD=∠ACD=

∠ACB=36°.∵∠A=∠ACD=36°,∴△ACD是等腰三角形,∠BDC=∠A+∠ACD=72°.∵∠B=72°,∴∠B=∠BDC,∴△BDC是等腰三角形,

∴△ABC是“鉆石三角形”.(2)如圖1,圖1當AD=CD時,∠ACD=∠A=20°,∴∠CDB=40°,∴當CD=BD時,∠B=∠BCD=70°;當CD=BC時,∠B=∠CDB=40°;當BD=BC時,∠B=180°-40°-40°=100°.如圖2,圖2當AC=AE,CE=BE時,∵∠A=20°,∴∠ACE=∠AEC=80°,∴∠B=∠BCE=

×80°=40°.如圖3,圖3當AC=CF,CF=BF時,∵∠A=20°,∴∠AFC=∠A=20°,∴∠B=∠BCF=

×20°=10°.綜上所述,∠B的度數(shù)為70°或40°或100°或10°6.(2024河南信陽羅山期中,22,★★☆)如果一個三角形能

被一條線段分割成兩個等腰三角形,那么稱這條線段為這個三角形的內好線,稱

這個三角形為內好三角形.(1)如圖1,△ABC是銳角三角形,AB=AC(AB>BC),若∠ABC的平分線BD交AC于點

D,且BD是△ABC的一條內好線,則∠BDC=

度.(2)如圖2,△ABC中,∠B=2∠C,線段AC的垂直平分線交AC于點D,交BC于點E.求

證:AE是△ABC的一條內好線.(3)如圖3,已知△ABC是內好三角形,且∠A=24°,∠B為鈍角,則所有可能的∠B的

度數(shù)為

(直接寫答案).學科素養(yǎng)推理能力

解析

(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=

∠ABC.∵BD是△ABC的一條內好線,△ABC是銳角三角形,AB>BC,∴△ABD和△

BDC是等腰三角形,且BD=BC=AD,∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C.∵∠BDC=∠A+

∠ABD=2∠A,∴∠ABC=∠ACB=2∠A.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠A=36°,

∴∠BDC=2∠A=72°.故答案為72.(2)證明:∵DE是線段AC的垂直平分線,∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,∴∠

EAC=∠C,∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C.∵∠B=2∠C,∴∠AEB=∠B,∴AB=AE,

即△EAB是等腰三角形,∴AE是△ABC的一條內好線.(3)∠B的度數(shù)為108°或117°或144°或148°.[詳解]由題意知90°<∠B<180°,設BE是△ABC的一條內好線.①如圖1,當AE=BE時,∠A=∠EBA=24°,∴∠CEB=∠A+∠EBA=48°.若BC=BE,則∠C=∠CEB=48°,∴∠ABC=180°-∠A-∠C=108°,若BC=CE,則∠CBE=∠CEB=48°,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=72°<90°(不合題意,舍去).若CE=BE,則∠C=∠CBE=

=66°,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°(不合題意,舍去).②如圖2,當AE=AB時,∠ABE=∠AEB=

=78°,∴∠CEB=∠A+∠ABE=102°.∵△CEB是等腰三角形,且∠CEB=102°>90°,∴CE=BE,∴∠C=∠CBE=

=39°,∴∠CBA=∠ABE+∠CBE=117°.③如圖3,當AB=BE時,∠A=∠AEB=24°,∴∠ABE=132°,∴∠BEC=156°.∵△CEB是等腰三角形,且∠BEC=156°>90°,∴BE=CE,∴∠C=∠CBE=

=12°,∴∠CBA=∠ABE+∠CBE=144°.設CE是△ABC的一條內好線.如圖4.當CE=AE時,∠A=∠ACE=24°,∵△CBE是等腰三角形,且∠B是鈍角,∴BC=BE,∴∠BEC=∠BCE=∠A+∠ACE=

48°,∴∠ABC=180°-48°-48°=84°<90°(不合題意,舍去).設AE是△ABC的一條內好線.如圖5.∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠CAE,∵△ABE是等腰三角形,且∠B是鈍角,∴BE=AB,∴∠BAE=∠AEB=2∠CAE,∵∠BAC=24°=3∠CAE,∴∠CAE=∠C=8°,∴∠BAE=16°,∴∠ABC=180°-8°-24°=148°.綜上所述,∠ABC=108°或117°或144°或148°.當CE=AE時,∠C=∠CAE,7.(新獨家原創(chuàng),★★☆)材料閱讀:若一個整數(shù)能表示成a2-b2(a、b是正整數(shù))的形

式,則稱這個數(shù)為“平方差數(shù)”.例如:因為3=22-12,所以3是“平方差數(shù)”;再如:

因為a2+2ab=a2+2ab+b2-b2=(a+b)2-b2(a、b是正整數(shù)),所以a2+2ab也是“平方差

數(shù)”.(1)請你寫出一個大于20且小于30的“平方差數(shù)”;判斷56是不是“平方差數(shù)”.(2)判斷多項式x2+4xy-4+4y2(x、y是正整數(shù))是不是“平方差數(shù)”,并說明理由.(3)因式分解:-2mnx2+m2x2+n2x2-4(m-n)2.解析

(1)21是“平方差數(shù)”(答案不唯一).因為56=4×14=(9-5)×(9+5)=92-52,所以

56是“平方差數(shù)”.(2)是,理由如下:∵x2+4xy-4+4y2=(x2+4xy+4y2)-4=(x+2y)2-22,∴x2+4xy-4+4y2是“平方差數(shù)”.(3)-2mnx2+m2x2+n2x2-4(m-n)2=(-2mnx2+m2x2+n2x2)-4(m-n)2=x2(-2mn+m2+n2)-4(m-n)2=x

2(m-n)2-4(m-n)2=(m-n)2(x2-4)=(m-n)2(x-2)(x+2).8.(2022福建莆田期末,19,★★☆)“回文”是漢語特有的一種使

用詞序回環(huán)往復的修辭方法,正著讀,倒著讀,文字一樣,韻味無窮.例如:處處飛花

飛處處,潺潺碧水碧潺潺.數(shù)學中也有像回文聯(lián)一樣的“回文等式”,以下是三個

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“回文等式”:21×24=42×12,31×26=62×13,12×84=48×21.(1)下列選項中能構成“回文等式”的是

.(填上所有正確的選項)A.18×31與13×81

B.46×32與63×24C.46×96與69×64

D.22×454與454×22E.31×286與682×13(2)請寫出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“回文等式”的一般規(guī)律,并用所學數(shù)學知識證明.跨學科語文解析

(1)A選項,18×31=558,13×81=1053,558≠1053,故該選項不符合題意;B選項,46×32和63×24不符合回文等式的形式,故該選項不符合題意;C選項,46×96=4416,69×64=4416,故該選項符合題意;D選項,22×454=454×22,故該選項符合題意;E選項,31×286=8866,682×13=8866,故該選項符合題意.故答案為CDE.(2)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“回文等式”的一般規(guī)律:兩個因數(shù)的十位上的數(shù)相乘的

積等于個位上的數(shù)相乘的積.證明:設“回文等式”左邊的兩個兩位數(shù)分別為10a+b,10c+d,其中a、b、c、d為小于10的正整數(shù),依題意得(10a+b)(10c+d)=(10d+c)(10b+a),∴100ac+10ad+10bc+bd=100bd+10ad+10bc+ac,∴99ac=99bd,∴ac=bd.9.(2024重慶巴南期末,10,★★☆)在對多項式進行因式分解時,有一些多項式用

提公因式法和公式法無法直接分解.將一個多項式重新分組后,再用提公因式法

或公式法繼續(xù)分解的方法叫做分組因式分解法.例如:ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+

y)=(a+b)(x+y).下列說法:①因式分解:x2-2xy+y2-1=(x-y+1)(x-y-1);②若a、b、c是△ABC的三邊長,且滿足a2+bc=b2+ac,則△ABC為等腰三角形;③若a、b、c為實數(shù)且滿足a2+2b2+c2+28=4a+8b+8c,則以a、b、c為三邊長能構

成三角形.其中正確的個數(shù)有

(

)A.0

B.1

C.2

D.3類型三定義新方法C解析

①x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)·(x-y-1),故①正確;②∵a2+bc=b2+ac,∴a2+bc-b2-ac=0,∴a2-b2+bc-ac=(a+b)(a-b)-(a-b)c=(a-b)(a+b-c)=0,∵a、b、c為△ABC的三邊長,∴

a+b-c>0,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC為等腰三角形,故②正確;③∵a2+2b2+c2+28=4a+8b+8c,∴(a2-4a+4)+2(b2-4b+4)+(c2-8c+16)=0,∴(a